2022年不等式恒成立问题中的参数求解技巧.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载不等式恒成立问题中的参数求解技巧在不等式中, 有一类问题是求参数在什么范畴内不等式恒成立；恒成立条件下不等式参数的取值范畴问题,涉及的学问面广,综合性强,同时数学语言抽象,如何从题目中提取可借用的学问模块往往捉摸不定,难以查找,是同学们学习的一个难点,同时也是高考命题中的一个热点；其方法大致有：用一元二次方程根的判别式,参数大于最大值或小于最小值,变更主元利用函数与方程的思想求解；本文通过实例,从不同角度用常规方法归纳,供大家参考；一、用一元二次方程根的判别式有关含有参数的一元二次不等式问题

2、,如能把不等式转化成二次函数或二次方程,通过根的判别式或数形结合思想,可使问题得到顺当解决；例 1 对于 x R,不等式 恒成立,求实数 m 的取值范畴；解：不妨设,其函数图象是开口向上的抛物线,为了使,只需,即,解得；变形：如对于 x R,不等式 恒成立,求实数 m 的取值范畴；变形：此题需要对 m 的取值进行争论,设；当 m=0 时, 30,明显成立；当 m0 时,就0；当 m0 时,明显不等式不恒成立；由知；关键点拨：对于有关二次不等式（或 0）的问题,可设函数,由a 的符号确定其抛物线的开口方向,再依据图象与x 轴的交点问题,由判别式进行解决；例 2 已知函数,在时恒有,求实数 k 的

3、取值范畴；是开口向例 2 解：令,就对一切恒成立,而上的抛物线；当图象与x 轴无交点满意0,即时,只需,解得 2k1 ；/k1 当图象与x 轴有交点,且在由知关键点拨：为了使在恒成立,构造一个新函数是解题的关键,再利细心整理归纳 精选学习资料 第 1 页,共 6 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载用二次函数的图象性质进行分类争论,使问题得到圆满解决；二、参数大于最大值或小于最小值假如能够将参数分别出来,建立起明确的参数和变量

4、x 的关系,就可以利用函数的单调性求解；恒成立,即大于时大于函数 值域的上界；恒成立,即小于时小于函数 值域的下界；例 3 已知二次函数,假如 x 0,1时,求实数 a 的取值范畴；解： x 0, 1时,即当 x=0 时, aR 当 x时,问题转化为恒成立； 因由恒 成 立 , 即 求的 最 大 值 ； 设为减函数,所以当x=1 时,可得；由恒 成 立 , 即 求的 最 小 值 ； 设； 因为增函数,所以当x=1 时,可得 a0；由知；分别出 a,然后争论关于的二次函数在上的单调性；关键点拨：在闭区间0, 1上使例 4 如不等式在 x 1,2时恒成立,试求a 的取值范畴；解：由题设知,得 a0

5、,可知 a+x1 ,所以；原不等式变形为；,即；又,可得, 在 x 1, 2 上 为 减 函 数 , 可 得恒 成 立 ； 设细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 6 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -,知；学习必备欢迎下载综上知；关键点拨：将参数a 从不等式中分别出来是解决问题的关键；例 5 是否存在常数c 使得不等式,对任意正数x、y 恒成立？试证明你的结论；解：第一,欲使 恒成立（ x、y0）,进行换元令；上述不等式变为,即恒成立；

6、寻求的最小值,由a0,b0,利用基本不等式可得；同理欲使恒成立,令,得上述不等式变为,即；寻求的最大值,易得；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 6 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -综上知存在使上述不等式恒成立；学习必备欢迎下载关键点拨：此题是两边夹的问题,利用基本不等式,右边查找最小值,左边查找最大值,可得 c=；三、变更主元 在解含参不等式时,有时如能换一个角度,变参数为主元,可以得到意想不到的成效,使问题能更快速地得 到解决；例

7、 6 如不等式,对满意全部的 x 都成立,求x 的取值范畴；解：原不等式可化为令 是关于 m 的一次函数；由题意知解得 x 的取值范畴是 关键点拨：利用函数思想,变换主元,通过直线方程的性质求解；例 7 已知是定义在 1,1上的奇函数且,如 a、b 1,1,a+b 0,有；（ 1）判定函数 在 1,1上是增函数仍是减函数；（2）解不等式；（ 3）如对全部、a 1,1恒成立,求实数m 的取值范畴；解：（1）设,就,可知,所以在 1,1上是增函数； 第 4 页,共 6 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名

8、师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（ 2）由在 1,1上是增函数知学习必备欢迎下载解得,故不等式的解集（ 3）由于在 1, 1上是增函数,所以一条恒成立；,即1 是的最大值；依题意有,对 a 1,1恒成立,即令,它的图象是线段,那么；关键点拨：对于（1）,抽象函数单调性的证明往往借助定义,利用拼凑条件,判定差的符号；对于（2）,后一步解不等式往往是上一步单调性的连续,通过单调性、函数值的大小转化到自变量的大小上来；对于（3）,转换视角变更主元,把 看作关于 a 的一次函数,即 在 a 1,1上大于等于0,利用 是一条直线这一图象特点,数形结合得

9、关于 m 的不等式组,从而求得 m 的范畴；不等式恒成立问题中的参数求解技巧细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 6 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载一、用一元二次方程根的判别式例 1 对于 x R,不等式,在恒成立,求实数m 的取值范畴；变形：如对于xR,不等式恒成立,求实数m 的取值范畴；例 2 已知函数时恒有,求实数 k 的取值范畴；二、参数大于最大值或小于最小值例 3 已知二次函数,假如 x 0,1时,求实数 a 的取值范畴；例 4 如不等式在 x 1,2时恒成立,试求a 的取值范畴；例 5 是否存在常数c 使得不等式,对任意正数x、y 恒成立？试证明你的结论；三、变更主元例 6 如不等式,对满意全部的 x 都成立,求x 的取值范畴；例 7 已知是定义在 1,1上的奇函数且,如 a、b 1,1,a+b 0,有（ 1）判定函数 在 1,1上是增函数仍是减函数；（2）解不等式；（ 3）如对全部、a 1,1恒成立,求实数m 的取值范畴； 第 6 页,共 6 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -