2022年2022年基本不等式知识点 .pdf

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1、基本不等式知识点1、不等式的基本性质（对称性）abba（传递性）,ab bcac（可加性）abacbc（同向可加性）dbcadcba,（异向可减性）dbcadcba,（可积性）bcaccba0,bcaccba0,（同向正数可乘性）0,0abcdacbd（异向正数可除性）0,0ababcdcd（平方法则）0(,1)nnababnNn且（开方法则）0(,1)nnabab nNn且（倒数法则）babababa110;1102、几个重要不等式222abab abR，,（当且仅当ab时取号） . 变形公式：22.2abab（基本不等式）2abababR，,（当且仅当ab时取到等号）. 变形公式：2aba

2、b2.2abab用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等” . （三个正数的算术几何平均不等式）33abcabc()abcR、 、（当且仅当abc时取到等号）. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 222abcabbcca abR，（当且仅当abc时取到等号） . 3333(0,0,0)abcabc abc（当且仅当abc时取到等号） . 0,2baabab若则（当仅当a

3、=b 时取等号）0,2baabab若则（当仅当a=b 时取等号）banbnamambab1， （其中000)abmn，规律：小于1 同加则变大，大于1 同加则变小 . 220;axaxaxaxa当时，或22.xaxaaxa绝对值三角不等式.ababab3、几个著名不等式平均不等式：2211222abababab，,a bR（， 当且仅当ab时取号） . （即调和平均几何平均算术平均平方平均） . 变形公式：222;22ababab222().2abab幂平均不等式：222212121.(.) .nnaaaaaan二维形式的三角不等式：22222211221212()()xyxyxxyy1122

4、(,).xy xyR二维形式的柯西不等式：22222()()() ( , , ,).abcdacbda b c dR当且仅当adbc时，等号成立 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 三维形式的柯西不等式：22222221231231 12233()()() .aaabbba ba ba b一般形式的柯西不等式：2222221212(.)(.)nnaaabbb21 122(.) .nna ba ba b向量形式的柯

5、西不等式：设,u r u r是两个向量， 则,u r u ru r u r当且仅当u r是零向量，或存在实数k，使ku ru r时，等号成立 . 排序不等式（排序原理）：设1212.,.nnaaa bbb为两组实数.12,.,nc cc是12,.,nb bb的任一排列，则12111 122.nnnnna ba ba ba ca ca c1 122.nna ba ba b（反序和乱序和顺序和），当且仅当12.naaa或12.nbbb时，反序和等于顺序和. 琴生不等式 :（特例 :凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数( )fx,对于定义域中任意两点1212,(),x xxx有12121212()

6、()()()()().2222xxf xf xxxf xf xff或则称 f(x)为凸（或凹）函数. 4、不等式证明的几种常用方法常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等. 常见不等式的放缩方法：舍去或加上一些项，如22131()() ;242aa将分子或分母放大（缩小），如211,(1)kk k211,(1)kk k2212,21kkkkkk*12(,1)1kNkkkk等. 5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式20(0)axbxc或2(0,40)abac解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数. 二判：判断

7、对应方程的根. 三求：求对应方程的根. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 四画：画出对应函数的图象. 五解集：根据图象写出不等式的解集. 规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边. 6、高次不等式的解法：穿根法. 分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集. 7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则( )0( )( )0( )( )( )0( )0(

8、)0( )f xfxg xg xf xg xf xg xg x（“或”时同理）规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解. 8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解2( )0( )(0)( )f xf xa af xa2( )0( )(0)( )f xf xa af xa2( )0( )0( )( )( )0( )0( )( )f xf xf xg xg xg xf xg x或2( )0( )( )( )0( ) ( )f xf xg xg xf xg x( )0( )( )( )0( )( )f xf xg xg xf xg x规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边

9、分析求解. 9、指数不等式的解法：当1a时 ,( )( )( )( )fxg xaafxg x当01a时, ( )( )( )( )fxg xaaf xg x规律：根据指数函数的性质转化. 10、对数不等式的解法名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - 当1a时 , ( )0log( )log( )( )0( )( )aaf xf xg xg xf xg x当01a时, ( )0log( )log( )( )0.( )(

10、)aaf xf xg xg xf xg x规律：根据对数函数的性质转化. 11、含绝对值不等式的解法：定义法：(0).(0)aaaaa平方法：22( )( )( )( ).f xg xfxgx同解变形法，其同解定理有：(0);xaaxa a(0);xaxaxa a或( )( )( )( )( ) ( ( )0)f xg xg xf xg xg x( )( )( )( )( )( )( )0)f xg xf xg xf xg xg x或规律：关键是去掉绝对值的符号. 12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集. 13、

11、含参数的不等式的解法解形如20axbxc且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：讨论a与 0 的大小；讨论与 0 的大小；讨论两根的大小. 14、恒成立问题不等式20axbxc的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：当0a时0,0;bc当0a时00.a不等式20axbxc的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 当0a时0,0;bc当0a时00.a( )f xa恒成立

12、max( );f xa( )f xa恒成立max( );f xa( )f xa恒成立min( );f xa( )f xa恒成立min( ).f xa15、线性规划问题常见的目标函数的类型：“截距”型：;zAxBy“斜率”型：yzx或;ybzxa“距离”型：22zxy或22;zxy22()()zxayb或22()() .zxayb在求该 “三型” 的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -