2022年中考数学二轮复习二次函数与一元二次方程的综合.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载第一讲：二次函数与一元二次方程的综合考试要求内容要求中考考察类型分值二次函数与一会依据二次函数的解析式求其图象与坐标轴的交点坐标,会确定7 二次函数与元二次方程综图象的顶点、 开口方向和对称轴；会利用二次函数的图象求一元二次一元二次方合题方程的近似解程方法策略1. 娴熟把握二次函数的有关学问点2. 把握二次函数与一元二次方程的联系；例题精讲【例 1】 在平面直角坐标系xOy 中,二次函数y=（ a1）x2+2x+1 与 x 轴有交点, a 为正整数 . （1）求 a 的值 . （2）将二次函数 y=（a1）x2+2x+1 的

2、图象向右平移 m 个单位,y向下平移 m 2+1 个单位,当2x1时,二次函数有最小值3,求实数 m 的值 . 27.解：（1）二次函数y=（a1）x2+2x+1 与 x 轴有交点,11x令 y=0,就（ a1）x 2+2x+1=0,=4-4a-10 ,解得 a2. 1 分. Oa 为正整数 . a=1、2 名师归纳总结 又 y=（a1）x 2+2x+1 是二次函数,a 1 0, a 1,分第 1 页,共 13 页a 的值为 2. 2分（2） a=2,二次函数表达式为y=x 2+2x+1,将二次函数y=x 2+2x+1 化成顶点式y=（x+1）2 二次函数图象向右平移m 个单位,向下平移m 2

3、+1 个单位27 题图后的表达式为y=（ x+1m）2（ m 2+1）. 此时函数的顶点坐标为（m1, m 21）. 4分当 m1 2,即 m 1 时,x=2 时,二次函数有最小值3, 3=（ 1 m）2（m 2+1）,解得m3且符合题目要求 . 52当 2m11,即 1m2,时,当x= m1 时,二次函数有最小值m 21=3,解得m2.m- 2不符合 1m2的条件,舍去 . m2. 6分当 m11,即 m2 时,当x=1 时,二次函数有最小值3, 3=（ 2m）2（ m 2+1）,解得m3,不符合 m 2 的条件舍去 . 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - -

4、- - 学习好资料欢迎下载A、B 两点的坐综上所述, m 的值为3或2 7分2【例 2】 已知二次函数yk21x23 k1x2（1）二次函数的顶点在x 轴上,求 k 的值；（2）如二次函数与x 轴的两个交点A、B 均为整数点（坐标为整数的点）,当 k 为整数时,求标. 23.解：（1）方法一二次函数顶点在x 轴上,分分分b 2-4ac =0,且a0 1即3 a1242k210,且k2-10k=3 3（2）二次函数与x 轴有两个交点,b 2-4ac0,且a0 即（k2-3）0,且k1当k3且k1时,即可行 A 、 B 两点均为整数点,且k 为整数x 1（3 =k-1 +）（k-3） 3 k-1+

5、 -3 4 k-42（k 2-1）=2（k 2-1） 2（=k 2-1）=k2+1x 2（3 =k-1 -）（k-3） 3 k-1- +3 2 k +22（k 2-1）=2（k 2-1） 2（=k 2-1）=1 5分k-1当k=0时,可使1x ,x 均为整数,当k=0时, A 、 B 两点坐标为 -1 0, 和 2 0, 6分【例 3】 已知：关于x 的一元二次方程x 2+m+1x+m+2=0 （m0）（1）求证：该方程有两个不相等的实数根；（2）当抛物线 y=x 2+m+1x+m+2经过点（ 3, 0）,求该抛物线的表达式；（3）在（ 2）的条件下,记抛物线 y=x 2+m+1x+m+2在第

6、一象限之间的部分为图象 G,假如直线y=kx+1+4 与图象 G 有公共点, 请结合函数的图象,求直线 y=kx+1+4 与 y 轴交点的纵坐标 t 的取值范畴y（1）证明： = m+1 24 1 m+2 = m + 3 2 . 1 分 m 0, m+3 20,即 0,名师归纳总结 原 方 程 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 . 2（2）解：抛物线抛物线 y=x 2+ m+1x+m+2经过点（ 3, 0）,O x 3 2 + 3 m + 1 + m + 2 = 0 , 3 m=1. y = x 2 + 2 x + 3 . 4分分分第 2 页,共 13 页- - - - - - -精选学

7、习资料 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载（3）解： y= x 2+2x+3=x12+4, 该抛物线的顶点为（1, 4）. 当直线 y=kx+1+4 经过顶点（ 1,4）时, 4=k1+1+4 , k=0, y=4. 此 时 直 线 y = k x + 1 + 4 y= x 2+2x+3,与y 轴 交 点 的 纵 坐 标 为4. 5分 当 x=0 时, y=3, 该抛物线与y 轴的交点为（ 0,3）. 分 分此 时 直 线y = k x + 1 + 4与y 轴 交 点 的 纵 坐 标 为3. 63 t 4 . 7【例 4】 已知关于x 的一元二次方程x25m1x4 m2m0

8、. （1）求证：无论m 取何实数时,原方程总有两个实数根；（2）如原方程的两个实数根一个大于3,另一个小于8,求 m 的取值范畴；（3）抛物线yx25 m1 x42 mm与 x 轴交于点 A、B（点 A 在点 B 的左侧）,现坐标系内有一矩形OCDE ,如图 11,点 C（0, 5,D（6, 5 ,E（6,0,当 m 取第（ 2）问中符合题意的最小整数时,将此抛物线上下平移h 个单位, 使平移后的抛物线与矩形OCDE 有两个交点, 请结合图形写出h 的取值或取值范 1分围（直接写出答案即可）.解： 1证明： =5m1 2414 m2m名师归纳总结 =92 m6 m1. 2分第 3 页,共 13

9、 页= m1 2 m1 20, 无论 m 取何实数时,原方程总有两个实数根（ 2） 解关于 x 的一元二次方程x25m1 x4m2m0,分 3分得x 1m ,x 24m1. 由题意得m3或 8m83 44 m14 m1 5分（3）h解得1m8. 9. 25h 7分4或- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载逆袭训练1. 已知关于 x 的方程 mx 23m1x+2m2=0 （1）求证：无论 m 取任何实数时,方程恒有实数根（2）如关于 x 的二次函数 y= mx 23m1x+2m2 的图象与 x 轴两交点间的距离为 2 时,求二次函数的表达

10、式.解： 1 =9m 26m+18m 2+8m=m 2+2m+1,=（m+1）2；20, .1分 =（m+1）无论 m 取任何实数时,方程恒有实数根；2设 x1,x2 为抛物线 y=mx 2（3m1）x+2m2 与 x 轴交点的横坐标令 y=0,就 mx 2（ 3m1）x+2m2=0 由求根公式得, x1=2, .2分 抛物线 y=mx 2（3m1）x+2m2 不论 m为任何不为 0 的实数时恒过定点（2,0）x2=0或 x2=4, m=1 或 当 m=1 时,y=x 22x,抛物线解析式为 y=x 22x 2. 当时,y1x22x8y21x22x8 .3分 33答：抛物线解析式为y=x 22

11、x；或33已知：关于x 的一元二次方程ax22a1xa0a0（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为1x ,2x （其中1x x ）如 y 是关于 a 的函数,且yax2x ,求这个函数的表达式；（3）在（ 2）的条件下,结合函数的图象回答：如使y3 a21,就自变量a 的取值范畴为（1）证明：ax22a1 xa20a0是关于 x 的一元二次方程, 2a124 a a2 1 分=4即 0 方程有两个不相等的实数根 2 分名师归纳总结 （2） 解：由求根公式,得x2a212第 4 页,共 13 页ax1或x12 3 分a- - - - - - -精选学习资料 - -

12、- - - - - - - 学习好资料 欢迎下载a 0,1x x ,2x 1 1,x 2 1 4 分ay ax 2 x 1 a 1即 y a 1 a 0 为所求 5 分（3）0 a2 7 分33. 已知关于 x 的方程 mx 2 3 m 1 x 2 m 2 0（ 1）求证：无论 m 取任何实数时,方程恒有实数根；（ 2）如关于 x 的二次函数 y mx 23 m 1 x 2 m 2 的图象经过坐标原点,得到抛物线 C 将抛物线C 向下平移后经过点 A 0, 2 进而得到新的抛物线 C ,直线 l 经过点 A 和点 B 2,0,求直线 l 和抛物线C 的解析式；名师归纳总结 （ 3）在直线 l

13、下方的抛物线C 上有一点 C ,求点 C 到直线 l 的距离的最Bxyx大值解：（ 1）当m0时,x2O当m0时,3m124 m2m292 m6m1 82 m8 mm22 m1m12m120,0综上所述：无论m 取任何实数时,方程恒有实数根； 3分（2）二次函数ymx23m1x2m2的图象经过坐标原点 y 2 m20m1 4 分抛物线C 的解析式为：yx22xB将 A 和点B抛物线C 的解析式为：yx22x2ODEC设直线 l 所在函数解析式为：ykxbA第 5 页,共 13 页2,0代入 ykxb直线 l 所在函数解析式为：yx2 5 分（3）据题意：过点C 作 CEx 轴交 AB 于 E

14、,可证DECOAB45,就CD2EC2设C t t22 t2,E t t2, 0t3ECyEy Ct23 tt329 6 分240332当 t 3时,EC max 92 4 CD 随 EC 增大而增大,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载2 xm2xm3与 x 轴的另一CDmax92为所求 . 7 分84. 已知关于 x 的方程x2m2xm30（1）求证：方程x2m2xm30总有两个实数根；（2）求证：抛物线yx2m2xm3总过 x 轴上的一个定点；（3）在平面直角坐标系xOy 中,如（ 2）中的 “ 定点 ” 记作 A,抛物线y个交点

15、为 B,与 y 轴交于点 C,且 OBC 的面积小于或等于8,求 m 的取值范畴解：（ 1）b24ac=m224m3.1 分yx=2 m4 m44m1230总有两个实数根.2 分O=2 m8m16=m42m420,方程2 xm2xm（2 ）x 1,22m2m42=2m2m4.3 分x 11,x 2m3,m3总过 x 轴上的一个定点（1,0）.4 分抛物线yx2m2x（3）抛物线yx2m2xm3与 x 轴的另一个交点为B,与 y 轴交于点 C,B（3m,0）,C（0, m3）,.5 分 OBC 为等腰直角三角形,名师归纳总结 OBC 的面积小于或等于8,第 6 页,共 13 页OB,OC 小于或

16、等于4,3m4 或 m3 4, .6 分m1 或 m7 1m7 且m3.7 分5. 已知关于 x 的一元二次方程2 mx3 m1 x2m30.（1）假如该方程有两个不相等的实数根,求m 的取值范畴；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料3 m1 x2欢迎下载且x4（2）在（1）的条件下, 当关于 x 的抛物线y2 mxm3与 x 轴交点的横坐标都是整数,时,求 m 的整数值解：（ 1）由题意m 0, 1分 方程有两个不相等的实数根, 0 2分x 轴上的定点即 3m124m 2m3m320得 m 3 3分 m 的取值范畴为m 0和 m 3；（2）设

17、 y=0,就mx23 m1 x2m30m32,x3m3m32mx 12m3,x 21 分 5m当x 12m3是整数时,m可得 m=1 或 m=1 或 m=3 6分x4, m 的值为1 或 3 7分6. 已知：关于x 的一元二次方程mx2m3 -30（1）求证：无论m 取何值,此方程总有两个实数根；（2）设抛物线ymx2m3 -3,证明：此函数图像肯定过x 轴, y 轴上的两个定点（设为点 A, y 轴上的定点为点C）；（3）设此函数的图像与x 轴的另一交点为B,当 ABC 为锐角三角形时,求m 的取值范畴解：（ 1）m3212mm32m320无论 m 取何值,此方程总有两个实数根. 2 分（2

18、）由公式法：x 1,23mm2 312 m3m2 m32 mmx1= 1,x2= 3 . 4 分m此函数图像肯定过 x 轴, y 轴上的两个定点,分别为A（ 1,0）,Cy（0, 3） 4 分名师归纳总结 （3）由（ 2）可知抛物线开口向上,且过点A（ 1,0）,C（0, 3）和 B30C36Bx3 , 0）. mA-1观看图象,当m0 时, ABC 为钝角三角形,不符合题意. -3第 7 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载当 m0 时,可知如 ACB=90 时,可证 AOC COB.AOCO. OB.COBOOC2

19、OA32=1 OB . OB=9.即 B9,0 . 当039时, ABC 为锐角三角形 .分m即当 m1 时, ABC 为锐角三角 形. 7 37. 已知关于 x 的一元二次方程x24m1x3 m2m0. （1）求证：无论m 取何实数时,原方程总有两个实数根；（2）如原方程的两个实数根一个大于2,另一个小 于 7,求 m 的取值范畴；2 2（3）抛物线 y x 4 m 1 x 3 m m 与 x 轴交于点 A、B,与 y 轴交于点 C,当 m 取（ 2）中符合题意的最小整数时,将此抛物线向上平移 n 个单位,使平移后得到的抛物线顶点落在 ABC 的内部（不包括 ABC 的边界）,求 n 的取值

20、范畴（直接写出答案即可）解： 1证明： = 4 m 1 243 m 2m 2= 4 m 4 m 12= 2 m 122 m 10, 无论 m 取何实数时,原方程总有两个实数根 . 2 分2 2（ 2） 解关于 x 的一元二次方程 x 4 m 1 x 3 m m 0,得 x 1 3 m 1, x 2 = m . 3 分3 m 1 2 , m 3 1 7由题意得 或 4 分m 7. m 2.解得 1m 7 . 5 分39 15（3）符合题意的 n 的取值范畴是 n . 7 分4 42 28. 已知关于 x 的方程：x m 1 x m 0 和 x 9 m x 2 m 1 3 ,其中 m 0 . 名师

21、归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；2（2）设二次函数 y 1 x m 1 x m 的图象与x轴交于 A 、 B 两点（点 A在点 B 的左侧）,将 A 、 B 两点依据相同的方式平移后,点 A 落在点 A 1,3 处,点 B 落在点 B 处,如点 B 的横坐标恰好是方程的一个根,求 m 的值；2（3）设二次函数 y 2 x 9 m x 2 m 1,在（ 2）的条件下,函数 1y ,2y 的图象位于直线 x 3 左侧的部分与直线 y kx （k 0）交于两点,当

22、向上平移直线 y kx 时,交点位置随之变化,如交点间的距离始终不变,就 k 的值是 _. y54321-5- 4- 3- 2- 1O- 112345x- 2- 3- 4- 5解：（ 1）m2 14 mm22m1m2 1, 1分由m0知必有m10,故0. 分分分分分方程总有两个不相等的实数根. 2（2）令y 10,依题意可解得A 1,0,B m ,0. 平移后,点A 落在点A1,3处,平移方式是将点A向右平移 2 个单位,再向上平移3 个单位得到 . 点B m ,0按相同的方式平移后,点B 为 m2,3. 3就依题意有m229m m22m13. 4解得m 13,m 25（舍负） . 2m 的值

23、为 3. 5（3）k3. 72课后练习1. 已知关于 x 的一元二次方程 x 2m3xm10（1）求证：无论 m 取何值,原方程总有两个不相等的实数根；（2）当 m 为何整数时,原方程的根也是整数名师归纳总结 解： 1证明： =（m232m4m14第 9 页,共 13 页=m694m=m22m5- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 学习好资料欢迎下载且 m 为=m2 14m120,m1240 无论 m 取何实数时,原方程总有两个不相等的实数根. 2分（ 2） 解关于 x 的一元二次方程x 2m3x m 10,得xm3m1 24. 3分2要使原

24、方程的根是整数,必需使得m2 14是完全平方数 . 设m2 142 a ,就 am1am14. a +m1和am1的奇偶性相同,可得am12,或am12,am12.am12.解得a2,或a2,. 5分m1.m1.将 m=1 代入xm3m2 14,得2x 12,x20符合题意 . 6分 当 m=1 时 ,原方程的根是整数. 7分2 已知关于 x 的方程mx23 m2x2m20（1）求证：无论m 取任何实数时,方程恒有实数根. （2）如关于 x 的二次函数y2 mx3m2x2m2的图象与 x 轴两个交点的横坐标均为正整数,整数,求抛物线的解析式. 第 10 页,共 13 页（1）证明：当m0时,方

25、程为2x20,所以x1,方程有实数根. 1 分当m0时, 3m224m 2m2=9m212m482 m8 m=m24 m4=m220 2分所以 ,方程有实数根综所述,无论m 取任何实数时,方程恒有实数根 3 分- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载5 分（2）令y0,就mx23 m2x2m20解关于x的一元二次方程,得 x 1 1,x 2 2 2 m二次函数的图象与 x 轴两个交点的横坐标均为正整数,且 m 为整数,所以 m 只能取 1,2 所以抛物线的解析式为yx25x4或y2x28x6 7 分3. 已知：关于x 的一元二次方程mx 2

26、 （ 4m+1）x+3m+3=0 （m1）（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为 数的解析式；x1,x2（其中 x1x2）,如 y 是关于 m 的函数,且 y=x1 3x2,求这个函（3）将（ 2）中所得的函数的图象在直线m=2 的左侧部分沿直线m=2 翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象 请你结合这个新的图象回答：公共点时, b 的取值范畴解：（ 1）证明：= 4m124 m3 m13 = 2m12,m1,= 2m20.当关于 m 的函数 y=2m+b 的图象与此图象有两个名师归纳总结 所以方程有两个不等实根. 2.分2左侧部分沿此直线翻折,所得新图形

27、如下列图.2x4 m12m124m122 m12 mmm两根分别为3,1+1.mm1,011,112.mmx 1x2,x 13,x211.my33 113.mm 5分（3）作出函数y=-3 mm1的图象,并将图象在直线易知点A B 的坐标分别为A3, 3,B2,3.9,第 11 页,共 13 页2当直线y2mb过点A 时,可求得b过点 B 时, 可求得b11, 2因此,9b11.2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4. 已知关于 x 的方程mx22 m学习好资料0欢迎下载 7分1 xm1有两个实数根,且m 为非负整数 . （ 1）求 m 的值；2（ 2）将抛物线 C ：y mx 2 m 1 x m 1 向右平移 a 个单位, 再向上平移 b 个单位得 到抛物线 C ,如抛物线 C 过点 A（2,b）和点 B（4,2 b 1）,求抛物线 C 的表达式；（ 3）将抛物线 C 绕点 n ,1 n 旋转 180 得到抛物线