2022年三角函数的值域与最值.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -老师姓名郭鹏同学姓名精品资料欢迎下载填写时间刘晓航年级 阶段 教 学 目 标 教学 重难点高一上升二学科数学上课时间基础（）提高（）强化（）课时方案第（ ）次课共（ ）次课1会依据正、余弦函数的有界性和单调性求简洁三角函数的最值和值域；2运用转化思想,通过变形、换元等方法转化为代数函数求其给定区间内的值域和最值；3通过对最值问题的探究与解决,提高运算才能,增强分析问题和解决问题才能；表达数学思想方法 在解决三角最值问题中的作用；重点： 求三角函数的最值与值域 难点： 敏捷选取不同的方法来求三角函数的最值和值域

2、教学过程一、学问检测1在以下说法中：（ 1）函数y2sinx的最大值为3；（2）函数y4xsin2x最小值是 4；（3）函数y1sin2cosx的值域是 1,00,1；4 存在实数 x ,使得tanx1x2成立正确选项（）tanA（1）（2）B（2）（ 4）C（1）（ 3）D（1）（4）2函数ysinx ,x6,2的值域为（）3A 1,1 B11, C1,3D31,2222的最大3函数ysin2xcos2x的最大值为,最小值为4 x _ 时,函数ysinx4sinx4的最大值为 _ 5函数ysin2xsinx1的值域为6函数yacosxb（a,b为常数,且a0）的最大值是1,最小值是7 ,就函

3、数yasinxbcosx值是 _. 二、互动平台（）简洁三角函数的值域【例 1】 1. 求以下三角函数的值域. 1,最小值是（2）ysinx,x6,2 第 1 页,共 6 页 （1）ysinx32. 如函数yacosxb 的最大值是7 ,求 a 、 b . 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载小结 ：求基本三角函数值域,肯定要结合三角函数的图像,故切记正、余弦函数的图像 . （）与三角函数有关的复合函数的

4、值域:yAsinxh,yyAcosxx型函数的值域,【例 2】y2sin2x4,x0 ,4,最小值为A,如Asinh,xa,b【例 3】 求函数ysinxcosx,x0 ,的值域小结 ：对于yAsinxh的最大值为Ah先由xa,b求出x的范畴,然后结合图像求出,即由内而外逐层求值域（）引入帮助角法：类型一 ：y a sin x b cos x 型.（此类型通常可以可化为 y a sin x b cos x a 2b 2 x 求其最值（或值域）.）【例 4】 求函数 y sin x sin x （x R）的最值 . 6 3解法 : y sin x cos x 2 sin x 2 sin x ,6

5、 6 6 4 12函数的最大值为 2 ,最小值为 2 . 类型二 ：y a sin 2x b sin x cos x c a 0 型. 形如这种类型的,可利用倍角公式、降幂公式进行降次、整理为 y A sin 2 x B cos2 x 型再利用帮助角公式求出最值 . 【例 5】求函数 f x 5 3 cos 2x 3 sin 2x 4 sin x cos x x 7 的最值,并求取得最值时 x 的值 . 4 24解：f x 5 3 1 cos 2 x3 1 cos 2 x2 sin 2 x2 22 3 cos 3 x 2 sin 2 x 3 34 cos 2 x 3 36x 7, 22 x 3

6、,2cos 2 x 14 24 3 6 4 2 6 2f x 的最小值为 3 3 2 2,此时 x 7,f x 无最大值 . 24【例 6】）求函数 y 3 sin x 3 cos x 的值域 . 细心整理归纳 精选学习资料 第 2 页,共 6 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -方法小结：求只含有sinxcosx,sin cos精品资料欢迎下载sinxcosxtx的函数的最值问题,通常方法是换元法：令2t2 ,将 sinxcosx 转化为 t

7、的关系式,从而使问题转化为二次函数的最值问题. 但要留意换元后变量的取值范畴 .小试身手 已知：y 12 sin 2x2 3 sin x cos x 1,x R,求 y 的最大值及此时 x 的集合2 2分析 此类问题为 y a sin x b sin x cos x c cos x 的三角函数求最值问题,它可通过降次化简整理为y a sin x b cos x 型求解 . 解：y 1 1 cos2 x 3 sin 2 x 12 2 2 21 cos2 x 3 sin 2 x 54 4 41 1 3 5cos2 x sin 2 x2 2 2 41 sin 2 x 52 6 472 x 2 k ,

8、 x k k z , y max .6 2 6 4小试身手 1 . 已知函数 f x sin 2 x,g x cos2 x ,直线 xt（t 0,）与函数 f x 、g x 的图像分别6 2交于 M、N 两点,就 | MN | 的最大值是多少？2. 求函数y5sin2x3sinxcosx6cos2x的值域 . yat2btca0 在区间1,1上的xsinxcosx的值域 . 3. ycos 2xcosx4. 求函数ysinxcos0型；此类型可化为（）配方法：yasin2xbsinxca最值问题 . 【例 6】求函数ycos2x3sinx1（xR）的最值 . 第 3 页,共 6 页 - - -

9、 - - - - - - 解：y1sin2x3sinx1sinx32924函数的最大值为9 ,最小值为 45234【例 8】求函数ycos2x3asinx1（aR,xR）的最大值 . 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -解：ycos2x3asinx1转化为y精品资料x欢迎下载2sin23 sinx配方得 ：3 2 3 2y sin x a a 22 4当 3 a 1,即 a 2 3时,在 sinx= 1,y max 3 a 12 3当 3a 1 时,即 a 2

10、 3时,在 sinx=1,y max 3 a 12 3当 1 3 a 1,即 2 3 a 2 3时,在 sin x 3 a 时,y max 3 a 222 3 3 2 42 33 a 1 a 3综上：y max 3a 22 2 3a 2 34 3 32 33 a 1 a 3小结 ：对于二次型函数,都可通过换元构造二次函数 y at 2 bt c,进而转化为二次函数在某个区间上的值域问题,但肯定要留意新元的范畴 . 小试身手 1. 函数 f x sin 2x 2cos x在区间 2 , 上的最大值为 1, 就 的值是多少？32. 求函数 y 5sin x cos 2 x 的最值 . 分 析 ：观

11、看三角函数名和角,其中一个为正弦,一个为余弦,角分别是单角和倍角,所以先化简,使三角函数的名和角达到统一 . 2解：y 5sin x 1 2sin 2x 2sin 2x 5sin x 1 2 sin x 5 334 81 sin x 1, sin x 1 , x 2 k , k z , y min 2 81 33 62 16 8sin x 1 . x 2 k , k z y max 2 1 33 42 16 83. 设 f x cos 2x a sin x a 10 x,用 a 表示 f x 的最大值 M a4 2 22 a 1. 解：f x sin x a sin x . 令 sinx=t,

12、就 0 t 1 ,4 22 22 a 1 a a a 1g t f x t at t .4 2 2 4 4 2细心整理归纳 精选学习资料 第 4 页,共 6 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（1）当a1,即a,2gt精品资料ag欢迎下载1;在0,1 上递增,M13a242（2）当0a,1即0a2时,gt在 0,1上先增后减,Magaa2a1;asinxbcosxc22442（3）当a0,即a0,gt在 0, 1上递减,Mag01a.224转化

13、为3 a1,a242Maa2a1,0a24421a,a0243. 求函数ycos2x2sinx在区间4,4上的值域 . （）数形结合 :fx asinxb型；此类型最值问题可考虑如下几种解法：ccosxd再利用帮助角公式求其最值；采纳数形结合法（转化为斜率问题）求最值. 【例 9】求函数ysinx2的值域cosx解法 1：将函数ysinx2变形为ycosxsinx2ycosxsinx2yy2由| sinx | 2 |12 212 y ,112 y解得：3y3,故值域是3,33333yPQx解法 2：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点Pcosx, sinx与定点Q2, 0所确定的直线

14、的斜率的范畴；作出如图得图象,当过Q 点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数ysinx2得最值,由几何学问,易求得过Q 的两切线Ocosx得斜率分别为3、3；结合图形可知,此函数的值域是3,3. 3333 第 5 页,共 6 页 课后作业细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -1.函数ysinxx3cosx在区间 0,精品资料欢迎下载2上的最小值为2.函数fx cos1cos2x xR 的最大值等于23.函数 y tan x x

15、 且 x 0 的值域是 _2 4 421 cos 2 x 8 sin x4.当 0 x 时,函数 f x 的最小值为2 sin 2 x1函数 y 2 sin x cos x x R 的最小值等于 _3 622当 0 x 时,函数 f x cos x2 的最小值是 _4 cos x sin x sin x3函数 y sin x 的最大值为 _,最小值为 _. cos x 24函数 y cos x tan x 的值域为 . 5已知函数 f x 2sin x 0 在区间 , 上的最小值是 2 ,就 的最小值等于 _3 46已知函数 f x 2cos x sin x cos 1,x R（）求函数 f

16、x 的最小正周期；（）求函数 f x 在区间 3,上的最小值和最大值8 427. 已知函数 f x 2 sin x 2 3 sin cos x a b a 0 的定义域为 2,0,值域为 5,1,求常数 a 、 b 的值教学反思：三角函数的最值问题是三角函数基础学问的综合应用,近几年的高考题中常常显现 .其显现的形式,或者是在小题中单纯地考察三角函数的值域问题；或者是隐含在解答题中,作为解决解答题所用的学问点之一；或者在解决某一问题时,应用三角函数有界性会使问题更易于解决（比如参数方程）；题目给出的三角关系式往往比较复杂,进行化简后,再进行归纳家长签名及建议：细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 6 页 - - - - - - - - -