2022年中考数学压轴题之动点题目训练.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 中考数学压轴题之动点题目训练动点试题是近几年中考命题的热点,与一次函数、 二次函数等学问综合,构成中考试题的压轴题； 动点试题大致分为 点动、 线动、图形动 三种类型, 动点试题要以静代动的解题思想解题；下面就中考动点试题进行分析：例 1 如图,在平行四边形 ABCD 中,AD=4cm , A=60 ,BDAD. 一动点 P 从 A 出发,以每秒 1cm 的速度沿 ABC 的路线匀速运动,过点 P 作直线 PM,使 PMAD. 1当点 P 运动 2 秒时,设直线PM 与 AD 相交于点 E,求 APE 的面积；2当点 P 运动 2 秒时, 另一

2、动点 Q 也从 A 动身沿 AB 的路线运动, 且在 AB 上以每秒 1cm 的速度匀速运动, （当 P、Q 中的某一点到达终点,就两点都停止运动 .）过 Q 作直线 QN,使 QN PM,设点 Q 运动的时间为 t 秒（0t 8）,直线 PM 与 QN 截平行四边形 ABCD 所得图形的面积为 S（cm2）. （1）求 S 关于 t 的函数关系式；（2）求 S 的最大值 . 1.分析：此题为点动题,因此,1搞清动点所走的路线及速度,这样就能求出相应线段的长； 2）分析在运动中点的几种特别位置 . 由题意知,点 P 为动点,所走的路线为：ABC 速度为 1cm/s；而 t=2s,故可求出AP

3、的值,进而求出 APE 的面积 . 略解：由 AP=2 , A=60 得 AE=1 ,EP= . 因此 . 2.分析：两点同时运动,点 P 在前,点 Q 在后,速度相等,因此两点距动身点 A 的距离相差总是 2cm.P 在 AB 边上运动后, 又到 BC 边上运动 .因此 PM 、QN 截平行四边形 ABCD所得图形不同 .故分两种情形：（1）当 P、Q 都在 AB 上运动时, PM 、QN 截平行四边形 直角梯形 .此时 0t 6.ABCD 所得的图形永久为当 P在 BC 上运动,而 Q 在 AB 边上运动时, 画出相应图形, 所成图形为六边形 DFQBPG .不规章图形面积用割补法 .此时

4、 6 t 8.略解：当 P、 Q 同时在 AB 边上运动时, 0t 6.名师归纳总结 AQ=t,AP=t+2, AF=t,QF=t,AG=t+2, 由三角函数PG=t+2, t+. 第 1 页,共 23 页FG=AG-AF=t+2-t=1.S =QF+PG FG=t+t+21=- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当 6t 8时,S=S 平行四边形ABCD-S AQF-S GCP. 10-t=10-t2. 可 得易求 S 平行四边形ABCD=16,S AQF=AF QF=t2. 而S CGP=PC PG,PC=4-BP=4-t+2-8=10-t.由 比 例

5、 式PG=10-t. S CGP=PC PG=10-tS=16-t2-10-t2=6t 8分析 :求面积的最大值时 ,应用函数的增减性求 .如题中分多种情形 ,那么每一种情形都要分别求出最大值,然后综合起来得出一个结论 .此题分两种情形 ,那么就分别求出 0t 6和6t 8时的最大值 . 0 t 6 时,是一次函数 ,应用一次函数的性质 ,由于一次项系数是正数 ,面积S 随 t 的增大而增大 .当 6t 8时,是二次函数 ,应用配方法或公式法求最值 . 略解：由于 所以 t=6 时, S最大；由于 S6t 8,所以 t=8 时, S 最大 =6 .综上所述 , 当 t=8 时, S 最大 =6

6、 . 例 2如图,在平面直角坐标系中,四边形 OABC 为菱形,点 C的坐标为 4,0, AOC=60,垂直于 x 轴的直线 l 从 y 轴动身,沿 x轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度运动,设直线 l 与菱形 OABC 的两边分别交于点 M 、N点 M 在点 N 的上方 . 1.求 A、B 两点的坐标；2.设 OMN 的面积为 S,直线 l 运动时间为t 秒0 t 6,试求 S 与 t 的函数表达式；3.在题 2的条件下, t 为何值时, S 的面积最大？最大面积是多少？1.分析：由菱形的性质、三角函数易求 A、B 两点的坐标 . 解：四边形 OABC 为菱形,点 C 的坐标为 4,0,O

7、A=AB=BC=CO=4. 如图,过点 A 作 AD OC 于 D. AOC=60, OD=2 ,AD= . A2, ,B（ 6, ）. 2.分析：直线 l 在运动过程中,随时间 t 的变化, MON 的外形也不断变化,因此,首先要把全部情形画出相应的图形,每一种图形都要相应写出自变量的取值范畴；这是解决动点题关键之一 . 名师归纳总结 直线 l 从 y 轴动身,沿x 轴正方向运动与菱形OABC 的两边相交有三种情形：第 2 页,共 23 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 0t 2时,直线 l 与 OA 、OC 两边相交 如图 . 2t 4时,直线

8、l 与 AB 、OC 两边相交 如图 . 4t 6时,直线 l 与 AB 、BC 两边相交 如图 . - 略解： MN OC, ON=t. MN=ONtan60=.S=ON MN=-t2. t-4= S=ON MN=t 2=t. t, 方法一：设直线l 与 x 轴交于点 H.MN 2-t-4=6S=MNOH=6-tt=-t2+3t. -t 方法二： 设直线 l 与 x 轴交于点 H.S=S OMH-S ONH ,S=t 2t2+3t. t. t2, 方法三：设直线l 与 x 轴交于点 H.S=, =4 2=8,=2t-2= t-2, =4t-4=2t-8,=6-t6-t=18-6t+S=8-t

9、-2-2t-8-18-6t+t2=-t2+33.求最大面积的时候,求出每一种情形的最大面积值,然后再综合每种情形,求出最大 值. 略解：由 2 知,当 0t 2时,=22=2；. 当 2t 4时,=4；当 4t 6时,配方得S=-t-32+,当 t=3 时,函数 S -t2+3t 的最大值是名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 但 t=3 不在 4t 6内,在 4t 6内,函数 S-t2+3t 的最大值不是. 而当 t3 时,函数S-t2+3t 随 t 的增大而减小,当4t 6时, S4.综上所述,当 t=4 秒时,=

10、4 . 练习 1 如下列图,在直角坐标系中,矩形 ABCD 的边 AD 在 x 轴上,点 A 在原点,AB 3,AD 5如矩形以每秒 2 个单位长度沿 x 轴正方向作匀速运动同时点 P 从 A 点动身以每秒 1 个单位长度沿 ABCD 的路线作匀速运动当 P 点运动到 D 点时停止运动,矩形 ABCD 也随之停止运动求 P 点从 A 点运动到 D 点所需的时间；设 P 点运动时间为t（秒） . s 与 t 之间的函数关系式（并写出相应的自变量t 的取值当 t5 时,求出点P 的坐标；如 OAP 的面积为 s,试求出范畴）解:（1）P 点从 A 点运动到 D 点所需的时间（3+5+3 ）111（

11、秒） . （2）当 t5 时, P点从 A 点运动到 BC 上,此时 OA=10,AB+BP=5 , BP=2. 过点 P 作 PEAD 于点 E,就 PE=AB=3,AE=BP=2. OE=OA+AE=10+2=12. 点 P 的坐标为（ 12,3）分三种情形：当 0t 3时,点 P 在 AB 上运动,此时 OA=2t,AP=t , s=2t t= t2. 当 3t 8时,点 P 在 BC 上运动,此时 OA=2t , s=2t 3=3 t. 当 8t11 时,点 P在 CD 上运动,此时OA=2t,AB+BC+CP= t ,DP=AB+BC+CD- AB+BC+CP=11- t.s=2t

12、11- t=- t2+11 t. 综上所述, s 与 t 之间的函数关系式是：s=3 t；当 8t11 时, s=- t2+11 t . 当 0t 3时,s= t2；当 3t 8时,练习 2 如图,边长为 4 的正方形 OABC 的顶点 O 为坐标原点, 点 A 在 x轴的正半轴上,点 C 在 y 轴的正半轴上动点 D 在线段 BC 上移动（不与 B,C 重合）,连接 OD,过点 D 作 DEOD,交边 AB 于点 E,连接 OE（1）当 CD=1 时,求点 E 的坐标；（2）假如设 CD=t ,梯形 COEB 的面积为 S,那么是否存在 出这个最大值及此时 t 的值；如不存在,请说明理由S

13、的最大值？如存在,恳求而解： 1 正方形 OABC 中,由于 EDOD,即 ODE =90 ,所以 COD=90-CDO ,EDB =90 -CDO , 所 以 COD =EDB. 又 因 为 OCD= DBE=90, 所 以 CDO BED. 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 所以,即,BE=,就.因此点 E 的坐标为（ 4,）2 存在 S 的最大值由于 CDO BED ,所以,即,BE=t t2. 44 tt2故当 t=2 时, S 有最大值 101、（ 09 包头）如图,已知ABC中,ABAC10厘米,BC8

14、厘米,点D为AB的中点（1）假如点 P 在线段 BC 上以 3 厘米 /秒的速度由B 点向 C 点运动,同时,点Q 在线段 CA上由 C 点向 A 点运动如点 Q 的运动速度与点P 的运动速度相等,经过1 秒后,BPD与CQP是否全等,请说明理由；名师归纳总结 如点 Q 的运动速度与点P的运动速度不相等, 当点 Q 的运动速度为多少时, 能够使BPD第 5 页,共 23 页与CQP全等？（2）如点 Q 以中的运动速度从点C 动身,点P 以原先的运动速度从点B 同时动身,都逆时针沿ABC三边运动,求经过多长时间点P 与点 Q 第一次在ABC的哪条边上相遇？A 解：（1）t1秒,厘米,D Q BP

15、CQ3 13AB10厘米,点D为AB的中点,B P C BD5厘米又PCBCBP,BC8厘米,PC835厘米,PCBD - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 又AB AC ,BC ,PC4,CQBD5,BPDCQP（4 分）v Pv , BPCQ ,又BPDCQP,BC ,就BP点P,点Q运动的时间tBP4秒,33v QCQ515t443厘米 /秒（7 分）（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇,由题意,得15x3 x32 10,解得x80秒438080厘米点P共运动了38022824 ,点P、点Q在AB边上相遇,80AB 上相遇 （12 分）经过3 秒点

16、 P 与点Q第一次在边与坐标轴分别交于A、B两点,动点P、Q同时从O点2、（09 齐齐哈尔） 直线y3x64动身,同时到达A 点,运动停止点Q 沿线段 OA运动,速度为每秒1 个单位长度, 点P 沿路线 O B A 运动（1）直接写出A、B两点的坐标；OPQ的面积为S,求出S与t之间B y （2）设点Q的运动时间为t秒,的函数关系式；P 名师归纳总结 O Q 第 6 页,共 23 页 A x - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （3）当S48时,求出点P的坐标, 并直接写出以点O、 、Q为顶点的平行四边形的第5四个顶点M的坐标解（ 1）A（8,0）B（0

17、,6）1 分2 t2t162t, （2）OA8,OB6AB10点Q由O到A的时间是88（秒）1点P的速度是6102（单位 /秒）1 分8当P在线段OB上运动（或0t3）时,OQt,OPSt21 分610当P在线段BA上运动（或3t 8）时,OQt,AP6t如图,作PDOA 于点 D ,由PDAPPD485BOAB ,得,1 分S1OQPD3t224t1 分255（自变量取值范畴写对给1 分,否就不给分 ）（3）P8 24,5 51 分I18 24,5 5,M212 24,5 5,M312,5243 分53（09 深圳）如图,在平面直角坐标系中,直线l：y=2x 8 分别与 x 轴, y 轴相交

18、于 A,B 两点,点 P（0,k）是 y 轴的负半轴上的一个动点,以 P 为圆心, 3 为半径作 P. （1）连结 PA,如 PA=PB,试判定 P 与 x 轴的位置关系,并说明理由；（2）当 k 为何值时,以P 与直线 l 的两个交点和 圆心 P 为顶点的三角形是正三角形？解：（1） P 与 x 轴相切 . 直线 y=2x8 与 x 轴交于 A（ 4,0）,与 y 轴交于 B（0, 8）,OA=4 ,OB=8. 由题意, OP=k,名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - PB=PA=8+k. 在 Rt AOP 中, k

19、2+42=8+k2 ,k= 3, OP 等于 P 的半径, P 与 x 轴相切 . （2）设 P 与直线 l 交于 C,D 两点,连结 于 E. 1 3PC,PD 当圆心 P 在线段 OB 上时 ,作 PECD PCD 为正三角形,DE=2 CD=2 ,PD=3,3 3PE=2. AOB= PEB=90 , ABO= PBE, AOB PEB,AOPE,即43 3,=2 PBABPB4 5PB3 15 , 23 15,POBOPB82P 0,3 158,2k3 158. 23 15当圆心 P 在线段 OB 延长线上时 ,同理可得 P0,2 8,3 15k= 28,3 158 时,以 P 与直线

20、 l 的两个交点和圆心P 为顶点的三角形3 15当 k=28 或 k=2是正三角形 . 4（09 哈尔滨）如图 1,在平面直角坐标系中,点O 是坐标原点,四边形ABCO 是菱形,点 A 的坐标为（ 3,4）,点 C 在 x 轴的正半轴上,直线AC 交 y 轴于点 M,AB 边交 y 轴于点 H名师归纳总结 （1）求直线 AC 的解析式；（2）连接 BM ,如图 2,动点 P 从点 A 动身,沿折线第 8 页,共 23 页ABC 方向以 2 个单位秒的速度向终点C 匀速运动,设PMB 的面积为S（S 0）,点 P- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 的运动时

21、间为t 秒,求 S 与 t 之间的函数关系式（要求写出自变量t 的取值范畴）；名师归纳总结 （3）在（ 2）的条件下,当t 为何值时, MPB 与 BCO 互为余角,并求此时直线OP 与第 9 页,共 23 页直线 AC 所夹锐角的正切值解：- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 5（09 河北）在 Rt ABC 中, C=90 ,AC = 3 ,AB = 5 点 P 从点 C 动身沿 CA 以每秒 1个单位长的速度向点 A 匀速运动,到达点 A 后马上以原先的速度沿 AC 返回；点 Q 从点 A动身沿 AB 以每秒 1 个单位长的速度向点 B 匀速运动相伴

22、着 P、 Q 的运动, DE 保持垂直平分 PQ,且交 PQ 于点 D,交折线 QB-BC-CP 于点 E点 P、Q 同时动身, 当点 Q 到达点 B名师归纳总结 时停止运动,点P 也随之停止设点P、Q 运动的时间是t 秒（ t0）第 10 页,共 23 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （1）当 t = 2 时, AP = ,点 Q 到 AC 的距离是；（2）在点 P 从 C 向 A 运动的过程中,求 APQ 的面积 S 与t A A Q D B B t 的函数关系式； （不必写出t 的取值范畴）（3）在点 E 从 B 向 C 运动的过程中,四边形

23、QBED 能否成E 为直角梯形？如能,求t 的值如不能,请说明理由；（4）当 DE 经过点 C 时,请直接写出t 的值8B C 解：（1）1,5 ；（2）作 QFAC 于点 F,如图 3, AQ = CP= t ,AP3P 图 16 由 AQF ABC ,BC522 34,E 得QFtQF4t455Q D S13t4t,25C 即S2t26tP 图 4 55（3）能当 DE QB 时,如图 4DEPQ, PQQB ,四边形 QBED 是直角梯形A Q E 此时 AQP=90 D AQAP由 APQ ABC ,得ACAB ,P 图 5 C 即t35t 解得t938B 如图 5,当 PQ BC 时

24、, DEBC,四边形 QBED 是直角梯形此时 APQ =90 AQAPA P Q G 由 AQP ABC ,得ABAC ,D CE 即t33t 解得t1558图 6 （4）t5或t45B 214Q G 点 P 由 C 向 A 运动, DE 经过点 C连接 QC,作 QGBC 于点 G,如图 6PCt ,QC2QG2CG235t244t45t2 5A P D CE 55由PC2QC ,得t235t2452,解得t图 7 552点 P 由 A 向 C 运动, DE 经过点 C,如图 7名师归纳总结 6t2 35t2445t2,t45】90,B60 ,BC2点O是AC的第 11 页,共 23 页5

25、5146（09 河南）如图, 在RtABC中,ACB- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 中点,过点O的直线l从与AC重合的位置开头, 绕点O作逆时针旋转, 交AB边于点D过点C作CEAB交直线l于点E,设直线l的旋转角为；C B N （1）当度时,四边形EDBC 是等腰梯形,此时AD 的长为当度时,四边形EDBC 是直角梯形,此时AD 的长为；（2）当90 时,判定四边形EDBC 是否为菱形,并说明理由E l 解（ 1） 30,1； 60,1.5； 4 分（2）当 =900 时,四边形EDBC 是菱形 . =ACB=900 , BC/ED. O CE/A

26、B, 四边形 EDBC 是平行四边形 . 6 分在 Rt ABC 中, ACB=900 , B=600,BC=2, A=300. A D AB=4,AC=23 . O C B AO=1AC=3 . 8 分A 2（备用图）在 Rt AOD 中, A=300 , AD=2. BD=2. BD=BC. 中,D 又四边形EDBC 是平行四边形,四边形 EDBC 是菱形 10 分7（09济南）如图,在梯形ABCDAD,B3 C,A,D,C2动点 M 从 B 点出BA 发沿线段BC以每秒 2 个单位长度的速度向终点C 运动；动点 N 同时从 C点动身沿线段CD以每秒1 个单位长度的速度向终点D 运动设运动

27、的时间为t秒B M C （1）求BC的长（2）当MNAB时,求t的值BC 于 H ,就四边形ADHK（3）摸索究： t 为何值时,MNC为等腰三角形解：（1）如图,过A 、 D 分别作 AKBC 于 K , DH是矩形名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - KHAD3 1 分在RtABK中,AKABsin 454 2224ADGB 是平行四边形A D C BKABcos454 2242 分2在RtCDH中,由勾股定理得,HC2 5423BCBKKHHC43310 3 分（2）如图,过D 作 DGAB交BC于G点,就四边

28、形MNABMNDGBGAD3B K H GC1037 4 分由题意知,当M 、 N 运动到 t 秒时,CNt,CM102 t（图）D DGMNNMCDGC又CCA MNCGDCCNCMCDCG 5 分N t102t 6 分B G M C 即57解得,t50（图）17（3）分三种情形争论：名师归纳总结 当NCMC 时,如图,即t102t第 13 页,共 23 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - t10 7 分3A D A D N N B （图）M C B （图）M H E C 当MNNC 时,如图,过N 作 NEMC 于 E解法一：由等腰三角形三线合一性

29、质得ECt1MC1 10 22 t5t2在RtCEN中,coscEC5tNC又在RtDHC中,coscCH3CD55t3t5解得t258 分8解法二：CC,DHCNEC90CN 于 F 点.FC1NC1tNECDHCNCECt5tDCHC即53t25 8 分8当MNMC 时,如图,过M 作 MF22解法一：（方法同中解法一）名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - cos CFC1t3解得t60B A H D N F 2517MC102 t解法二：C,MFCDHC90M C C（图）MFCDHCFC MC 12 t 10

30、 2 t t 60HC DC 即 3 51710 25 60t t t综上所述,当 3、8 或 17 时,MNC 为等腰三角形 9 分8（09 江西）如图 1,在等腰梯形 ABCD 中,ADBC,E是 AB 的中点,过点 E 作EFBC交CD于点FAB 4,BC 6,B 60 . （1）求点E到BC的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点, 过 P 作 PM EF 交BC于点 M ,过 M 作MNAB交折线ADC于点N,连结PN,设EP x . 当点N在线段 AD 上时（如图 2）,PMN 的外形是否发生转变？如不变,求出PMN的周长；如转变,请说明理由；名师归纳总结 B A 图 1 D A

31、N D A D P D C 第 15 页,共 23 页E F E P F E N F C B C B M M 图 2 图 3 D （第 25 题）A A E 图 4（备用）F C F E B C B 图 5（备用）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当点N在线段DC上时（如图3）,是否存在点P ,使PMN为等腰三角形？如存在,恳求出全部满意要求的 x 的值；如不存在,请说明理由 . 解（ 1）如图 1,过点E作EG BC 于点 G1 分E为AB的中点,名师归纳总结 BE1AB2B A 图 1 N D 2在RtEBG中,B60,BEG30 2 分BG1BE

32、1,EG222 132即点E到BC的距离为3 3 分（2）当点N在线段AD上运动时,PMN的外形不发生转变PMEF,EGEF, PMEGEFBC, EPGM ,PMEG3E F 同理MNAB4 4 分G C 如图 2,过点 P 作PHMN 于 H , MNAB,NMCB60,PMH30PH1PM322B A H D E P MHPMcos303F 2C G M 就NHMNMH43522图 2 第 16 页,共 23 页在RtPNH中,PNNH2PH25232722PMN的周长 =PMPNMN374 6 分- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当点N在线段D

33、C上运动时,PMN的外形发生转变,但MNC恒为等边三角形名师归纳总结 当PMPN 时,如图 3,作 PRMN 于 R ,就 MRNR第 17 页,共 23 页类似,MR32MN2MR37 分MNC是等边三角形,MCMN3此时,xEPGMBCBGMC6 1328 分A D A D A D E P N E P F E F（P）F R N N B G M 图 3 C B G 图 4 M C B G 图 5 M C 当MPMN 时,如图 4,这时MCMNMP3此时,xEPGM61353当NPNM 时,如图 5,NPMPMN30就PMN120,又MNC60,PNMMNC180因此点P与F重合,PMC为直角三角形MCPMtan301此时,xEPGM61 14综上所述,当x2或 4 或53时,PMN为等腰三角形10 分9（09 兰州）如图,正方形ABCD 中,点 A 、B 的坐标分别为（0,10）,（8, 4）,点 C 在第一象限动点P 在正方形ABCD 的边上,从点A 动身沿 A BCD 匀速运动,同时动点 Q 以相同速度在x 轴正半轴上运动,当P 点到达 D 点时,两点同时停止运动,设运动的时间为t 秒