2022年三角函数与平面向量的综合应用.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载三角函数与平面对量的综合应用【要点梳理】1 三角恒等变换1公式：同角三角函数基本关系式、诱导公式、和差公式2公式应用：留意公式的正用、逆用、变形使用的技巧,观看三角函数式中角之间的联系,式子之间以及式子和 公式间的联系3留意公式应用的条件、三角函数的符号、角的范畴2 三角函数的性质1争论三角函数的性质,一般要化为yAsin x的形式,其特点：一角、一次、一函数 2在争论 yAsin x 的图象和性质时,要重视两种思想的应用：整体思想和数形结合思想,一般地,可设 达到目的3 解三角形t x,y

2、Asin t,通过争论这两个函数的图象、性质解三角形问题主要有两种题型：一是与三角函数结合起来考查,通过三角变换化简,然后运用正、余弦定理求值；二是与平面对量结合主要是数量积,判定三角形外形或结合正、余弦定理求值试题一般为中档题,客观题、解答题均有可能显现4 平面对量平面对量的线性运算,为证明两线平行供应了重要方法平面对量数量积的运算解决了两向量的夹角、 垂直等问题 特殊是平面对量的坐标运算与三角函数的有机结合,表达了向量应用的广泛性【自我检测】1 已知角 终边上一点2已知 fxsinxP4,3,就cos 2 sin 的值为 _cos11 2 sin 9 23cosx的一条对称轴为y 轴,且

3、0,就 _. 3. 如下列图的是函数fxAsin xBA0,0,| 0, 2 图象的一部分,就fx的解析式为 _4 2022 四川改编 如图,正方形ABCD 的边长为 1,延长 BA 至 E,使AE1,连接 EC、ED,就 sinCED_. 5. 如图,在梯形ABCD 中, AD BC, ADAB,AD 1,BC2, AB 第 1 页,共 22 页 细心整理归纳 精选学习资料 3,P 是 BC 上的一个动点,当PDPA 取得最小值时,tanDPA 的 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - -

4、- - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载值为 _【题型深度剖析】题型一三角恒等变换43 5,求 sin cos 2 1 的值例 1设 30,00的最小正周期为 2,并且当 x1 3时, fxmax2. 1求 fx的解析式； 2在闭区间 214,23 4上是否存在 fx的对称轴？假如存在,求出其对称轴方程；假如不存在,请说明理由细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 22 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -题型三精品资料欢迎下

5、载三角函数、平面对量、解三角形的综合应用例 3 已知向量 m3sin x 4,1 ,n cos x 4,cos 2x4 . 21如 m n1,求 cos 3x 的值；2记 fxm n,在 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是bcos C,求函数 fA的取值范畴a,b,c,且满意 2accos B思维启发： 1由向量数量积的运算转化成三角函数式,化简求值2在 ABC 中,求出A 的范畴,再求 fA的取值范畴探究提高 1向量是一种解决问题的工具,是一个载体,通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题2三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化,留意角的范畴对变形过程的影响【训练

6、3】在 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 lg cos A 0. 1判定 ABC 的外形；a,b,c,且 lg alg blg cos B2设向量 m2a,b,na,3b,且 mn,mn nm14,求 a,b,c 的值【高考中的平面对量、三角函数客观题】典例 1： 5 分2022 山东 函数 y2sinx 6 3 0x9的最大值与最小值之和为 A23 B0 C 1 D 13 考点分析 此题考查三角函数的性质,考查整体思想和数形结合思想 解题策略 依据整体思想,找出角 6x3的范畴,再依据图象求函数的最值解后反思 1函数 yAsin x可看作由函数 y Asin t 和 t x 构成的复

7、合函数2复合函数的值域即为外层函数的值域,可以通过图象观看得到细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 22 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载典例 2：5 分2022 天津 在 ABC 中,A 90,AB 1,AC2.设点 P,Q 满意 AP AB ,AQ 1AC ,R.如BQ CP 2,就 等于 1 2 4A. 3 B. 3 C. 3 D2 考点分析 此题考查向量的线性运算,考查向量的数量积和运算求解才能解题策略 依据平

8、面对量基本定理,将题中的向量 BQ ,CP 分别用向量 AB ,AC 表示出来,再进行数量积运算解后反思 1利用平面对量基本定理结合向量的线性运算表示向量是向量问题求解的基础； 2此题在求解过程中利用了方程思想【感悟提高】方法与技巧1争论三角函数的图象、性质肯定要化成yAsin x B 的形式,然后利用数形结合思想求解 2三角函数与向量的综合问题,一般情形下向量学问作为一个载体,可以先 通过运算转化为三角函数问题再进行求解失误与防范1三角函数式的变换要娴熟公式,留意角的范畴；不要混同于直线的夹角或三角形的内角【专项训练 1】1 2022 大纲全国 ABC 中, AB 边的高为2向量运算时要留意

9、向量夹角的大小,CD,如 CB a,CA b,ab0,|a|1, |b|2,就 AD 等于 第 4 页,共 22 页 - - - - - - - - - A.1 3a1 3bB.2 3a2 3b 3 C. 5a3 5bD.4 5a4 5b2 已知向量 a2,sin x,bcos 2x,2cos x,就函数fxab 的最小正周期是 A.BC2D423 已知 a,b, c 为 ABC 的三个内角A,B,C 的对边,向量m3, 1,ncos A,sin A如 mn,且 acos Bbcos Acsin C,就角 A,B 的大小分别为 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - -

10、 - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -A.,6 3B.2 3,6精品资料欢迎下载D., 3 3C. 3,64 已知向量 OB 2,0,向量 OC 2,2,向量 CA 2cos , 2sin ,就向量 OA 与向量 OB的夹角的取值范畴是 A. 0,4 B. 4, 5 12 C. 12,5 2 D. 12, 5 125 2022 北京 在 ABC 中,如 a 3,b3, A3,就 C 的大小为 _6 在直角坐标系 xOy 中,已知点 A1,2,B2cos x,2cos 2x,Ccos x,1,其中 x 0, ,如 AB OC ,

11、就 x 的值为 _7 已知函数 fxsin x cos x,且 fx2fx, fx是 fx的导函数,就cos 1sin2xsin 2x 2x_. 8 10 分 已知 A,B,C 的坐标分别为 A3,0,B0,3, Ccos ,sin ,2,3 . 1如|AC |BC |,求角 的值； 2如 AC BC 1,求 2sin1tan 2sin 2 的值9 12 分 设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,a2bsin A. 1求 B 的大小； 2求 cos Asin C 的取值范畴【专项训练 2】1 2022 江西 已知 fx sin 2 x4,如 aflg 5 ,bf

12、lg 1 5,就 第 5 页,共 22 页 Aab0 Bab0 Cab1 Dab 1 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -2 已知 a 1 2,3,b1,精品资料欢迎下载 3,就 |atb| tR的最小值等于23 1 2A1 B. 2 C. 2 D. 23在 ABC 中,ABBC 3, ABC 的面积 S ABC2,3 2,就 AB 与BC 夹角的取值范畴是A. 4, B. 6, C. 6, D. 3,4 2022 安徽

13、已知函数 fxsin2x,其中 为实数 fx f 6 对 xR 恒成立,且f 2 f,就 fx的单调递增区间是 _5如 0 2, 20 且 a 1,试争论函数的奇偶性、单调性细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 22 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载三角函数与平面对量的综合应用【要点梳理】1 三角恒等变换1公式：同角三角函数基本关系式、诱导公式、和差公式2公式应用：留意公式的正用、逆用、变形使用的技巧,观看三角函数式中

14、角之间的联系,式子之间以及式子和 公式间的联系3留意公式应用的条件、三角函数的符号、角的范畴2 三角函数的性质1争论三角函数的性质,一般要化为yAsin x的形式,其特点：一角、一次、一函数 2在争论 yAsin x 的图象和性质时,要重视两种思想的应用：整体思想和数形结合思想,一般地,可设 达到目的3 解三角形t x,yAsin t,通过争论这两个函数的图象、性质解三角形问题主要有两种题型：一是与三角函数结合起来考查,通过三角变换化简,然后运用正、余弦定理求值；二是与平面对量结合主要是数量积,判定三角形外形或结合正、余弦定理求值试题一般为中档题,客观题、解答题均有可能显现4 平面对量平面对量

15、的线性运算,为证明两线平行供应了重要方法平面对量数量积的运算解决了两向量的夹角、 垂直等问题 特殊是平面对量的坐标运算与三角函数的有机结合,表达了向量应用的广泛性【自我检测】1 已知角 终边上一点P4,3,就cos 2 sin 的值为 _ 第 7 页,共 22 页 - - - - - - - - - cos11 2 sin 9 2答案3 4解析cos 2 sin sin sin tan . cos11 2 sin9 2sin cos 依据三角函数的定义得tan y x 3 4. 所以cos 2 sin 3 4. cos11 2 sin9 22 已知 fxsinx3cosx的一条对称轴为y 轴,

16、且 0,就 _. 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -答案精品资料欢迎下载63. 解析fxsinx3cosx fx2sin x3,由 3 k 2 kZ及 0,可得 6. 如下列图的是函数fx Asin x BA0,0,| 0, 2 图象的一部分,就的解析式为 _答案 fx2sin 2 3x61 解析 由于最大值和最小值之差等于 4,故 A2,B1. 由于 22sin 1,且 | 0,2,得 6. 由图象知 2k 2 kZ,得 2k2 3kZ又 22,01.2

17、3. 函数 fx的解析式是 fx2sin 2 3x6 1. 4 2022 四川改编 如图,正方形ABCD 的边长为 1,延长 BA 至 E,使 AE1,连接 EC、ED,就 sinCED _. 答案10 10应用两角差的正弦公式求解Rt ADE 中, AED45,解析方法一由题意知,在在 Rt BCE 中, BE 2,BC1,CE5,就 sinCEB1 5,cosCEB2 5. 而CED45CEB,sinCED sin45 CEB 细心整理归纳 精选学习资料 2 2 cosCEB sinCEB 第 8 页,共 22 页 2 22 51 510 10 . - - - - - - - - - -

18、- - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载方法二 利用余弦定理及同角三角函数基本关系式求解由题意得 ED2,EC122 25. 在 EDC 中,由余弦定理得cosCED CE2DE2DC23 1010,2CEDE又 0CED ,sinCED 1 cos 2CED110 310 210 . 105. 如图,在梯形 ABCD 中,AD BC,ADAB,AD1,BC2,AB3,P 是 BC 上的一个动点,当 PD PA 取得最小值时,答案 1235tan DPA 的值为 _解析如图,

19、以A 为原点,建立平面直角坐标系xAy,就 A0,0,B3,0, C3,2, D0,1,设 CPD ,BPA,P3,y 0y2PD 3,1 y, PA3, y,P 3,1 2,PDPAy2y9 y1 2235 4,当 y1 2时, PDPA取得最小值,此时易知 |DP|AP|,. 在 ABP 中, tan 3 16,2tanDPA tantan 2tan 2112 35. 【题型深度剖析】题型一三角恒等变换43 5,求 sin cos 2 1 的值 第 9 页,共 22 页 例 1设 33 4,sin 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - -

20、- - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载思维启发： 可以先将所求式子化简,寻求和已知条件的联系解方法一由 33 4,145 2. 得 12 40. 由于 33 4,故 30,0所示, P、Q 分别为该图象的最高点和最低点,点 1求 fx的最小正周期及 的值；P 的坐标为 1,A2如点 R 的坐标为 1,0, PRQ23,求 A 的值思维启发： 三角函数图象的确定,可以利用图象的周期性、最值、已知点的坐标列方程来解决解 1由题意得 T2 6. 3由于 P1,A在 yAsin 3x的图象上,所以 sin

21、 3 1. 又由于 00,所以 A3. 探究提高 此题确定 的值时,肯定要考虑 的范畴；在三角形中利用余弦定理求 A是此题的难点【训练 2】已知函数 fxAsin xBcos xA,B, 是常数, 0的最小正周期为 2,并且当 x1 3时, fxmax2. 1求 fx的解析式；细心整理归纳 精选学习资料 2在闭区间21 4,23 4上是否存在fx的对称轴？假如存在,求出其对称轴方程；假如不 第 11 页,共 22 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - -

22、 -精品资料 欢迎下载存在,请说明理由解 1由于 fxA 2B 2sin x,由它的最小正周期为 2,知2 2,又因为当 x1 3时, fxmax2,知 1 32k2 kZ,2k6 kZ,所以 fx2sin x 2k 62sin x 6 . 故 fx的解析式为 fx2sin x6 . 2当垂直于 x 轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时,该直线就是正弦曲线的对称轴,令 x 6k 2 kZ,解得 xk1 3,由21 4k1 323 4,解得 59 12k65 12,又 kZ,知 k5,由此可知在闭区间 21 4,23 4上存在 fx的对称轴,其方程为 x16 3 . 题型三 三角函数、平面对量、

23、解三角形的综合应用x x 2x例 3 已知向量 m3sin 4,1 ,n cos 4,cos 4 . 21如 m n1,求 cos 3x 的值；2记 fxm n,在 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是bcos C,求函数 fA的取值范畴a,b,c,且满意 2accos B思维启发： 1由向量数量积的运算转化成三角函数式,化简求值2在 ABC 中,求出A 的范畴,再求fA的取值范畴解1m n3sin x 4cos x 2x4cos 43 2 sin x 21 cos x2 61 2,2sin2m n1, sin x 2 61 2. cos x 312sin2x 261 2,cos2 3x

24、cos x3 1 2. 22accos Bbcos C,由正弦定理得 2sin Asin Ccos Bsin Bcos C,2sin Acos Bsin Ccos Bsin Bcos C. 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页,共 22 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载2sin Acos BsinBCA BC,sinBCsin A 0. cos B1 2,0B, B 3. 0A 2 3 . 6 2 6 2,sin 2 6

25、 1 2,1 . 又fx sin x 2 61 2. fA sin A 2 61 2. 3 故函数 fA的取值范畴是 1,2 . 探究提高 1向量是一种解决问题的工具,是一个载体,通常是用向量的数量积运算 或性质转化成三角函数问题2三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化,留意角的范畴对变形过 程的影响【训练 3】在 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 lg cos A 0. 1判定 ABC 的外形；a,b,c,且 lg alg blg cos B2设向量 m2a,b,na,3b,且 mn,mn nm14,求 a,b,c 的值解 1由于 lg alg b lg cos Blg

26、cos A 0,所以a b cos B cos A 1,所以 sin 2Asin 2B 且 a b. 由于 A,B0,且 A B,所以 2A 2B,即 AB 2且 A B. 所以 ABC 是非等腰的直角三角形2由 mn,得 m n 0.所以 2a 23b 20.由mn nm14,得 n 2m 214,所以 a 29b 24a 2 b 214,即 3a 28b 214.联立 ,解得 a6,b2.所以 ca 2b 210. 故所求的 a,b,c 的值分别为 6,2,10. 【高考中的平面对量、三角函数客观题】细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第

27、 13 页,共 22 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料欢迎下载 典例 1： 5 分2022 山东 函数 y2sinx 6 3 0x9的最大值与最小值之和为A23 B0 C 1 D 13 考点分析 此题考查三角函数的性质,考查整体思想和数形结合思想 解题策略 依据整体思想,找出角 6x3的范畴,再依据图象求函数的最值解析 由题意 3x 6 37 6 . 画出 y2sin x 的图象如图,知,当 6x 3 3时, ymin3. 当 6x3 2时, ymax2. 故 ymaxymin23. 答案 A

28、 解后反思 1函数 yAsin x可看作由函数 y Asin t 和 t x 构成的复合函数2复合函数的值域即为外层函数的值域,可以通过图象观看得到典例 2：5 分2022 天津 在 ABC 中,A 90,AB 1,AC2.设点 P,Q 满意 AP AB ,AQ 1AC ,R.如BQ CP 2,就 等于 1 2 4A. 3 B. 3 C. 3 D2 考点分析 此题考查向量的线性运算,考查向量的数量积和运算求解才能解题策略 依据平面对量基本定理,将题中的向量 BQ ,CP 分别用向量 AB ,AC 表示出来,再进行数量积运算解析 BQ AQ AB 1AC AB ,CP AP AC AB AC ,

29、BQ CP 1AC 2AB 2 4134 2,即 2 3. 答案 B 解后反思 1利用平面对量基本定理结合向量的线性运算表示向量是向量问题求解的基础； 2此题在求解过程中利用了方程思想细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页,共 22 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精品资料 欢迎下载【感悟提高】方法与技巧1争论三角函数的图象、性质肯定要化成 思想求解yAsin x B 的形式,然后利用数形结合2三角函数与向量的综合问题,一般情形下向量学问作为一个载体,可以先通过运算转化 为三角函数问题再进行求解失误与防范 1三角函数式的变换要娴熟公式,留意角的范畴2向量运算时要留意向量夹角的大小,不要混同于直线的夹角或三角形的内角【专项训练 1】1 2022 大纲全国 ABC 中, AB 边的高为CD,如 CB a,CA b,ab0,|a|1, |b|2,就 AD 等于C.3 5a 3 5bD.4 5a4 5b A.1 3a1 3bB.2 3a2 3b 答案D 解析利用向量的三角形法就求解