2022年2022年基本初等函数知识点及函数的基本性质 .pdf

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1、指数函数及其性质一、指数与指数幂的运算（一）根式的概念1、如果,1nxa aR xR n，且nN，那么x叫做a的n次方根当n是奇数时，a的n次方根用符号na表示；当n是偶数时，正数a的正的n次方根用符号na表示，负的n次方根用符号na表示； 0 的n次方根是0；负数a没有n次方根2、式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数当n为奇数时，a为任意实数；当n为偶数时，0a3 、 根 式 的 性 质 ：()nnaa； 当n为 奇 数 时 ，nnaa； 当n为 偶 数 时 ， (0)| (0) nnaaaaaa（二）分数指数幂的概念1、正数的正分数指数幂的意义是：(0, ,mnmnaaam

2、nN且1)n0 的正分数指数幂等于02、正数的负分数指数幂的意义是：11()() (0,mmmnnnaam nNaa且1)n 0 的负分数指数幂没有意义注意口诀： 底数取倒数，指数取相反数3、a0=1 (a0) ap 1/ap (a0；pN)4、指数幂的运算性质(0, ,)rsrsaaaar sR()(0, ,)rsrsaaar sR()(0,0,)rrraba babrR 5、0 的正分数指数幂等于0,0 的负分数指数幂无意义。二、指数函数的概念一般地，函数)1a,0a(ayx且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R注意： 1指数函数的定义是一个形式定义； 2注意指数函数的底数的取

3、值范围不能是负数、零和1三、指数函数的图象和性质函数名称指数函数定义函数(0 xyaa且1)a叫做指数函数图象1a01a定义域R值域（0,+ ）过定点图象过定点（0,1 ） ，即当 x=0 时， y=1奇偶性非奇非偶单调性在R上是增函数在R上是减函数xayxy(0,1)O1yxayxy(0,1)O1y名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - 函数值的变化情况y 1(x 0), y=1(x=0), 0y1(x 0) y1(x

4、 0), y=1(x=0), 0 y1(x 0) a变化对图象影响在第一象限内，a越大图象越高，越靠近y 轴；在第二象限内，a越大图象越低，越靠近x 轴在第一象限内，a越小图象越高，越靠近y 轴；在第二象限内，a越小图象越低，越靠近x 轴注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在 a ， b 上，)1a0a(a)x(fx且值域是)b(f),a(f 或)a(f),b(f （2）若0 x，则1)x(f；)x(f取遍所有正数当且仅当Rx（3）对于指数函数)1a0a(a)x(fx且，总有a)1(f（4）当1a时，若21xx，则)x(f)x(f21四、底数的平移对于任何一个有意义的指数函数：在

5、指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。在 f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。即 “上加下减，左加右减”五、幂的大小比较常用方法（1）比 差（商）法：（ 2） 函数单调性法；（ 3）中间值法：要比较A 与 B 的大小，先找一个中间值C，再比较A 与 C、 B与C的大小，由不等式的传递性得到A与 B 之间的大小。注意：（ 1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断。例如： y1=34,y2=35（ 2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图像的变化规律 来判断。例如： y1=（ 1/2

6、）4,y2=34, （ 3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，则可以利用中间值 来比较对于三个（或三个以上）的数的大小比较，则应该先根据值的大小（特别是与0、1 的大小）进行分组 ，再比较各组数的大小即可。在 比 较 两 个 幂 的 大 小 时 ， 如 果 能 充 分 利 用 “1” 来 搭 “ 桥 ” （ 即 比 较 它 们 与“1”的大小），就可以快速的得到答案。由指数函数的图像和性质可知“同大异小”。即当底数a 和 1 与指数x 与 0 之间的不等号同向时，ax大于1，异向时 ax小于 1.对数函数及其性质一、对数与对数的运算（一）对数1对数的概念： 一般地， 如果Nax)1,0

7、(aa，那么数x叫做以a为底N的对数， 记作：Nxalog（a 底数，N 真数，Nalog 对数式）说明： 注意底数的限制0a，且1a；xNNaaxlog；注意对数的书写格式Nalog两个重要对数：常用对数：以10 为底的对数Nlg；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - 自然对数：以无理数71828.2e为底的对数的对数Nln指数式与对数式的互化幂值真数ba NlogaN b 底数指数对数（二）对数的运算性质如果0a，

8、且1a，0M，0N，那么：Ma(log)NMalogNalog；2NMalogMalogNalog； 3naMlognMalog)(RnMaMannlog1logbbaalogbabalog loga1=0 log a a=1 a log a N=N log a a b=b 注意：换底公式abbccalogloglog（0a，且1a；0c，且1c；0b） 推论 ( 利用换底公式) bmnbanamloglog；abbalog1log二、对数函数1、对数函数的概念：函数0(logaxya，且)1a叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+） 注意：对数函数的定义与指数函数类似，都是形式

9、定义，注意辨别。如：xy2log2，5log5xy都不是对数函数，而只能称其为对数型函数 对数函数对底数的限制：0(a，且)1a三、对数函数的图像和性质：函数名称对数函数定义函数log(0ayx a且1)a叫做对数函数图象1a01a定义域(0,)值域R过定点图象过定点(1,0)，即当1x时，0y奇偶性非奇非偶xyO(1,0)1xlogayxxyO(1,0)1xlogayx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - 单调性在(

10、0,)上是增函数在(0,)上是减函数函数值的变化情况log0 (1)log0 (1)log0 (01)aaaxxxxxxlog0 (1)log0 (1)log0 (01)aaaxxxxxxa变 化 对图象影响在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高在第一象限内，a越大，图象越靠近x 轴在第四象限内，a越大，图象越靠近y 轴在第一象限内，a越小，图象越靠近x 轴在第四象限内，a越小，图象越靠近y 轴四、对数的平移、大小比较与指数函数类似反函数一、反函数定义设函数( )yf x的定义域为A， 值域为C， 从式子( )yf x中解出x， 得式子( )xy 如果对于y在C中的任何

11、一个值，通过式子( )xy，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么 式 子( )xy表 示x是y的 函 数 ， 函 数( )xy叫 做 函 数( )yf x的 反 函 数 ， 记 作1( )xfy，习惯上改写成1( )yfx二、反函数的求法确定反函数的定义域，即原函数的值域；从原函数式( )yf x中反解出1( )xfy；将1( )xfy改写成1( )yfx，并注明反函数的定义域三、反函数的性质原函数( )yf x与反函数1( )yfx的图象关于直线yx对称函数( )yfx的定义域、值域分别是其反函数1( )yfx的值域、定义域若( , )P a b在原函数( )yf x的图象上，则( , )

12、P b a在反函数1( )yfx的图象上一般地，函数( )yf x要有反函数则它必须为单调函数幂函数及其性质一、幂函数的定义一般地，函数yx叫做幂函数，其中x为自变量，是常数二、幂函数的图象函数特征性质y=x yx2yx3yx12yx1定义域R R R 0 ，）|x x0值域R 0 ，）R 0 ，）|y y0 x)0，增x()0，增单调性增x(， 0减增增x()， 0减所过定点（ 1， 1）（ 0， 0）（ 1， 1）（ 0， 0）（ 1， 1）（ 0， 0）（ 1， 1）（ 0， 0）（ 1， 1）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - -

13、- - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - 三、幂函数的性质1、 图象分布： 幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象幂函数是 偶函数 时，图象分布在第一、二象限( 图象关于y轴对称 ) ；幂函数是 奇函数 时，图象分布在第一、三象限( 图象关于原点对称) ；幂函数是 非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限2、 过定点： 所有的幂函数在(0,)都有定义，并且图象都通过点(1,1)3、 单调性： 如果0，则幂函数的图象过原点，并且在0,)上为增函数如果0，则幂函数的图象在(0,)上为减函数，在第一象限内，图象无限

14、接近x轴与y轴4、 奇偶性： 当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数当qp（其中,p q互质，p和qZ） ，若p为奇数q为奇数时，则qpyx是奇函数，若p为奇数q为偶数时，则qpyx是偶函数，若p为偶数q为奇数时，则qpyx是非奇非偶函数5、图象特征： 幂函数,(0,)yxx，当1时，若01x，其图象在直线yx下方，若1x，其图象在直线yx上方，当1时，若01x，其图象在直线yx上方，若1x，其图象在直线yx下方名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，

15、共 7 页 - - - - - - - - - 函数基本性质奇偶性知识点及经典例题一、函数奇偶性的概念：设函数 yfx 的定义域为 D ，如果对 D 内的任意一个 x ，都有xD ，且 fxfx ，则这个函数叫奇函数。（如果已知函数是奇函数，当函数的定义域中有0 时，我们可以得出00f）设函数 yg x 的定义域为 D ，如果对 D 内的任意一个 x，都有xD ，若 gxg x ，则这个函数叫偶函数。从定义我们可以看出，讨论一个函数的奇、偶性应先对函数的定义域进行判断，看其定义域是否关于原点对称。也就是说当x在其定义域内时，x也应在其定义域内有意义。图像特征如果一个函数是奇函数这个函数的图象关

16、于坐标原点对称。如果一个函数是偶函数这个函数的图象关于y 轴对称。复合函数的奇偶性：同偶异奇 。对概念的理解：(1) 必要条件：定义域关于原点成中心对称。 (2)(xf与)(xf的关系：当)()(xfxf或0)()(xfxf或1)()(xfxf时为偶函数；当)()(xfxf或0)()(xfxf或1)()(xfxf时为奇函数。二、函数的奇偶性与图象间的关系：偶函数的图象关于y轴成轴对称，反之也成立；奇函数的图象关于原点成中心对称，反之也成立。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - 三、关于函数奇偶性的几个结论：若)(xf是奇函数且在0 x处有意义，则(0)0f偶函数偶函数 =偶函数；奇函数奇函数 =奇函数；偶函数偶函数 =偶函数；奇函数奇函数=偶函数；偶函数奇函数 =奇函数奇函数在对称的单调区间内有相同的 单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的 单调性 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -