2022年中考数学第二轮复习专题讲解动态几何问题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载中考数学专题 3 动态几何问题第一部分 真题精讲【例 1】如图,在梯形 ABCD 中, ADBC,AD 3,DC 5,BC 10,梯形的高为 4 动点 M 从 B 点动身沿线段 BC 以每秒 2 个单位长度的速度向终点 C运动；动点N同时从C点动身沿线段 CD以每秒 1 个单位长度的速度向终点 D 运动设运动的时间为 t （秒）A DNBMC（1）当 MNAB 时,求 t 的值；（2）摸索究： t 为何值时,MNC 为等腰三角形【思路分析 1】此题作为密云卷压轴题,自然有肯定难度,题目中显现了两个动点,许多同学看到可能就会无从

2、下手；但是解决动点问题,第一就是要找谁在动,谁没在动,通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解；对于大多数题目来说,都有一个由动转静的瞬时,就此题而言,M,N是在动,意味着BM,MC以及 DN,NC都是变化的；但是我们发觉,和这些动态的条件亲密相关的条件DC,BC 长度都是给定的,而且动态条件之间也是有关系的；所以当题中设定 MN/AB 时,就变成了一个静止问题；由此,从这些条件动身,列出方程,自然得出结果；【解析】解：（1）由题意知,当M、N运动到 t 秒时,如图,过D作DEAB交 BC 于 E 点,就四边形ABED是平行四边形DANBEMC ABDE, ABMNMN放在三角形内,将动态问题

3、转化 DEMN（依据第一讲我们说梯形内帮助线的常用做法,胜利将成平行时候的静态问题）MC NC（这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键）EC CD 10 2 t t 解得 t 5010 3 5 17【思路分析 2】其次问失分也是最严峻的,许多同学看到等腰三角形,理所当然以为是 MN=NC即可,于是就漏掉了 MN=MC,MC=CN 这两种情形；在中考中假如在动态问题当中碰见等腰三角形,肯定不要遗忘分类争论的思想,两腰一底一个都不能少；详细分类以后,就成为了较为简洁的解三角形问题,于是可以轻松求解【解析】（2）分三种情形争论：当 MNNC 时,如图作NFBC 交 BC 于 F ,就有MC2FC

4、 即（利用等腰三角形底边高也是底边中线第 1 页,共 13 页的性质）DF4,sinCCD5cosC3 5,102 t23 t,5名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解得t25AD学习必备欢迎下载8NBMFC当 MNMC 时,如图,过M 作 MHCD 于 H就CN2CH ,t2 102 t35t6017ADNHBMCMNC为等腰三角形BC上一动点,连接AD,以 AD为一边且在AD当 MCCN 时,就 102tt t103综上所述,当t25、60 17或10 3时,8【例 2】在 ABC中, ACB=45o点D（与点 B、C不重合）为射线的右

5、侧作正方形 ADEF（1）假如 AB=AC如图,且点 D在线段 BC上运动试判定线段 CF与 BD之间的位置关系,并证明你的结论（2）假如 AB AC,如图,且点 D在线段 BC上运动（ 1）中结论是否成立,为什么？（3）如正方形 ADEF的边 DE所在直线与线段 CF所在直线相交于点 P,设 AC 4 2 ,BC 3,CD=x ,求线段CP的长（用含 x 的式子表示）【思路分析1】此题和上题有所不同,上一题会给出一个条件使得动点静止,而此题并未给出那个“ 静止点”,所以需要我们去分析由 D 运动产生的变化图形当中,什么条件是不动的；由题我们发觉,正方形中四条边的垂直关系是不动的,于是利用角度

6、的互余关系进行传递,就可以得解；【解析】：（1）结论： CF与 BD位置关系是垂直；证明如下：AB=AC , ACB=45o, ABC=45o由正方形 ADEF得 AD=AF , DAF=BAC =90o, DAB=FAC, DAB FAC , ACF= ABD名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载 BCF=ACB+ACF= 90o即 CFBD【思路分析 2】这一问是典型的从特别到一般的问法,那么思路很简洁, 就是从一般中构筑一个特别的条件就行,于是我们和上题一样找 AC的垂线,就可以变成第一问的条件

7、,然后一样求解；（2）CFBD 1 中结论成立A理由是：过点 A 作 AGAC交 BC于点 G, AC=AG F可证：GAD CAF ACF=AGD=45o 【思路分析BCF= ACB+ACF= 90o3】这一问有点麻烦,D在 BC之间运动和它在 即 CFBD BC延长线上运动时的位置是不一样的,所以已给的线 B G D E C段长度就需要分情形去考虑究竟是 4+X仍是 4-X ；分类争论之后利用相像三角形的比例关系即可求出 CP. （3）过点 A作 AQBC交 CB的延长线于点 Q,点 D在线段 BC上运动时,BCA=45o,可求出AQ= CQ=4 DQ=4-x ,x,易证 AQD DCP,

8、CP DQCD,CPAQ4x4CP2 xx 4点 D在线段 BC延长线上运动时,BCA=45o,可求出AQ= CQ=4, DQ=4+x ACF CFBD,MBC是等边三过 A 作AGAC交 CB延长线于点G,就AGD AQD DCP,CP DQCD,CPx,AQ4x42,BC4,点 M 是 AD 的中点,CPx2x 4【例3】已知如图,在梯形ABCD 中,ADBC,AD角形x,MQy,求 y 与 x 的（1）求证：梯形 ABCD是等腰梯形；（2）动点 P 、 Q 分别在线段 BC 和 MC 上运动,且MPQ60保持不变设 PCC 函数关系式；（3）在（ 2）中,当 y 取最小值时,判定PQC的

9、外形,并说明理由M D A B P 60Q 【思路分析 1】此题有一点综合题的意味,但是对二次函数要求不算太高,重点仍是在考察几何方面；第一问纯静态问题,自不必说,只要证两边的三角形全等就可以了；其次问和例1 一样是双动点问题,所以就需要争论在 P,Q 运动过程中什么东西是不变的；题目给定MPQ=60 ,这个度数的意义在哪里？其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件联系了起来 . 由于最终求两条线段的关系 , 所以我们很自然想到要通过相像三角形找比例关系 . 怎么证相像三角形呢 . 当然是利用角度咯 . 于是就有了思路 . 【解析】（1）证明：MBC是等边三角形60第 3 页,共 13 页MB

10、MC,MBCMCB M 是 AD 中点 AMMD名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载 ADBCAMBMBC 60,DMCMCB 60AMBDMC AB DC梯形 ABCD 是等腰梯形（2）解：在等边MBC 中,MB MC BC 4,MBCMCB 60,MPQ 60BMPBPMBPMQPC 120 这个角度传递特别重要 , 大家要认真揣摩 BMPQPCBMPCQPPC CQBM BP PC x,MQ yBP 4 x,QC 4 yx 4 yy 1x 2x 44 4 x 4 设元以后得出比例关系 , 轻松化成二次函数的样子 【思

11、路分析 2】第三问的条件又回来了当动点静止时的问题；由其次问所得的二次函数,很轻易就可以求出当 X取对称轴的值时 Y有最小值；接下来就变成了“ 给定 PC=2,求PQC外形” 的问题了；由已知的 BC=4,自然看出 P是中点,于是问题轻松求解；（3）解：PQC为直角三角形MPQ60,y1x2234当 y 取最小值时,xPC2 P 是 BC 的中点, MPBC,而CPQ30,PQC90以上三类题目都是动点问题,这一类问题的关键就在于当动点移动中显现特别条件,例如某边相等,某角固定时,将动态问题化为静态问题去求解；假如没有特别条件,那么就需要争论在动点移动中哪些条件是保持不变的；当动的不是点,而是

12、一些详细的图形时,思路是不是一样呢.接下来我们看另外两道题. 【例 4】已知正方形ABCD 中, E 为对角线 BD 上一点,过E 点作 EFBD 交 BC 于 F ,连接 DF , G 为 DF 中点,连接 EG CG名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载,（1）直接写出线段EG 与 CG 的数量关系；（2）将图 1 中BEF 绕 B 点逆时针旋转45 ,如图 2 所示,取 DF 中点 G ,连接 EG CG你在（ 1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明（3）将图 1 中BEF 绕 B

13、点旋转任意角度,如图3 所示,再连接相应的线段,问（1）中的结论是否仍旧成立？（不要求证明）ADADADGEGEFEFC45 到旋转任意角度,要求考生争论B图 1FCB图 2 CB图 3【思路分析1】这一题是一道典型的从特别到一般的图形旋转题；从旋转其中的不动关系；第一问自不必说,两个共斜边的直角三角形的斜边中线自然相等；其次问将BEF 旋转 45之后,许多考生就想不到思路了；事实上,此题的核心条件就是G是中点,中点往往意味着一大票的全等关系,如何构建一对我们想要的全等三角形就成为了分析的关键所在；连接 AG之后,抛开其他条件,单看 G点所在的四边形 ADFE,我们会发觉这是一个梯形,于是依据

14、我们在第一讲专题中所争论的方法,自然想到过 G点做 AD,EF的垂线；于是两个全等的三角形显现了；（1） CG EG（ 2）（1）中结论没有发生变化,即 CG EG 证明：连接 AG ,过 G 点作 MN AD 于 M ,与 EF 的延长线交于 N 点在 DAG与 DCG中, AD CD,ADG CDG,DG DG,DAGDCG AG CG在 DMG 与 FNG 中,DGM FGN,FG DG,MDG NFG,DMGFNG MG NG在矩形 AENM 中, AM EN在 Rt AMG与 Rt ENG 中, AMEN,MGNG,AMGENGD AGEG EGCGAMGEFNCB图2 【思路分析2

15、】第三问纯粹送分, 不要求证明的话几乎全部人都会答出仍旧成立；但是我们不应当止步于此；将这道题放在动态问题专题中也是出于此缘由,假如BEF任意旋转,哪些量在变化,哪些量不变呢？假如题目名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载要求证明,应当如何摸索；建议有余力的同学自己争论一下,笔者在这里供应一个思路供参考：在BEF的旋转过程中,始终不变的依旧是 G点是 FD的中点；可以延长一倍 EG到 H,从而构造一个和 EFG全等的三角形,利用BE=EF这一条件将全等过渡；要想方法证明三角形 ECH是一个等腰直角三角

16、形,就需要证明三角形 EBC和三角形CGH全等,利用角度变换关系就可以得证了；（3）（1）中的结论仍旧成立A DGEBF图3C【例 5】已知正方形ABCD的边长为 6cm,点 E 是射线 BC上的一个动点,连接AE交射线 DC于点 F,将 ABE沿直线 AE翻折,点 B 落在点 B处ABE 翻折后与正方形ABCD公共部分的面积y 与 x 的关（ 1）当BE =1 时, CF=_cm,CE（ 2）当BE =2 时,求 sin DABCE的值；（ 3）当BE = x 时（点 C与点 E 不重合）,请写出CE系式,（只要写出结论,不要解题过程）A B D C 【思路分析】动态问题未必只有点的平移,图

17、形的旋转,翻折（就是轴对称）也是一大热点；这一题是朝阳卷的压轴题,第一问给出比例为1,其次问比例为2,第三问比例任意,所以也是一道很明显的从一般到特别的递进式题目；同学们需要认真把握翻折过程中哪些条件发生了变化,哪些条件没有发生变化；一般说来,翻折中,角,边都是不变的,所以轴对称图形也意味着大量全等或者相像关系,所以要利用这些来获得线段之间的比例关系；特别留意的是,此题中给定的比例都是有两重情形的,大家分类争论,不要遗漏；【解析】E 在 BC上和 E 在延长线上都是可能的,所以需要（ 1）CF= 6 cm； （延长之后一眼看出,EAZY）（ 2） 如图 1,当点 E在 BC上时,延长 AB 交

18、 DC于点 M, AB CF, ABE FCE,BE ABCE FCBE =2, CF=3CE AB CF, BAE= F名师归纳总结 图 1 第 6 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 又 BAE=B AE, B学习必备欢迎下载 AE=F MA=MF设 MA=MF=k,就 MC=k -3, DM=9-k在 Rt ADM中,由勾股定理得：k 2=9-k 2+6 2, 解得 k=MA=13 DM=5 （设元求解是这类题型中比较重要的方法）2 2 sin DAB= DM 5；AM 13 如图 2,当点 E 在 BC延长线上时,延长 AD交 B

19、 E 于点 N,同可得 NA=NE设 NA=NE=m,就 B N=12-m出边长）在 Rt AB N 中,由勾股定理,得m 2=12-m2+6 2, 解得 m=AN=152 B N=9 2 sin DAB=BN3AN5（ 3）当点 E在 BC上时, y=18x x 1；图 2 （所求A B E 的面积即为ABE的面积,再由相像表示当点 E在 BC延长线上时, y=18xx18【总结】通过以上五道例题,我们争论了动态几何问题当中点动,线动,乃至整体图形动这么几种可能的方式；动态几何问题往往作为压轴题来出 , 所以难度不言而喻 , 但是期望考生拿到题以后不要慌张 , 由于无论是题目 以哪种外形显现

20、,始终把握的都是在变化过程中那些不变的量；只要条分缕析 , 一个个将条件抽出来 , 将大问题 , 就很轻松了 . 为更好的帮忙考生 , 笔者总结这种问题的一般思路如下：化成如干个小问题去解决 第一、认真读题,分析给定条件中那些量是运动的,哪些量是不动的；针对运动的量,要分析它是如何运动 的,运动过程是否需要分段考虑,分类争论；针对不动的量,要分析它们和动量之间可能有什么关系,如何建 立这种关系；其次、画出图形,进行分析,特别在于找准运动过程中静止的那一瞬时题目间各个变量的关系；假如没有静 止状态,通过比例,相等等关系建立变量间的函数关系来争论；第三、做题过程中时刻留意分类争论,不同的情形下题目

21、是否有不同的表现,许多同学丢分就丢在没有争论,只是想当然看出了题目所给的那一种图示方式,没有想到另外的方式,如本讲例 5 当中的比例关系意味着两种 不一样的状况,是否能想到就成了关键；其次部分 发散摸索【摸索 1】已知：如图（1）,射线 AM / 射线 BN , AB 是它们的公垂线,点（点 D 与点 A 不重合、点 C 与点 B 不重合）, E 是 AB 边上的动点（点始终保持 DE EC,且 AD DE AB a（1）求证：ADE BEC ；（2）如图（ 2）,当点 E 为 AB 边的中点时,求证：AD BC CD；D 、 C 分别在 AM 、 BN 上运动 E 与 A、 B 不重合）,在

22、运动过程中名师归纳总结 （3）设AEm,请探究：BEC 的周长是否与m 值有关？如有关,请用含有m 的代数式表示BEC 的周第 7 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载长；如无关,请说明理由第 25 题（ 1）第 25 题（ 2）【思路分析】此题动点较多,并且是以和的形式给出长度；摸索较为不易,但是图中有多个直角三角形,所以很自然想到利用直角三角形的线段、角关系去分析；第三问运算周长,要将周长的三条线段分别转化在一类关系当中,看是否为定值,假如是关于 出结论了；M 的函数,那么就是有关,假如是一个定值,那么就无关,于是就

23、可以得【摸索 2】 ABC是等边三角形,P 为平面内的一个动点,BP=BA,如 0 PBC180 ,且 PBC平分线上的一点 D满意 DB=DA,（ 1）当 BP与 BA重合时（如图 1）, BPD= ；（ 2）当 BP在 ABC的内部时（如图 2）,求 BPD的度数；（ 3）当 BP在 ABC的外部时,请你直接写出BPD的度数,并画出相应的图形【思路分析】 此题中,和动点 P 相关的动量有PBC,以及 D点的位置,但是不动的量就是 BD是平分线并且 DB=DA,从这几条动身,可以利用角度相等来找出相像、全等三角形；事实上,P 点的轨迹就是以 B 为圆心, BA为半径的一个圆,那 D点是什么呢

24、？留给大家摸索一下 【摸索 3】 如图：已知,四边形 ABCD中, AD/BC, DC BC,已知 AB=5,BC=6,cosB=35点 O为 BC边上的一个动点,连结 OD,以 O为圆心, BO为半径的O 分别交边 AB 于点 P,交线段 OD于点 M,交射线 BC于点 N,连结 MN（1）当 BO=AD时,求 BP的长；（2）点 O运动的过程中,是否存在BP=MN的情形？如存在,恳求出当BO为多长时 BP=MN；如不存在,请说明理由；（3）在点 O运动的过程中,以点C为圆心, CN为半径作 C,请直接写出当C存在时,O 与C 的位置关系,第 8 页,共 13 页以及相应的C半径 CN的取值

25、范畴；A D A D P M 名师归纳总结 B O N C B C - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载【思路分析】这道题和其他题目不同点在于此题牵扯到了有关圆的动点问题；在和圆有关的问题当中,时刻不 要遗忘的就是圆的半径始终相等这一个隐匿的静态条件；此题第一问比较简洁,等腰梯形中的运算问题；其次 问就需要用设元的方法表示出 MN和 BP,从而争论他们的数量关系；第三问的猜想肯定要记得分类分情形争论；【摸索 4】 在 ABCD中,过点 C作 CECD交 AD于点 E, 将线段 EC绕点 E 逆时针旋转90得到线段 EF如图 1（1）在图

26、 1 中画图探究：当 P 为射线 CD上任意一点（ P1不与 C重合）时,连结EP1 绕点 E 逆时针旋转 90得到线段 EC1. 判定直线 FC1 与直线 CD的位置关系,并加以证明；当 P2为线段 DC的延长线上任意一点时,连结 EP2, 将线段 EP2绕点 E 逆时针旋转 90 得到线段 EC2. 判定直线 C1C2与直线 CD的位置关系,画出图形并直接写出你的结论 . （2）如 AD=6,tanB=4 ,AE=1, 在的条件下,设 CP1= x ,S PFC = y ,求 y 与x之间的函数关系式,并写出自 3 变量 x 的取值范畴 . 【思路分析】此题是去年中考原题,虽不是压轴,但动

27、点动线一起考出来,难倒了不少同学；事实上就在于如何把握这个旋转90 的条件；旋转90 自然就是垂直关系,于是又显现了一堆直角三角形,于是证角,证线就手到擒来了；其次问一样是利用平行关系建立函数式,但是实际过程中许多同学依旧遗忘分类争论的思想,漏 掉了许多种情形,失分特别惋惜；建议大家认真争论这道中考原题,依据上面总结的一般思路去拆分条件,步 步为营的去解答；第三部分 摸索题解析【摸索 1 解析】（1）证明：DEEC,DEC9090AEDBEC90第 9 页,共 13 页又AB90,AEDEDABECEDAADEBEC名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - -

28、- - - 学习必备欢迎下载第 25 题（2）证明：如图,过点E作EF/BC,交 CD 于点 F , E 是 AB 的中点,简洁证明EF1ADBC2在RtDEC中,DFCF,EF1CD21ADBC1CD22ADBCCDm（3）解：AED的周长AEADDEam,BEa设ADx,就DEaxm2x2A90,DE2AE2AD2即a22 axx2xa22m2a由（ 1）知ADE BEC,a2m2ADE的周长ADa2 aamBEC的周长BEm2 aBEC 的周长a2aADE 的周长2 amBEC 的周长与 m 值无关【摸索 2 答案】解：（1） BPD= 30 ；（2）如图 8,连结 CD解一：点 D在

29、PBC的平分线上, 1= 2 ABC是等边三角形, BA=BC=AC, ACB= 60 B1 2AP4 3C BP=BA, BP=BCD BD= BD, PBD CBD BPD=3 - - - - - - - - - - - - - - - - - 3图 8 分 DB=DA,BC=AC,CD=CD BCD ACD名师归纳总结 341ACB30第 10 页,共 13 页2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载 BPD =30 解二： ABC是等边三角形, BA =BC=AC DB=DA, CD垂直平分 AB341ACB302 BP=BA,

30、BP=BC 点 D在 PBC的平分线上, PBD与 CBD关于 BD所在直线对称 BPD=3 BPD =30 （3） BPD= 30 或 150 图形见图 9、图 10PBDA或P图 9BDACBAPCDC图 10【摸索 3 解析】解：（1）过点 A 作 AEBC,在 Rt ABE中,由 AB=5, cosB=3 5得 BE=3CDBC, AD/BC,BC=6,AD=EC=BCBE=3当 BO=AD=3时,在O 中,过点O作 OHAB,就 BH=HP BHcosB, BH= 339BO55BP=18 5（2）不存在 BP=MN的情形 - 假设 BP=MN成立,BP和 MN为O 的弦,就必有 B

31、OP=DOC.过 P作 PQBC,过点 O作 OHAB,CDBC,就有 PQO DOC - 名师归纳总结 设 BO=x,就 PO=x,由BHcosB3,得 BH=3 5x , 第 11 页,共 13 页x5BP=2BH=6 5x . BQ=BP cosB=18 25x ,PQ=24 25x OQ= x18x7x 2525- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - PQO DOC,PQ学习必备欢迎下载DC即24x64x,得x2925 7OQOCx6当x29时, BP=6 5x =29 5255=AB,与点 P 应在边 AB上不符,6不存在 BP=MN的情形 . （

32、3）情形一：O与C 相外切,此时,0 CN6； -7分情形二：O 与C 相内切,此时,0CN7 3.-8分A D P M H B Q O N C 【摸索 4 解析】解：（1）直线FG 与直线 CD 的位置关系为相互垂直EF、EG 1,F G2 H D P1 第 12 页,共 13 页证明：如图1,设直线FG 与直线 CD 的交点为 H 线段EC、EP 1分别绕点 E 逆时针旋转90 依次得到线段PEG1CEF90,EG 1EP 1,EFECG1 G EF90PEF,PEC90PEF,G EFPEC B A E P2 C G EFPECG FEPCE ECCD,图 1 PCE90 ,G FE90

33、 EFH90 FHC90 名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - FG 1CD1,直线学习必备欢迎下载按题目要求所画图形见图G G 与直线 CD 的位置关系为相互垂直（2）四边形 ABCD 是平行四边形,BADCy12 x2 x x4或AD6,AE1 tanB4,3DE5 tanEBCtanB43可得CE4由（ 1）可得四边形EFCH 为正方形CHCE4G1 如图 2,当P 点在线段 CH 的延长线上时,FG 1CP 1x,PHx4,4B A F C HP1 SPFG 1 11FG 1PH 1x xE D 22图 2 y12 x2 x x42如图 3,当P 点在线段 CH 上（不与 C、H两点重合）时,G1 FG 1CP 1x,PHx4,F SP FG 1 11FG 1PHx4x BAECDH22P1 1y2 x2 0x4图 3 2当1P点与 H 点重合时,即x4时,PFG1不存在综 上 所 述 , y 与 x 之 间 的 函 数 关 系 式 及 自 变 量 x 的 取 值 范 围 是2y1x22 0x42第 13 页,共 13 页名师归纳总结 - - - - - - -