2022年上海市年重点中学自主招生数学模拟试题.docx

《2022年上海市年重点中学自主招生数学模拟试题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年上海市年重点中学自主招生数学模拟试题.docx（31页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -上海市 2022 年重点中学自主招生数学模拟试题答题时留意 : 1、试卷满分 150 分;考试时间： 120 分钟 . 2、试卷共三大题,计 1道题；考试终止后,将本卷及演算的草稿纸一并上交；一、挑选题（共 5 小题,每题 6 分,共 30 分. 以下每道题均给出了代号为 A,B,C,D的四个选项 , 其中有且只有一个选项是正确的 的括号内 . 不填、多填或错填均不得分）. 请将正确选项的代号填入题后2 21、假如关于 x 的方程 x ax a 3 0 至少有一个正根, 就实数 a 的取值范畴是 （）A、2

2、a 2 B、3 a 2 C、3 a 2 D、3 a 22、如图,已知：点 E 、 F 分别是正方形 ABCD 的边 AB、BC 的中点,BD、DF 分别交 CE 于 点 G、H, 如 正 方 形 ABCD 的 面 积 是 240 , 就 四 边 形 BFHG 的 面 积 等于 （）A E BA、 26 B、28C、 24 D、30 3 、设 x、y、z 是两两不等的实数,且满意以下等式：GF6 x 3 y x 3 6 x 3 z x 3 6 y x 6x z,就代数式 H3 3 3x y z 3 xyz 的值是 （）D CA、 0 B、1 C、3 D、条件不足,无法运算D4、如图,四边形 BD

3、CE 内接于以 BC 为直径的A ,已知：BC 10 , cos BCD 3 , BCE 30,就线段 DE 的长5是 （）BC AA、89 B、7 3 C、 4+3 3 D、 3+4 35、某学校共有 3125 名同学,一次活动中全体同学被排成E一个 n 排的等腰梯形阵,且这 n 排同学数按每排都比前一排多一人的规律排列,就当 n 取到最大值时,排在这等腰梯形阵最外面的一周的同学总人数是 （）A、 296 B、221 C、225 D、641 细心整理归纳 精选学习资料 第 1 页,共 16 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名

4、师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -二、填空题：（共 5 小题,每题 6 分,共 30 分）6、已知：实常数a、b、c、d同时满意以下两个等式：asindbcosc0；acosbsind0（其中为任意锐角） ,就a、b、c、之间的关系式是：；7、函数yx12x23x34x4的最小值是；8、已知一个三角形的周长和面积分别是 摩擦地滚动一周后回到原先的位置（如图）84、210,一个单位圆在它的内部沿着三边匀速无,就这个三角形的内部以及边界没有被单位圆滚过的部分的面积是2 可用含 x 的；9、已知：x532,就有理系数三次多项式来表示为：2 = ；10

5、、设 p、q、r 为素数,就方程3 pp2q2r2的全部可能的解p、q、r组成的三元；数组 p, q, r 是三、解答题（共6 题,共 90 分）11、（此题满分12 分）赵岩,徐婷婷,韩磊不但是同班同学,而且是特别要好的伴侣,三个人的学习成果不相伯仲,且在整个年级中都遥遥领先,高中毕业后三个人都如愿的考入自己心慕以久的高校后来三个人应母校邀请给全校同学作一次报告. 报告后三个人仍出了一道数学题：有一种密码把英文按字母分解,英文中的 a, , ,z 26 个字母（不论大小写）依次用1 2 3, , 这 26 个自然数表示,并给出如下一个变换公式： x 1 其中 x 是不超过 26 的正奇数）y

6、 x 21 13 其中 x 是不超过 26 的正偶数）；已知对于任意的实数 x ,记号 x 表示2不超过 x 的最大整数；将英文字母转化成密码,如 8 8 1 13 17,即 h变成 q,2再如 11 11 1 6,即 k变成 f；他们给出以下一组密码：etwcvcjw ej ncjw2wcabqcv ,把它翻译出来就是一句很好的临别赠言；现在就请你把它翻译出来,并简洁地写出翻译过程；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 16 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - -

7、 - - - - - -12、（此题满分 15 分）假如有理数 m 可以表示成2x26xy5y2（其中x、y是任意有理数）的形式,我们就称 m 为“ 世博数” ；个“ 世博数”a、b之积也是“ 世博数” 吗？为什么？； 第 3 页,共 16 页 a、b（b0）之商也是“ 世博数”证明：两个“ 世博数”细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -13、（此题满分 15 分）如图,在四边形ABCD 中,已知ABC 、 BCD 、2AC

8、D 的面积之比是314,点E 在边 AD 上, CE 交 BD 于 G ,设BGDEk；GDEADH2p2,试用含 p 的代数求37k220的值；如点 H 分线段 BE 成 BH 2HE式表示ABD 三边长的平方和；的两段, 且AH2BHAHE细心整理归纳 精选学习资料 BCGD 第 4 页,共 16 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -14、（此题满分 16 分）观看以下各个等式：1 211,1 222225 1, 2223214 1, 222

9、3 24230 ,；你能从中推导出运算223422 n 的公式吗？请写出你的推导过程；请你用中推导出的公式来解决以下问题：已知：如图,抛物线 y x 2 2 x 3 与 x 、 y 轴的正半轴分别交于点 A、B,将线段 OAn 等分,分点从左到右依次为 A 1、A 2、A 3、A 4、A 5、A 6、A n 1,分别过这 n 1 个点作 x 轴的垂线依次交抛物线于点 B 1、B 2、B 3、B 4、B 5、B 6、B n 1,设OBA 、A 1 B 1 A 2、 A 2 B 2 A 3、 A 3 B 3 A 4、 、 A n 1 B n 1 A 的 面 积 依 次 为S 1、S 2、S 3、S

10、 4、S n；当 n 2022 时,求 S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 S 2022 的值；摸索究：当 n 取到无穷无尽时,题中全部三角形的面积和将是什么值？为什么？细心整理归纳 精选学习资料 第 5 页,共 16 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -15、（此题满分 16 分）有如下列图的五种塑料薄板（厚度不计）：两直角边分别为 3、4 的直角三角形 ABC ；腰长为 4、顶角为 36 的等腰三角形 JKL ；腰长为 5、顶角为 120

11、 的等腰三角形 OMN ；两对角线和一边长都是 4 且另三边长相等的凸四边形 PQRS ；长为 4 且宽（小于长）与长的比是黄金分割比的黄金矩形 WXYZ ；它们都不能折叠,现在将它们一一穿过一个内、外径分别为2.4、2.7 的铁圆环；我们规定：假如塑料板能穿过铁环内圈,就称为此板“ 可操作”；否就,便称为“ 不行操作” ；A证明：第种塑料板“ 可操作” ；M“ 不行操作”O的概率；QPSR求：从这五种塑料板中任意取两种至少有一种JCBNKLWZXY细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 16 页 - - - - - - - -

12、- 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -16、（此题满分 16 分）定义：和三角形一边和另两边的延长线同时相切的圆叫做三角形这边上的旁切圆；如下列图,已知：I 是ABC 的 BC 边上的旁切圆,E、F分别是切点,ADIC于点 D ；摸索究：D、E、F三点是否同在一条直线上？证明你的结论；m,DEn,试作设ABAC5 BC6 ,假如DIE 和AEF 的面积之比等于EF出分别以m、nn m为两根且二次项系数为6 的一个一元二次方程；DCI E细心整理归纳 精选学习资料 ABF 第 7 页,共 16 页 - - - - - - - - - - - -

13、 - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -2022 年重点中学自主招生数学模拟试题参考答案与评分标准一、挑选题（共 5 小题,每题 6 分,共 30 分. 以下每道题均给出了代号为 A,B,C,D的四个选项 , 其中有且只有一个选项是正确的 . 请将正确选项的代号填入题后的括号内 . 不填、多填或错填均不得分）2 21、假如关于 x 的方程 x ax a 3 0 至少有一个正根, 就实数 a 的取值范畴是 （C ）A、2 a 2 B、3 a 2 C、3 a 2 D、3 a 22、如图,已知：点 E 、

14、 F 分别是正方形 ABCD 的边 AB、BC 的中点,BD、DF 分别交 CE 于 点 G、H, 如 正 方 形 ABCD 的 面 积 是 240 , 就 四 边 形 BFHG 的 面 积 等于 （B）A E BA、 26 B、28C、 24 D、30 3 、设 x、y、z 是两两不等的实数,且满意以下等式：GF6x 3 y x 3 6x 3 z x 3 6 y x 6 x z,就代数式 H3 3 3x y z 3 xyz 的值是 （A ）D CA、 0 B、1 C、3 D、条件不足,无法运算D4、如图,四边形 BDCE 内接于以 BC 为直径的A ,已知：BC 10 , cos BCD 3

15、 , BCE 30,就线段DE的长5是 （D ）BC AA、89 B、7 3 C、 4+3 3 D、 3+4 35、某学校共有 3125 名同学,一次活动中全体同学被排成E一个 n 排的等腰梯形阵,且这 n 排同学数按每排都比前一排多一人的规律排列,就当 n 取到最大值时,排在这等腰梯形阵最外面的一周的同学总人数是 （B ）A、 296 B、221 C、225 D、641 二、填空题：（共 5 小题,每题 6 分,共 30 分；不设中间分）6、已知：实常数a、b、c、d同时满意以下两个等式：asindbcosc0； 第 8 页,共 16 页 acosbsind2d0（其中为任意锐角） ,就a、

16、b、c、之间的关系式是：a2b2c2；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -7、函数yx12x23x34x4的最小值是8 ；8、已知一个三角形的周长和面积分别是 摩擦地滚动一周后回到原先的位置（如图）84、210,一个单位圆在它的内部沿着三边匀速无,就这个三角形的内部以及边界没有被单位圆滚过的部分的面积是 84；39、已知：x,就 2 可用含 x 的5 2有理系数三次多项式来表示为：2 = 1 3 11x x；6 63 2

17、2 210、设 p、q、r 为素数,就方程 p p q r 的全部可能的解 p、q、r组成的三元数组 p, q, r 是 3 3, 3, ；三、解答题（共 6 题,共 90 分；同学如有其它解法,也按标准给分）11、（此题满分 12 分）赵岩,徐婷婷,韩磊不但是同班同学,而且是特别要好的伴侣,三个人的学习成果不相伯仲,且在整个年级中都遥遥领先,高中毕业后三个人都如愿的考入自己心慕以久的高校,后来三个人应母校邀请给全校同学作一次报告；报告后三个人仍出了一道数学题：有一种密码把英文按字母分解,英文中的 a, , ,z 26 个字母（不论大小写）依次用1 2 3, , 这 26 个自然数表示,并给出

18、如下一个变换公式： x 1 其中 x 是不超过 26 的正奇数）y x 21 13 其中 x 是不超过 26 的正偶数）；已知对于任意的实数 x ,记号 x 表示2不超过 x 的最大整数；将英文字母转化成密码,如 8 8 1 13 17,即 h变成 q,2再如 11 11 1 6,即 k变成 f；他们给出以下一组密码：etwcvcjw ej ncjw2wcabqcv ,把它翻译出来就是一句很好的临别赠言；现在就请你把它翻译出来,并简洁地写出翻译过程；略解：由题意,密码 etwcvcjw 对应的英语单词是interest, ej 对应的英语单词是is, ncjw 对细心整理归纳 精选学习资料 第

19、 9 页,共 16 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -应的英语单词是best, wcabqcv 对应的英语单词是teacher. 9 分 所以,翻译出来的一句英语是Interest is best teacher,意思是“ 爱好是最好的老师”；（3 分）12、（此题满分15 分）2x26xy5y2（其中x、y是任意有理数）的形式,我们就假如有理数 m 可以表示成称 m 为“ 世博数” ； 个“ 世博数”a、b 之积也是“ 世博数” 吗？为什么？

20、 证明：两个“ 世博数”a、b（b 0）之商也是“ 世博数”；略解：m 2 x 26 xy 5 y 2= x 2 y 2 x y 2,其中 x、y 是有理数,“ 世博数”m p 2q 2（其中 p、q 是任意有理数） ,只须 p x 2 y , q x y即可；（ 3 分）对于任意的两个两个“ 世博数”a、b,不妨设 a j 2k 2 , b r 2s 2 , 其中 j、k、r、 s 为任意给定的有理数,（3 分）2 2 2 2 2 2就 ab j k r s jr ks js kr 是“ 世博数”；（3 分）2 2 2 2 2 2 2 2a j2 k2 j k2 r2 2 s 3 分） jr

21、 ks 2 2 js2 kr b r s r s r s = jr2 ks2 2 js2 kr2 2 也是“ 世博数”；（3 分）r s r s13、（此题满分 15 分）如图,在四边形 ABCD 中,已知ABC 、 BCD 、ACD 的面积之比是 314,点E 在边 AD 上, CE 交 BD 于 G ,设 BG DEk；GD EA3 2求 7k 20 的值；如点 H 分线段 BE 成 BH 2 的两段, 且 AH 2BH 2DH 2p 2,试用含 p 的代数HE式表示ABD 三边长的平方和；细心整理归纳 精选学习资料 第 10 页,共 16 页 - - - - - - - - - - -

22、- - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -略 解 ： 不 妨 设 ABC 、 BCD 、ACD 的面积分别为3、1、4,6k,BGDEk, ABD 的面积是 6,BDE 的面积是GDEAk1 CDG 的面积是k11, CDE 的面积为4k1,DEG 的面积是k6k；k1 2（3 分）由此可得：k11+k6 k=4k1,即4k23k10,k1（3 分）1 2k37k220=3 （1 分）的两段,ABDK ,由知：E、G分别为AD、BD的中点,又点H 分线段 BE 成BH2HE点 H 是ABD 的重心；

23、（2 分）而当延长 BE 到 K ,使得BEEK,连结AK、DK后便得到平行四边形再利用“ 平行四边形的四边平方和等于两对角线的平方和” 就可得：2 2 2 22 AB 2BD 2 AD 24 BE 2,类似地有 2 BD2 AD2 AB2 4 DM2,2 AB AD BD 4 AG其中点 M 为边 AB 的中点；3 AB 2BD 2AD 2 4 BE 2DM 2AG 2 ；（3 分）AH 2 AG , BH 2 BE , DH 2 DM,AH 2BH 2DH 2p 2,3 3 3BE 2DM 2AG 2 9 p 2,AB 2BD 2AD 23p 2；（3 分）414、（此题满分 16 分）2

24、 2 2 2 2 2 2 2 2 2观看以下各个等式：1 1,1 2 5 1, 2 3 14 1, 2 3 4 30 ,；2 2 2 2 2你能从中推导出运算 1 2 3 4 n 的公式吗？请写出你的推导过程；细心整理归纳 精选学习资料 第 11 页,共 16 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -请你用中推导出的公式来解决以下问题：已知：如图,抛物线 y x 2 2 x 3 与 x 、y轴的正半轴分别交于点 A、B,将线段OAn 等分, 分点从左

25、到右依次为 A 1、A 2、A 3、A 4、A 5、A 6、A n 1,分别过这 n 1 个点作x 轴的垂线依次交抛物线于点 B 1、B 2、B 3、B 4、B 5、B 6、B n 1,设OBA 、A 1 B 1 A 2、 A 2 B 2 A 3、 A 3 B 3 A 4、 、 A n 1 B n 1 A 的 面 积 依 次 为S 1、S 2、S 3、S 4、S n；当 n 2022 时,求 S 1 S 2 S 3 S 4 S 5 S 2022 的值；摸索究：当 n 取到无穷无尽时,题中全部三角形的面积和将是什么值？为什么？略解： n 3 n 1 3 3 n 2 3 n 1,当式中的 n从 1

26、、2、3、 依次取到 n 时,就可得以下 n 个等式：3 1（2 分）, 第 12 页,共 16 页 3 103332,1332 232,13 32333233,1n3n133 n23 n1,将这 n个等式的左右两边分别相加得：n332 1222 3n23123n n（2 分）细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -即122232422 n =n33123nnn n1 2n1 ；（3 分）36先求得A、B两点的坐标分别为,30

27、、0 ,3 ,点A 1、A 2、A 3、A 4、A 5、A 6、A n1的横坐标分别为3、6n、9n、3 n1,点B 1、B2、B 3、B4、B 5、B 6、B n1的纵坐nn标分别为32233、622 63、3n1 223n1 3；nnnnnn（3 分）S 19,S 29n222n3 ,S39n224n12,S n9 n22n2n 3 n1 22nn3n32 n3S 1S2S 3Sn9n32n123n1n332 12232n122=9n32nn n13n n1 2 n1 9 2 n22n1；（3 分）23 2 n64 n当n2022时,S 1S 2S 3S 4S 5S 2022=922022

28、2202272739881；42022216160400S 1S 2S 3S n92n2n1 99924 n224 n4 n当 n 取到无穷无尽时,上式的值等于9 ,即全部三角形的面积和等于 29 ； （ 3 分）215、（此题满分16 分）有如下列图的五种塑料薄板（厚度不计）：两直角边分别为3、4 的直角三角形ABC ；腰长为4、顶角为 36 的等腰三角形JKL ；腰长为5、顶角为 120 的等腰三角形 OMN ；两对角线和一边长都是4 且另三边长相等的凸四边形PQRS ；长为 4 且宽（小于长）与长的比是黄金分割比的黄金矩形WXYZ ；它们都不能折叠,现在将它们一一穿过一个内、外直径分别为

29、2.4、 2.7 的铁圆环；我们规定：假如塑料板能穿过铁环内圈,就称为此板“ 可操作”；否就,便称为“ 不行操作” ；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页,共 16 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -证明：第种塑料板“ 可操作” ；求：从这五种塑料板中任意取两种至少有一种“ 不行操作”的概率；略解： 由题意可知四边形PQRS 必定是等腰梯形, （2 分）不妨设QSFPRQR4,PQPSRS= x ,分别过点S、Q作QR、RS的垂线,垂足为I

30、、,就由QRF 4xx,解得x252；RSI 得到RIRS,即2 xRFQR42SI2 RSIR22 x42x210252.4, 第种塑料板“ 可操作” ；（5 分）如上图所示, 分别作直角三角形ABC 斜边 BC 上的高 AH 、等腰三角形 JKL 的腰 JL 上的高 KE 、等腰三角形 OMN 底边上的高 MG ,易求得：AH =2.4, MG =2.5. 2 分 又由可得等腰梯形 PQRS 的锐角底角是 72 , JKL PQR , KE =SI . 而黄金矩形 WXYZ 的宽等于 4 5 1 2 5 22.4,（4 分）2第三种塑料板“ 可操作” ；而第两种塑料板“ 不行操作”；从这五

31、种塑料板中任意取两种至少有一种“ 不行操作”的概率 P 7；（3 分）1016、（此题满分 16 分）定义：和三角形一边和另两边的延长线同时相切的圆叫做三角形这边上的旁切圆；如下列图,已知：I 是ABC 的 BC 边上的旁切圆,E、F分别是切点,ADIC于细心整理归纳 精选学习资料 第 14 页,共 16 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -点 D ；摸索究：D、E、F三点是否同在一条直线上？证明你的结论；m,DEn,试作设ABAC5 BC6 ,

32、假如DIE 和AEF 的面积之比等于EF出分别以m、nn m为两根且二次项系数为6 的一个一元二次方程；略解： 结论：D、E、F三点是同在一条直线上； （1 分）证明：分别延长 AD、BC 交于点 K ,由旁切圆的定义及题中已知条件得：AD DK,AC CK,再由切线长定理得：AC CE AF , BE BF,（3 分）KE AF；KD AF BE 1,由梅涅劳斯定理的逆定理可证 D、E、F 三点共DA FB EK线；（ 3 分）AB AC 5 BC 6 ,A、E、I 三点共线,CE BE 3 AE 4,连结IF,就ABE AIF ,ADI CEI ,A、F、I、D 四点共圆；（2 分）设 I

33、 的半径为 r ,就：3 4 , r ,6AI 10 , AD 3 , 即 AD 2 5,ID 4 5,r 8 ID 6 由 AEF DEI 得 ：m 4 5 2 5, DE 4 5 5 , DE 2 5,8 4 AE 8 2IE 5, EF 125,n 5；（4 分）EF 2 5 6细心整理归纳 精选学习资料 第 15 页,共 16 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -mn13,因此,由韦达定理可知：分别以m、nn m为两根且二次项系数为6 的一n mm n61nm个一元二次方程是6x213x60；（3 分） 第 16 页,共 16 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -