2022年中考数学重难点专题讲座第八讲动态几何与函数问题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载中考数学重难点专题讲座第八讲 动态几何与函数问题【前言】在第三讲中我们已经争论了动态几何问题的一般思路,但是那时候没有对其中夹杂的函数问题绽开来分析； 整体说来,代几综合题大致有两个侧重,第一个是侧重几何方面,利用几何图形的性质结合代数学问来考察；而另一个就是侧重代数方面,几何性质只是一个引入点,更多的考察了考生的运算功夫；但是这两种侧重也没有很严格的分野,许多题型都很类似；所以相比昨天第七讲的问题,这一讲将重点放在了对函数,方程的应用上； 其中通过图中已给几何图形构建函数是重点考察对象；不过从近年北京中考的趋势上看,要求所构

2、建的函数为很复杂的二次函数可能性略小,大多是一个较为简洁的函数式,表达了中考数学的考试说明当中“ 削减复杂性”“ 增大敏捷性” 的主体思想；但是这也不能放松,所以笔者也挑选了一些较有代表性的复杂运算题仅供参考；【例 1】如图所示,直角梯形OABC的顶点 A、C分别在 y 轴正半轴与x 轴负半轴上 . 过点 B、C作直线 l . 将直线 l 平移,平移后的直线l 与x轴交于点 D,与y轴交于点 E. （1）将直线 l 向右平移, 设平移距离 CD为 t（t 0）,直角梯形 OABC被直线 l 扫过的面积 （图中阴影部份）为 s , s 关于 t 的函数图象如图所示,OM为线段, MN为抛物线的一

3、部分,NQ为射线,且 NQ平行于 x 轴, N点横坐标为 4,求梯形上底 AB的长及直角梯形 OABC的面积 . （2）当 2 t 4 时,求 S 关于 t 的函数解析式 . 【思路分析】 此题虽然不难, 但是特别考查考生对于函数图像的懂得；许多考生看到图二的名师归纳总结 函数图像没有数学感觉,反应不上来那个M点是何含义, 于是无从下手； 其实 M点就表示当第 1 页,共 17 页平移距离为2 的时候整个阴影部分面积为8,相对的, N点表示移动距离超过4 之后阴影部- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载分面积就不动了；脑中模拟一下就能想到

4、阴影面积固定就是当D移动过了 0 点的时候 . 所以依据这么几种情形去作答就可以了；其次问建立函数式就需要看出当2t4时,阴影部分面积就是整个梯形面积减去ODE的面积,于是依据这个构造函数式即可；动态几何连带函数的问题往往需要找出图形的移动与函数的变化之间的对应关系,然后利用对应关系去分段 求解；【解】（1）由图（ 2）知, M 点的坐标是（ 2,8）由此判定：AB2,OA4；12. 3分 N 点的横坐标是4, NQ 是平行于 x 轴的射线,CO4直角梯形 OABC 的面积为：1ABOCOA1 2 2442（2）当 2t4时,基本上实际考试中遇到这种 阴影部分的面积=直角梯形 OABC 的面积

5、ODE 的面积 求怪异图形面积的都要先想是不是和题中所给特别图形有割补关系S121OD OE2OD1,OD4tOE2OE2 4t . S1212 4t4t124t22St28 t4. 【例 2】名师归纳总结 已知：在矩形 AOBC 中,OB4,OA3分别以 OB,OA所在直线为 x 轴和 y 轴,建第 2 页,共 17 页立如下列图的平面直角坐标系F 是边 BC 上的一个动点（不与B,C重合）,过 F 点的反比例函数ykk0的图象与 AC 边交于点 E x（1）求证：AOE与BOF的面积相等；（2）记SSOEFSECF,求当 k 为何值时, S 有最大值,最大值为多少？（3）请探究： 是否存在

6、这样的点F ,使得将CEF沿 EF 对折后, C 点恰好落在 OB 上？- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载如存在,求出点 F的坐标；如不存在,请说明理由【思路分析】此题看似几何问题,但是实际上AOE和 FOB这两个直角三角形的底边和高恰好就是 E,F 点的横坐标和纵坐标,而这个乘积恰好就是反比例函数的系数 K；所以直接设点即可轻松证出结果；其次问有些同学可能依旧纠结这个EOF的面积该怎么算,事实上从第一问的结果就可以发觉这个矩形中的三个 RT 面积都是反常好求的；于是利用矩形面积减去三个小 RT 面积即可,经过一系列化简即可求得表达式

7、,利用对称轴求出最大值；第三问的思路就是假设这个点存在,看看能不能证明出来；由于是翻折问题, 翻折之后大量相等的角和边 , 所以自然去利用三角形相像去求解,于是变成一道比较典型的几何题目,做垂线就 OK. 【解析】（1）证明：设E x 1,y 1,F x 2,y2,AOE与FOB的面积分别为S ,S ,由题意得y 1k,y2kx 1x2S 11x y 11k ,S 21x y21k 22224,k4, 想不到这样设点也可以直S 1S ,即AOE与FOB的面积相等（2）由题意知： E,F两点坐标分别为Ek, ,F3接用 X 去代入 , 麻烦一点而已 名师归纳总结 SECF1EC CF141k31

8、k,第 3 页,共 17 页2234- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - SEOFS 矩形AOBCSAOESBOF学习必备欢迎下载1k1kSECF12kSECFSECF1222S SOEF SECF 12 k 2 SECF 12 k 2 1 4 1 k 3 1 k2 3 41 2S k k 121k 6当2 1 时, S 有最大值121S最大值 34 112（3）解：设存在这样的点 F,将CEF 沿 EF 对折后, C 点恰好落在 OB 边上的 M 点,过点 E 作 EN OB ,垂足为 N 由题意得：EN AO 3,EM EC 4 1k ,MF CF 3

9、 1k ,3 4EMN FMB FMB MFB 90,EMN MFB 又 ENM MBF 90,ENMMBF 将已知和所求的量放在这一对有关联的三角形当中 EN EM,3 4 13 k 4 112 1 k,MB MF MB 3 1k 3 1 1k4 129MB42 2 2MB 2BF 2MF 2,9 k3 1k,解得 k 214 4 4 8k 21BF4 32存在符合条件的点 F,它的坐标为 4,2132【例 3】名师归纳总结 如图,在直角梯形ABCD中, AD BC, C90 , BC16,DC12, AD21；动点 P从点 D第 4 页,共 17 页动身,沿射线DA的方向以每秒2 两个单位

10、长的速度运动,动点Q 从点 C 动身,在线段CB- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 上以每秒 1 个单位长的速度向点学习必备欢迎下载Q运动到点B 运动, 点 P,Q分别从点 D,C同时动身,当点B时,点 P随之停止运动；设运动的时间为 t （秒）；（1）设 BPQ的面积为 S,求 S与 t 之间的函数关系式；（2）当 t 为何值时,以 B,P,Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？（3）是否存在时刻 t ,使得 PQBD？如存在,求出 t 的值；如不存在,请说明理由；【思路分析】此题是一道和一元二次方程结合较为紧密的代几综合题,大量时间都在运算上；第三讲的时

11、候我们已经探讨过解决动点问题的思路就是看运动过程中哪些量发生了变化,哪些量没有变化；对于该题来说,当P,Q 运动时,BPQ的高的长度始终不变,即为CD长,所以只需关注变化的底边BQ即可,于是列出函数式；其次问就要分类争论,牢牢把握住高不变这个条件,通过勾股定理建立方程去求解；第三问许多同学画出图形以后就不知如何下手, 此时不要遗忘这个题目中贯穿始终的不动量高,过 Q做出垂线以后就发觉利用角度互余关系就可以证明PEQ和 BCD是相像的,于是建立两个直角三角形直角边的比例关系,而这之中只有 PE是未知的, 于是得解；这道题放在这里是想让各位体会一下那个不动量高的作用, 每一小问都和它休戚相关,利用

12、这个不变的高区建立函数,建立方程组乃至比例关系才能拿到全分；【解析】名师归纳总结 解：（1）如图 1,过点 P 作 PMBC,垂足为 M,就四边形PDCM为矩形；P Q D 第 5 页,共 17 页PMDC12 QB16t , S1 2 12 16 t 96t A （2）由图可知： CMPD 2t ,CQt ；热以 B、P、Q三点B M C 为顶点的三角形是等腰三角形,可以分三种情形；图 1 如 PQBQ；在 Rt PMQ中,PQ2t2122,由 PQ2BQ2 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 得t212216t2,解得 t 7 2学习必备欢迎下载；如

13、 BPBQ；在 Rt PMB中,BP2162 20122；由 BP2 BQ2 得：162 212216t2即3 t232t144；由于 7040 3 t232t1440无解, PB BQ16t2 2122如 PBPQ；由 PB2PQ2,得t2122整理,得3 t264t2560；解得t116 3,216（舍）（想想看为什么要舍？函数自变量的取值范畴是多少？）综合上面的争论可知：当t 7 2秒或t16秒时,以 B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三3角形；（3）设存在时刻 t ,使得 PQBD；如图 2,过点 Q作 QE ADS,垂足为 E；由 Rt BDC Rt QPE,得DCPE,即12 16

14、t；解得 t 9 A P E D BCEQO Q C 12所以,当 t 9 秒时, PQ BD；B 【例 4】图 2 在 Rt ABC中, C=90 , AC = 3 ,AB = 5 点 P从点 C动身沿 CA以每秒 1 个单位长的速度向点 A 匀速运动, 到达点 A 后马上以原先的速度沿AC返回；点 Q从点 A 动身沿 AB以每秒名师归纳总结 1 个单位长的速度向点B 匀速运动相伴着P、Q的运动, DE保持垂直平分PQ,且交 PQ于第 6 页,共 17 页点 D,交折线 QB-BC-CP于点 E点 P、 Q同时动身,当点Q到达点 B 时停止运动,点P也随之停止设点P、Q运动的时间是t 秒（

15、t 0）B （1）当 t = 2时, AP = ,点 Q到 AC的距离是；（2）在点 P 从 C向 A 运动的过程中,求APQ 的面积 S 与t 的函数关系式； （不必写出t 的取值范畴）Q E （3）在点 E 从 B 向 C运动的过程中,四边形QBED能否成为直角梯形？如能,求t 的值如不能,请说明理由；A D P C （4）当 DE经过点 C 时,请直接写出t 的值- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载【思路分析】 依旧是一道放在几何图形当中的函数题；但是此题略有不同的是动点有一个折返的动作, 所以加大了摸索的难度 , 但是这个条件基

16、本不影响做题 , 不需要太专心于其上；首先应当留意到的是在运动过程中 DE保持垂直平分 PQ这一条件,然后判定 t 可能的范畴 . 因为给出了 AC和 CB的长度 , 据此估量出运动可能出现的状态 . 第一问简洁不用多说 , 其次问做出垂线利用三角形内的比例关系做出函数. 第三问特别留意直角梯形在此题中有两种出现方式.DE/QB 和 PQ/BC 都要分情形争论. 最终一问就可以直接利用勾股定理或者AQ,BQ的等量关系去求解 . 解：（1）1,8 5；,AP3t A Q D B B （2）作 QFAC于点 F,如图 3, AQ = CP= tE 由 AQF ABC,BC522 34,得QFtQF

17、4t 455F C P 图 3 S13t4t ,25即S2t26t 55E （3）能当 DE QB时,如图 4QBED是直角梯形A Q D C DEPQ,PQQB,四边形P 图 4 此时 AQP=90 名师归纳总结 由 APQ ABC,得AQAP,A A Q B 第 7 页,共 17 页ACABE 即t35t 解得t938如图 5,当 PQ BC时,DEBC,四边形QBED是直角梯形D 此时 APQ =90 C P 图 5 由 AQP ABC,得AQAP AC,ABB 即t33t 解得t1558P Q G （4）t5或t45214【注：点P 由 C向 A 运动, DE经过点 CD CE 方法一

18、、连接QC,作 QGBC于点 G,如图 6图 6 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - PCt ,QC2QG2CG235学习必备欢迎下载Q B t2 445t255由PC2QC ,得t235t2445t2,解得t52G 55方法二、由 CQCPAQ ,得QACQCA ,进而可得BBCQ ,得 CQBQ ,AQBQ5t5A P D CE 22图 7 点 P 由 A向 C运动, DE经过点 C,如图 76t2 35t2445t2,t451455【例 5】如图, 在 RtABC 中,A 90,AB 6,AC 8, D,E 分别是边 AB,AC 的中点,点 P 从

19、点 D 动身沿 DE 方向运动, 过点 P 作PQ BC 于 Q ,过点 Q 作 QRBA 交 AC 于R ,当点Q与点 C 重合时,点 P 停止运动设 BQ x , QR y （1）求点 D 到 BC 的距离 DH 的长；（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范畴）；（3）是否存在点 P,使PQR 为等腰三角形？如存在,恳求出全部满意要求的 x 的值；如不存在,请说明理由A R D P E B C H Q 【思路分析】此题也是一道较为典型的题；第一问其实就是重要示意,算 DH的长度实际上就是后面 PQ的长度, 在构建等腰三角形中发挥重要作用；算 DH的方法许多, 不用累述； 第

20、二问列函数式,最重要的是找到 yQR 和 xBQ 要通过哪些量练联系在一起 . 我们发觉 RQ和QC所在的QRC和 BAC是相像的 , 于是建立起比例关系得出结果 . 第三问依旧是要分类争论 ,但凡看到构成特别图形的情形都要去争论一下 . 不同类之间的解法也有所不同 , 需要留意一下. 名师归纳总结 解：（1）ARt,AB6,AC8,BC10第 8 页,共 17 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 点 D 为 AB 中点,BD1AB学习必备欢迎下载32DHBA90,BB12BHDBAC,DHBD,DHBDAC38ACBCBC105（2）QRAB,QRC

21、A90CC ,RQCABC,RQQC,y10x,3x6ABBC610y即 y 关于 x 的函数关系式为：5（3）存在,分三种情形：当 PQPR 时,过点 P 作 PMQR 于 M ,就 QMRM A 名师归纳总结 1290,C290,B D P R E E R C 第 9 页,共 17 页1C 1 M 2 cos1cosC84,QM4,H Q QP5A P C 10513 5x64,x18D 21255B H 5Q 当 PQRQ 时,3x612,55A E P R x6D 当PRQR 时,就 R 为 PQ 中垂线上的点,于是点 R 为 EC 的中点,B H Q C CR1CE1AC224tan

22、 CQRBA,CRCA3x66,x155228- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 综上所述,当x 为18 5或 6 或15 2时,学习必备欢迎下载PQR为等腰三角形【总结】 通过以上的例题,大家心里大致都有了底；整体来说这类函数型动态几何题是偏难的,不光对几何图形的分析有肯定要求,而且仍很考查考生的方程、函数的运算才能；解决这类问题需要留意这么几个点：第一和纯动态几何题一样,始终把握在变化中不动的量将函数的变量放在同一组关系中建立联系, 特别是找出题中是否有可以将这些条件联系起来的相似三角形组来构造比例关系；其次要留意特别图形如等腰三角形,直角梯形等的分

23、类争论；第三要留意函数自变量的取值范畴,合理挑选出可能的情形；最终就是在运算环节认真细心,做好每一步；其次部分 发散摸索【摸索 1】如下列图, 菱形 ABCD 的边长为 6 厘米,B 60 从初始时刻开头, 点 P 、Q同时从 A点动身,点 P 以 1 厘米 / 秒的速度沿 A C B 的方向运动,点 Q 以 2 厘米 / 秒的速度沿A B C D 的方向运动,当点 Q 运动到 D 点时, P 、 Q 两点同时停止运动,设 P 、Q 运动的时间为 x 秒时,APQ 与ABC 重叠部分的面积为 y 平方厘米（这里规定：点和线段是面积为 O 的三角形）,解答以下问题：（1）点 P 、 Q 从动身到

24、相遇所用时间是 秒；（2）点 P 、Q从开头运动到停止的过程中,当APQ 是等边三角形时 x 的值是 秒；（3）求y与x之间的函数关系式【思路分析】 此题一二问不用多说,第三问是比较少见的分段函数；需要将 x 运动分成三个名师归纳总结 阶段 , 第一个阶段是0X3,到 3 时刚好 Q到 B. 其次阶段是3X6,Q从 B 返回来 . 第三第 10 页,共 17 页阶段就是再折回去. 依据各个分段运动过程中图形性质的不同分别列出函数式即可. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载【摸索 2】已知直角坐标系中菱形ABCD的位置如图, C,D 两

25、点的坐标分别为4,0,0,3.现有两动点 P,Q 分别从 A,C 同时动身, 点 P沿线段 AD向终点 D运动,点 Q沿折线 CBA向终点 A 运动,设运动时间为t 秒 . 、面积是、 高 BE的长是；1 填空：菱形ABCD的边长是2 探究以下问题：如点 P 的速度为每秒 1 个单位, 点 Q的速度为每秒 2 个单位 . 当点 Q在线段 BA上时,求APQ的面积 S 关于 t 的函数关系式,以及 S 的最大值；如点 P 的速度为每秒 1 个单位,点 Q的速度变为每秒 k 个单位,在运动过程中 , 任何时刻都有相应的 k 值,使得APQ沿它的一边翻折,翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形 .请探

26、究当 t=4 秒时的情形,并求出 k 的值 . yDEAOCxB【思路分析】 依旧是面积和时间的函数关系,依旧是先做垂线,然后利用三角形的比例关系去列函数式；留意这里这个函数式的自变量取值范畴是要去求的,然后在范畴中去求得于是连续分S的最大值； 最终一问翻折后如要构成菱形,就需三角形APQ为等腰三角形即可,情形去争论就行了；【摸索 3】已知：等边三角形ABC的边长为 4 厘米,长为1 厘米的线段 MN 在ABC的边 AB 上沿AB 方向以 1 厘米 / 秒的速度向 B 点运动（运动开头时,点M 与点 A 重合,点 N 到达点 B名师归纳总结 时运动终止） ,过点 M、N分别作 AB 边的垂线,

27、与ABC的其它边交于P、Q两点,线第 11 页,共 17 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 段 MN 运动的时间为t 秒学习必备欢迎下载（1）线段 MN 在运动的过程中,积；t 为何值时, 四边形 MNQP 恰为矩形？并求出该矩形的面（2）线段 MN 在运动的过程中,四边形 MNQP 的面积为 S ,运动的时间为 t 求四边形MNQP 的面积 S随运动时间 t 变化的函数关系式,并写出自变量 t 的取值范畴C Q P A M N B 【思路分析】第一问就是看运动到特别图形那一瞬时的静止状态,当成正常的几何题去求解；由于要成为矩形只有一种情形就是 PM

28、=QN,所以此时 MN刚好被三角形的高线垂直平分,不难；其次问也是较为明显的分段函数问题；第一是 N过 AB中点之前,其次是 N过中点之后同时 M没有过中点, 最终是 M,N 都过了中点, 依据这三种情形去分解题目争论；需要留意的就是四边形始终是个梯形,且高 MN是不变的,所以 PM和 QN的长度就成为了求面积 S 中变化的部分；这一类题目运算繁琐,思路多样, 所以期望大家认真琢磨这8 个经典题型就可以了,中考中总逃不出这些题型的；只要争论透了, 面对它们的时候思路上来的就快,做题自然不在话下了；第三部分 摸索题解析【摸索 1 解析】解：（1）6（2）8名师归纳总结 - - - - - - -

29、第 12 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - （3）当 0x3时,学习必备欢迎下载D A Q3 P2 O C P3 Q2 B P1 E Q1 ySAPQ 131AP AQ1sin 601 x22x33x2222当 3x 6时,y SAPQ 1 2 = 1 AP P Q 221 AP CQ 22 sin6021 3x 12- 2 2 2= 3x 23 3 .2当 6x9 时,设 P Q 与 AC 交于点 O 解法一 名师归纳总结 过Q 作Q ECB,就CQ E为等边三角形第 13 页,共 17 页2 xQ ECECQ 312.Q ECB .EOQ 3COP 3- -

30、 - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - OCCP 3x61 , 2学习必备欢迎下载OEEQ32x12yOC1CE1 2 3x12,33SAQP 31OC CP3sin 60SACP 3- SCOP 31CP ACsin 60221x663112x12x6222323x27 3x15 362（解法二）名师归纳总结 如右图,过点 O 作OFCP 于点 F ,OGCQ ,于点G,O G C H B 第 14 页,共 17 页过点3P作P HDC 交 DC 延长线于点 H Q3 ACBACD,OFOG.又CP 3x6,CQ3,2x122x6,SCQP 31SCOQ 3D

31、2A F SCOP 31SCP Q 3 3,3P3 112CQ P H311 2 2x12x63323 6x2 6 .又SACP31CP ACsin 6021x663223 3 2x6.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ySAOP 3学习必备欢迎下载SACP 3SOCP 33x6 23 3x6263x27 3x15 3.62【摸索 2 解析】解：（1）5 , 24, 24 5AGEQPOy 图1 Cx（2）由题意,得AP=t,AQ=10-2t. 如图 1, 过点 Q作 QGAD,垂足为G,由 QG BE 得D AQG ABE,QGQA, BEBABQG

32、=4848 t, 1 分525S1APQG24t224t 2 5 t 5. 2255 1 分S24 t5265 t 5. （这个自变量的范畴很重要）2AEMFPOyCx252当 t=5 时, S最大值为 6. 2 要使 APQ沿它的一边翻折,翻折前后的两个三角形组D成的四边形为菱形,依据轴对称的性质,只需APQ为等腰BQ 1三角形即可 . 当 t=4 秒时,点P的速度为每秒1 个单位, AP= 4 . 以下分两种情形争论: 第一种情形： 当点 Q在 CB上时 , PQBEPA,只存在点 图2Q1,使 Q1A=Q1P. 如图 2, 过点 Q1作 Q1MAP,垂足为点 M,Q1M交 AC于点名师归

33、纳总结 F, 就 AM=1 2AP2. 由 AMF AOD CQ1F,得第 15 页,共 17 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - FMQ 1FOD3, FM3, 学习必备欢迎下载AMCQ1AO42Q 1FMQ1FM33. AAEPy 图3Cxx10CQ1= QF 43=22 5. 就1tAP, kCQ 111 . DktCQ 1AP10其次种情形：当点Q在 BA上时 , 存在两点 Q2,Q3, OB分别使 A P= A Q2,PA=PQ3. 如 AP=AQ2,如图 3,CB+BQ2=10-4=6. Q 2就1tCBAP, kCBBQ 23. ktBQ

34、 2AP2POC如 PA=PQ3,如图 4, 过点 P作 PNAB,垂足为N,y由 ANP AEB,得ANAP. AEABAE=AB2BE27 , AN28 25. D5AQ3=2AN=56 2556 , BC+BQ3=10-2519425N就1tCBAP. kCBBQ 397. ktBQ 350Q 3APB图 4综上所述,当t= 4秒,以所得的等腰三角形APQ 沿底边翻折,翻折后得到菱形的k 值为11或 103 或 297 . 50【摸索 3 解析】名师归纳总结 过点 A 作 A NAB 垂足为 N 点,A N P HD 第 16 页,共 17 页在 RtH CD中,H C 如HDH不小于 60 ,就H Csin 603BH D2即H C3H D4 3M B A2B MH C 4 3RtA NPRtB MP- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A NA P学习必备欢迎下载名师归纳总结 B MB PA C B B 第 17 页,共 17 页A N