2022年三角形的五心性质以及典型问题初中数学竞赛.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载三角形的五心三角形的 “五心 ”指的是三角形的外心,内心,重心,垂心和旁心一三角形的外心,这点称为三角形的外心外接圆圆心 A定理 1：三角形的三条边的垂直平分线交于一点定理 2： 三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等都等于三角形的外接圆半径定理 3： 锐角三角形的外心在三角形内；BOC直角三角形的外心在斜边中点；钝角三角形的外心在三角形外定理 4：A1BOC,B1AOC,C1AOB于 E ,DFAB于 F ,O 为2221.如下列图, 在锐角ABC 中,ADBC于 D ,DEACABC

2、 的外心 . 求证：（1）AEF ABC2AOEFAFOE2. 设 O 为 锐 角A B C的 外 心 , 连 接AO,BO,COBDL,M,NC并 延 长 分 别 交 对 边 于, 就111的值是 _. 设 R为ABC 外接圆半径 ALBMCNA 二三角形的内心定理 1：三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心内切圆BFMIE K圆心 定理 2： 三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径定理 3： 内切圆半径r 的运算：设三角形面积为S,并记 p=1 2a+b+c,就 r=S pDHC特殊的,在直角三角形中,有 r=1 2a+bc 第 1 页,共 5 页 细心整理归纳

3、 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -定理 4：I 为三角形的内心,优秀学习资料欢迎下载AO 交 BC 边于 N,就A、B、C 分别为三角形的三个顶点,延长有 AI: IN=AB:BN=AC:CN=AB+AC:BC定理 5：BIC901A ,CIA901B,AIB901C；O 于 D ；2223.如下列图, O 与O 相交于A,B两点,且O 在O 的圆周上, 弦O 2C交证明： D 是ABC 的内心 .CADO2O1B4.如图,在ABC

4、中,点 D 、 E 是ABC ,ACB 的三等分线的交点,当A60时,求BDE度数ADE5.如图, I 是BCDIDBDCABC 的内心, AI 的延长线交ABC 的外接圆于 D ,就,AIBCD细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 5 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载16.如下列图,ABC 的三边满意关系 BC AB AC 2心,BAC的外角平分线交O于E,AI的延长线交求证：（1）AI BD ;2 OI 1 A

5、E2EAO IBHCD,O,I分别为ABC 的外心,内O于D,DE交BC于H. 三三角形的重心BFDGAEC三中线交于一点可用燕尾定理证明,非常简洁；（重心原是一个物理概念,对于等厚度的质量匀称的三角形薄片,其重心恰为此三角形三条中线的交点,重心因而得名）定理 1：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为21；定理 2：重心和三角形3 个顶点组成的3 个三角形面积相等；即重心到三条边的距离与三条边的长成反比；定理 3：重心到三角形 3 个顶点距离的平方和最小；定理 4：在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均,即其重心坐标为（X1+X2+X3/3,（ Y1+Y2+Y3/3 ；7.

6、证明 ABC 的三条中线可以围成一个三角形,并求所围成的三角形与 ABC 的面积之比8.设 K 是 ABC 内任意一点,KAB ,KBC ,KCA 的重心分别为 D , E , F,求SDEF:sABC 第 3 页,共 5 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -9.如ABC 的重心为 G ,AG优秀学习资料3欢迎下载5,求ABC 的面积 . 2,BG,CG四三角形的垂心三角形的三条高交于一点 ,这点称为三角形的垂心斜三角

7、形的三个顶点与垂心这四个点中,任何三个为顶点的三角形的垂心就是第四个点所以把这样的四个点称为一个“ 垂心组 ” 三角形的三条高（所在直线）交于一点,该点叫做三角形的垂心；定理 1： 三角形三个顶点,三个垂足,垂心这 7 个点可以得到 6 个四点圆；定理 2： 三角形外心 O、重心 G 和垂心 H 三点共线,且 OGGH=1 2；（此直线称为三角形的欧拉线（ Euler line ）定理 3： 垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的 2 倍；定理 4： 垂心分每条高线的两部分乘积相等；10.在ABC 中,如AB5,BC6 ,CA7, H 为垂心,求 AH 的长；ADBC5,11.

8、锐角ABC 中,已知 H 为垂心, AD 为 BC 边上的高, E 为 BC 中点,如试求HDHE的长 . 12.已知RtABC中, CD 是斜边 AB 上的高,O,O 1,O2分别是ABC , ACD ,BCD 的内心；求证：（1）O 1OCO22OCO 1O2ABBCCD,连结 AC 与13.如图, AB 、 BC 、CD 分别与圆 O 相切于 E 、 F 、 G ,BD 相交于点 P ,连结 PFAD求证：PFBCPEGO细心整理归纳 精选学习资料 BFC 第 4 页,共 5 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结

9、 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载五三角形的旁心三角形的旁切圆 （与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）心；的圆心, 叫做三角形的旁定理 1：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点,该点即为三角形的旁 心；定理 2： 每个三角形都有三个旁心；定理 3： 旁心到三边的距离相等；ABDCFEIa例题：已知三角形 ABC 中,角 BAC=120 度； I 是角 ABC 和角 ACB 的平分线 BE,CF 的交 点,连接 AI 交 BC 于 D,证明：角 EDF=90 度A细心整理归纳 精选学习资料 BFDEC 第 5 页,共 5 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -