2022年不定积分的典型例题.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载不定积分的典型例题例 1計算x21 dx1x4解法 1 x 4 1 x 2 2 x 1 x 2 2 x 1 .而 x 2 2 x 1 x 22 x 1 2 x 21 所以2xx 4 11 dx 12 x 2 12 x 1 dxx 2 12 x 1 dx 1 1 1 dx dx 2 x 2 2 1 x 2 2 12 2 2 21 d 2 x 1 1 d 2 x 12 22 2 x 1 1 2 2 x 1 11 arctan 2 x 1 arctan 2 x 1 c .22 2x 1 x 2 x

2、 1 2 x解法 2 x 41 dx x 22 x 1 x 22 x 1 dxdx 2 x2 4 dxx 2 x 1 x 11 1 2arctan 2 x 1 arctan x c .2 2解法 3 细心整理归纳 精选学习资料 当x0 ,2 x4 x1 dx1211dx1dx1 第 1 页,共 12 页 x2x 11x2x2x2x2dx121arctanx22cxx12x2xlim x 01arctanx1,22x22 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - -

3、- -lim x 01arctanx22学习必备2,欢迎下载12x2由拼接法可有x 21 dx11arctanx22122c ,x02xarctan0 2 xx0 .4 x12122cx02x例 2. 求xx321dx .1 2x2解 将被积函数化为简洁的部分分式xx321 xA1xB2CxD* 第 2 页,共 12 页 - - - - - - - - - 1 2x21 x21两边同乘以x1 2,约去x1的因子后令x1得B1 321.1 212两边同乘以x1 2,对 x 求导,再令x1,施以上运算后,右端得A,而左端为lim x1dxx321 x12dx1 2x2lim x1dx32lim x

4、13x2x21 2x x32dxx21x2126422.A2 .在 分 解 式 （ * ） 中 令x0 ,得2ABD,所 以D1.分解式（ * ）两边同乘以 x ,再令x,得21AC,C1.故有xx321dxxA1xB2CxDdx1 2x21 x212lnx1211 2ln11 1arctanxc .xx22细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -例 3. 求x41 学习必备x2欢迎下载xdx .2x4解 令ux2,再用部分分式,則 第 3 页,共 12 页 -

5、- - - - - - - - x41 x4x2dx1u2du2ux21 u u21 1u2u AuB1CuD,两 边 乘以u 再uu21令u,0得A.1两 边 乘 以u1 ,再 令u,1得B1.两边乘以u ,再令u,得20ABC ,C1.令u,1D1.22x41 x42 xdx1 u2du2ux21 u11111 u22 u11du22u2 u1lnu1lnu11ln u21 1arctan uc24841ln2 x1ln2 x11ln4 x11arctan x2c24841lnx2x84 x11arctan2 xc .8124例 4 xx152dxx8x81 2x7dx1x8811 2 d

6、x8818x1 1x11x811 2 dx81 881lnx818x11 c .88例 5. 求11cosxxdx .cosxsin解 令tanxt,就11cosxdx x2cosxsin细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -111t22 t2学习必备欢迎下载2tdt122dx1 2 tt21t1t2 11t21tt1t1 1dt1 arctan tc1t2lnt11lnt221ln 1sinx xc .22* 例 6 x2x21 dx1x4x2dx221x21

7、212dx21u1u212du222222分部积分1uu2121lnux212c421621211x2x21 x21lnxc.88例 7 x1 2dxx331x1dxx22x22x分项x45522x2c.32例 811 4 xdxx11112x1dx2x12 x1ln1 1arctanc .4x2例 91xxdx1x1 dxx2x1x41xc.11x dx1xdx133例 10细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 12 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - -

8、 - - - -1dxx1学习必备欢迎下载44xdxd2sincos2x cos 2x2tan4x 2c .例11c ,dxx1dtt2.barcsintctxx2111 arcsinxarcsin 1xx1c ,x1 .例 12 求xa bx dx ,其中a解 由配方得xabx 2 Rxa2b2,其中Rb2a, 令 第 5 页,共 12 页 xua2b,就有原式dt2 Ru2duuRsint2 R2 costdt2 R1cos 2 t22 Rt1sin2 tc2 Rt2 Rsintcos tc2422c .1 ba 2arcsin2xbab 4a2 xabxa bx4* 例 13求Icos3

9、xxdx ,Jsin3xxdx ,cosxsincosxsin解IJ 11sin2x dxx1cos2xc .24IJcosxsinx11sin2xdx2cosxsinxcos2xsin2x 1x1sin2xdx2 2 cosxsin细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 11sin2x学习必备1欢迎下载1lnsin2x1c .cos 2xsin2x2xdx1sin244解上面的联立方程可得出 I ,J .（略）；* 例 1

10、4 运算 I 13dx .1 xI1 1x 3 dx 11 xx 3 x dx12 dx x3 dx , 令 J x3 dx . 可求出1 x x 1 x 1 xI J 2 3 arctan 2 3 x 1 c ,3 3 22 2I J1 1x x3 dx 1 x1 xx 3 x dx21 dx x3 dx ln x 1 1 ln x 31 c ,1 x 1 x 3从而可解出 I . 略 例 15arcsin 2 x dx arcsin 2 x d x 1 1 x 1 x分部积分（x 1）arcsin 2 x 1dx1 x x2 x 1 x arcsin 2 x c .1 x例 16 求 I

11、dx2 .x x x 1解 令x2x1xt,xt21,dx2t2t1dt, 第 6 页,共 12 页 - - - - - - - - - 12 t12 t2I2t2t1dt212 3131 2dtt 12 t2t2 t2 2 t2lnxx2x13ln2 x12x2x122 22 x312x1c .x例 17设fx有一个原函数sinx 求fxx dx .x细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载解 用分部积分法有fxx dxxdfx xfxfx d

12、xdx *fxdxsinxc 1fxfxxsinxc 1xcosxsinx.xx2代入（ * ）有fx x dx cos x sin x sin x c 1,x x即 fx x dx cos x 2 sin x c .x例 18求 12 sin x cos x dx .5 sin x 2 cos x解 5 sin x 2 cos x 5 cos x 2 sin x . 被积函数的分子是 cos x , sin x 的线性组合,故有12 sin x cos x A 5 sin x 2 cos x B 5 sin x 2 cos x 5 A 2 B sin x 5 B 2 A cos x , A

13、2 , B 1 .于是12sinxcos x dx2 cos x2 5sinx2cosx5 sinx2cosx dx5sinx5sinx2cosxxc .2 xln5sinx2cosxc .例 19求3 sinsin xdx2 x .解sinxdx3dcosxxcosxtt2dt432 sinx12 cos例 201dx1t1t1 2dxdt1ln2cos4242cosx22 cosx1 2 cosx2 2 cosxdtanxdtanx dt1x23tan2x3t2cos21arctantc1arctantanxc .3333例 21细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - -

14、- - - - - - - 第 7 页,共 12 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -6x32dx6xt学习必备欢迎下载xx3x26x93x186x18ln16xc .32例 222x5xdx5xt2arctan5xc .x13x1ln5xx15xx1x1* 例 23xdxx 2xsint1arctanxlnx1x2c .1t22* 例 241x2dxxtant1xx21ln1x221c ,x3t2222exxxextdx例 25c.22 ex3 ex1例 26分部积分xarcsinxarcsinxdxe

15、e xxdxe ex exdxe例 27c .例 28例 29.cos2xdxd1sinxcosx 1sinxcosx1sinxcosxln1sinxcosxc 妙用“ 1” ）x2xexx3x1 exdx .2 xxe ex23 x13 e原式2 xx x edx2x ex2x2x x e3c .23例 30. 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页,共 12 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -arctan1dx1学习必备1欢迎下载1 x11

16、2.xarctanc .arctan1x 22xx例 31 basin2xxdxx c .2sin2x .2cos2xb2sin21da2cos2xb2sin22a2a2cos2xb2sin2xb22a2a2cos2xb2sin2xa22 cosxb2sin2x b2a例 32. 1lnxdx2d1lnxdxx2 xlnxlnx2x2xxx1xxlnxlnxxc .x1cxlnxlnxx例 33. x21 dx111dxdx122 x1xx4x2x1 x2x21arctanx1cx220 1arctanx21c.x22x当 x,0利用原函数的连续性.* 例 34细心整理归纳 精选学习资料 x2

17、xdxx2xsint212ln21x2c . 第 9 页,共 12 页 1 121x2 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -例 351x323学习必备t欢迎下载1x2c.xtan1xdx1x22例 36x24 xa2dxxasec t1x2xa23c .a02 3 a例 37 1dxx2xsint1cos tcos tdt2cos t2 costdt112 cost11xarcsinxc .xx例 38xdx2x11 tt21dttx7t271 14

18、ln2x71lnxc .2例 39x 1dx232x3dx3 43 2c .xx1 22211 1tdt32 2 x12t3 4t1xx22例 40x2ex2dxx2x ex12x2x edxx2exc .x2 x2x2例 41x2dx10x109 xdx101lnx1ln10 x2 c .x 2x220* 例 42 17 xdx17x7x6dxlnx2ln17 xc .x 17 xx 2x107例 43细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页,共 12 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - -

19、- - - - - - - - - - - -x2n1dxxnxn学习必备1欢迎下载1ndxn111dxxn11xnnx1 n n x ln x 1 c .n例 442 x 3100 1dx .（令 x 1 1 , dx 12du ,） x 1 u u12 x 3100 1 dx x 1u 1 199 398 x 1 33 x 1 49 x 1* 例 45x dx3 x x t 6（先约分,分子加一减一）例 46x x 1 dx . 分子分母同乘（x 1 x）x x 1* 例 471sinxdx2 cosx2sinxcosxdxsin2x2222例 48dxxsin2x3cos2xdxcscx

20、dxcot2xcscxdx 第 11 页,共 12 页 sin3sinx分部积分cscxdxcotx dcscx1cscxcotx2cot1cscxc .2x例 491sinxxdxsinx 1sinx dsin2 cosxx 2例 501sin1cos xdxx1sinxcosxsinx 1cosx2sinxcosx22 cosx22 cosx1tan22221sin1cosdx xln1tanxc .x2细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - -

21、- - - - - -例 51学习必备欢迎下载xc .xsinx dxxx2 sin x cos22 cos 2x221cosx（分项分部积分）xtan2* 例 52求xflnxdxfflnxdlnx flnx lnxdflnx2flnx c .flnx * 例 53求maxx3,x21,dx.解 令fxx3,x1maxx3,x21, x2,x1,1x13 x,x21,dx1 x41 x 33x4c 1,x1maxc 2,x1 .c 3,x1利用原函数的连续性,有细心整理归纳 精选学习资料 lim x 11x4c 1lim x 1xc3;2 3c ,1 第 12 页,共 12 页 4lim x 1xc 3lim x 113 xc 2,3从而解出c 3c ,c 13c ,c 24故max3 x,2 x1,dx1 4x41 3x3x3 4 2 3 c ,c,xc,x1 .x1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -