2022年一道中考压轴题多解研究.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -一道中考压轴题多解讨论OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,O 为原点,点 A 在 x 轴上,点 C 在y 轴上；OA 10 , OC 6；（1）如图 1,在 AB 上取一点 M ,使得 CBM 沿 CM 翻折后,点 B 落在 x 轴上,记作 B 点；求 B 点的坐标；（2）求折痕 CM 所在直线的解析式；（3）作BG/AB交 CM 于点 G；如抛物线y1x2m过点 G,求抛物线的解析式,6并判定以原点O 为圆心, OG 为半径的圆与抛物线除交点G 外,是否仍有交点？如有,请直接写出交点的坐标；这道

2、中考压轴题是几何与函数综合题,试题把矩形OABC 置于直角坐标系之中,用翻折方法将矩形的一边同始终角变化位置,且令其折痕与抛物线 y 1 x 2 m 相交于点 G,从6而求折痕 CM 所在直线与过点 G 的抛物线的解析式；从答案看,求折痕 CM 所在直线的解析式用的是 C、M 两点坐标；求抛物线 y 1 x 2 m 的解析式用的是 G 点坐标；从图看,6如设折痕 CM 的延长线与 x 轴的交点为 N（如图 1）,就折痕 CM 所在的直线上就有 C、G、M 、N 四个点的坐标可求,故折痕 CM 所在的直线解析式有六种解法；由此可见,点 G 坐标在后两问求解中具有关键性作用,所以点（1）求点 B

3、的坐标；G 坐标的几何解法就颇有讨论必要；解：如图 1,由于RtCBM是RtCBM折叠而来的；所以RtCBMRtCBM,64；所以CBCB10；在RtCOB中,OB2CB2CO210262所以OB8（负值舍去）；所以点 B 坐标（ 8,0）；（2）求折痕 CM 所在直线的解析式：第一求 C、M 、 G、N 四点坐标；易知点 C 坐标（ 0, 6）；求点 M 坐标：解法 1：如图 1；由于RtCBMRtCBM,所以BMBM,设AMx2就BMBM6x；又BAOAOB108在RtBAM中,1 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 6

4、页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -BM2BA2AM2,所以6x222x2,解得x8,所以AM833所以点M坐标 10,83解法 2：如图 1；由于CBOMBA180；CBM,又CBMCBM90,所以CBOMBA90又OCBCBO90,所以OCBMBA；又COBB AM90,所以RtCOBRtB AM；所以OBCO,AMBA所以86,AM2所以AM8；3所以点 M 坐标（ 10,8 ）；3求点 G 坐标：解法 1：如图 1；由于 Rt B AM Rt COB （已证）,所以 B M B A , 所以 B

5、M 2,CB CO 10 6所以 B M 103由于 GB / BA,所以 B GM CMB ；由于 Rt CB M Rt CBM,所以 CMB CMB,所以 B GM CMB ,所以 B G B M 10,3所以点 G 坐标 8 , 10 ；3解法 2：如图 1,延长 CM 交 x 轴于 N；由于RtCBMRtCBM,所以BCMBCM；由于CB/BN,所以BCMBNM,所以BCMBNM,所以BCBN；2 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 6 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - -

6、 - - - - - - - - - - -由于CBMNBG90,所以RtCBMRtNBG,所以BGBM由于BM10（已解）,所以BG1033所以点 G 坐标 8,10；3解法 3：如图 1,延长 CM 交 x 轴于 N；由于BNBC10（已证）,所以ANBNBA1028；又AM8（已解）,3由于MA/GB,所以BGBN,AMAN所以BG10,所以BG10；8833所以点 G 坐标（ 8,10 ）；3解法 4：如图 1,延长 CM 交 x 轴于 N；由于ABCO,6AM8,D；3所以BMABAM6810；33由于BNCB10,CB/BN,所以BNGBCM；又NBGCBM,所以NBGCBM,所以

7、BGBM10；3所以点 G 坐标（ 8,10 ）；3解法 5：如图 2,延长CB 交 BA 的延长线于由于CO/AD,所以COBDAB,所以COOB ,ADBA3 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 6 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -所以6 AD8 2,D2BA2AD2,3 2；所以AD在RtBAD中 ,B所以BD22232,525,2所以BD5负值舍去,2所以CDCBBD1022DMMAAD8325 6；32由于BG/DM,10

8、25,所以CBGCDM,所以BGCB,所以BGDMCD2562所以BG10；3所以点 G 坐标 8,10；3解法 6：如图 3,延长 B G 交 CB 于 D；由于CDOB,8BM10,3由于DG/BM,8,所以CDGCBM所以DGCD,所以DGBMCB10103所以,DG8；10,3所以BGBDDG6833所以点 G 坐标（ 8,10 ）；3解法 7：设点 G 坐标（ 8,a）,4 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 6 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - -

9、- - - - - -就 a 1 8 6 10；3 3所以点 G 坐标（ 8,10 ）；3求点 N 坐标；解法 1：如图 1,延长 CM 交 x 轴于 N；由求点 G 的坐标解 3 知, AN=8 ,所以ONOAAN10818,所以点 N 坐标（ 18,0）解法 2：如图 1,延长 CM 交 x 轴于 N；由于AN/BC,所以ANMBCM；所以ANAM,所以AN883 10,BCBM103所以AN8；18；所以ONOAAN10所以点 N 坐标（ 18,0）解法 3：如图 1,延长 CM 交 x 轴于 N；由于AM/OC,所以AMNOCN,所以ONOC AM,所以ONOC,ANOAOCAM所以O

10、N668,10所以ON318；所以点 N 坐标（ 18,0）；其次,求折痕 CM 所在直线的解析式：设折痕 CM 所在直线的解析式为y kx b；解法 1：由 C（0,6）, M （10,8 ）两点组成方程组：36 0 k b , k 1 ,8 解得 3；3 10 k b b 6所以 y 1 x 6；3解法 2：由 G（8,10 ）, M （10,8 ）两点组成方程组：3 3103 8 k b ,解得 k 13 ,8 10 k b , b 63所以 y 1 x 6；35 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 6 页 - - -

11、- - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -解法 3：由 M （ 10,810kb,解得318 kb,0所以y1 3x6；8 ）, N（8,0）两点组成方程组：31 k 3 ,；b 6解法 4：由 C（0,6）, N（18,0）两点组成方程组：60kb,解得k61；3018 kb,b所以y1 3x6；所以折痕 CM 所在直线的解析式为y1x6；3其余两种解法留给读者；（3）求过点 G 抛物线y1x2m的解析式：G ,其点 G 坐标（8 ,10 ）36解：由上面解法知点G 坐标（ 8,10 ）；3由于10182m,36所以m22,3所以y1x222；63除交点 G 外,另有交点为点G 关于 y 轴的对称点年级中学学科数学版本期数内容标题一道中考压轴题多解讨论分类索引描述辅导与自学分类索引号G.622.46 主题词一道中考压轴题多解讨论二校栏目名称中考经典供稿老师审稿老师常丽霞一校林卉录入审核6 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 6 页 - - - - - - - - -