2022年不等式的证明及著名不等式.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载不等式的证明及闻名不等式要点梳理：1基本不等式1 定理：假如 a, bR,那么 a 2b 22ab,当且仅当 ab 时,等号成立ab2 定理 基本不等式 ：假如 a,b0,那么 2 _ ab,当且仅当 _时,等号成立也可以表述为：两个 _的算术平均 _它们的几何平均3 利用基本不等式求最值：对两个正实数 x,y,假如它们的和 S 是定值,就当且仅当 _时,它们的积 P 取得最 _值；假如它们的积 P 是定值,就当且仅当 _时,它们的和 S 取得最 _值2三个正数的算术几何平均不等式1 定理

2、假如 a, b,c 均为正数,那么 abc3 _3 abc,当且仅当 _时,等号成立即三个正数的算术平均 _它们的几何平均2 基本不等式的推广对于n 个正数a1, a2, , an,它们的算术平均_ 它们的几何平均,即a1a2 ann_ n a1a2 an,当且仅当 _时,等号成立3柯西不等式1 设 a,b,c,d 均为实数,就 a 2 b 2c 2d 2acbd 2,当且仅当 adbc 时等号成立2 设 a1,a2,a3, , an,b1,b2,b3, , bn是实数,就 a 2 1a 2 2 a 2nb 2 1b 2 2 b 2na1b1a2b2 anbn 2,当且仅当 bi0i 1,2,

3、 , n或存在一个数 k,使得 aikbii1,2, , n时,等号成立3 柯西不等式的向量形式：设, 是两个向量,就| |,当且仅当 是零向量,或存在实数 k,使 k 时,等号成立4证明不等式的方法1 比较法：求差比较法知道 ab. ab0,ab. abb,只要证明 _即可,这种方法称为求差比由 ab0. a b1 且 a0,b0,因此当 a0,b0 时要证明 ab,只要证明 _即可,这种方法称细心整理归纳 精选学习资料 第 1 页,共 10 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - -

4、 - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载为求商比较法2 分析法 从待证不等式动身,逐步寻求使它成立的 _,直到将待证不等式归结为一个已成立的不等 式已知条件、定理等 这种证法称为分析法,即“ 执果索因” 的证明方法3 综合法 从已知条件动身,利用不等式的有关性质或定理,经过推理论证,推导出所要证明的不等式成立,即“ 由因寻果” 的方法,这种证明不等式的方法称为综合法4 反证法的证明步骤 第一步：作出与所证不等式 _的假设；其次步：从条件和假设动身,应用正确的推理方法,推出冲突的结论,否定假设,从而证明原不等 式成立5 放缩法所谓放缩法, 即要把所证不等式的一边适当地_,以利于化简

5、, 并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显,从而得到欲证不等式成立6 数学归纳法设 Pn 是一个与自然数相关的命题集合,假如：1证明起始命题P1或 P0成立； 2在假设 Pk成立的前提下,推出Pk1 也成立,那么可以肯定 Pn对一切自然数成立1已知 a0,b1 b 2,就 a,b 的大小关系为 _2已知 a、 b、m 均为正数,且 a0,b0,就 Plg1 ab,Q2lg1 a lg1b 的大小关系为 _5设 a、b、c 是正实数,且 ab c9,就 a2 b2 c的最小值为 _. 题型一 柯西不等式的应用细心整理归纳 精选学习资料 例 1已知 3x22y26,求证： 2xy11. 第 2

6、页,共 10 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载思维升华 使用柯西不等式时,关键是将已知条件通过配凑,转化为符合柯西不等式条件的式子,二维形式的柯西不等式 a 2b 2c 2d 2acbd 2,当且仅当 adbc 时等号成立跟踪训练 如 3x4y2,就 x 2y 2 的最小值为 _题型二 用综合法或分析法证明不等式例 2 已知 a,b,c0, ,且 abc1,求证： 11 a1 1 b1 1 c18；2 abc3. 思维升华

7、用综合法证明不等式是“ 由因导果 ” ,分析法证明不等式是“ 执果索因 ” ,它们是两种思路截然相反的证明方法综合法往往是分析法的逆过程,表述简洁、条理清晰,所以在实际应用时,往往用分析法找思路,用综合法写步骤,由此可见,分析法与综合法相互转化,相互渗透,互为前提,充分利用这一辩证关系,可以增加解题思路,开阔视野设 a,b,c0,且 ab bcca1. 求证： 1abc3；2 a bcb acc ab3abc 第 3 页,共 10 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - -

8、- - - - - - - - - - - - -题型三放缩法或数学归纳法学习必备欢迎下载例 3如 nN*,Sn1 22 3 n n1 ,求证：n n 1 2Sn n1 22. 思维升华1 与正整数n 有关的不等式证明问题,假如用常规方法有困难,可以考虑利用数学归纳法来证明在利用数学归纳法证明不等式时,在其次步骤中,要留意利用归纳假设同时,这一步骤往往会涉及分析法、放缩法等综合方法此题可用数学归纳法进行证明,但较麻烦2 放缩法证明不等式,就是利用不等式的传递性证明不等关系常见的放缩变换有1 k 21,1k2.上面不等式中 k1kN*,k1. k k1kk 第 4 页,共 10 页 求证：3 2

9、1 n111 2 21 3 2 1 n 221 nn2,nN细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载利用算术 几何平均不等式求最值典例： 5 分已知 a,b,c 均为正数,就a 2b 2c 2 1 a1 b12 的最小值为 _方法与技巧1不等式的证明方法敏捷,要留意体会,要依据详细情形挑选证明方法2柯西不等式的证明有多种方法,如数学归纳法,教材中的参数配方法 或判别式法 等,参数配方法在解决其它问题方面应用比

10、较广泛柯西不等式的应用比较广泛,常见的有证明不等式,求函数最值,解方程等应用时,通过拆常数,重新排序、添项,转变结构等手段转变题设条件,以利于应用柯西不等式失误与防范1利用基本不等式必需要找准“ 对应点 ”,明确 “ 类比对象 ” ,使其符合几个闻名不等式的特点2留意检验等号成立的条件,特殊是多次使用不等式时,必需使等号同时成立 . A 组 专项基础训练1 11如 a b|b|； ab2； a b 2ab. 其中正确选项 _2如 T1mn 2s, T2s m n 2mn,就当 s,m,nR 时, T1 与 T2 的大小为 _ 第 5 页,共 10 页 - - - - - - - - - 3设

11、0x0,y0,Mxy, N2xyxy,就 M、N 的大小关系为 _2 y2x细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -6如 a,bR,且 a b,M a学习必备欢迎下载b a,Nab,就 M 、N 的大小关系为 _b7如 a,b,c0, ,且 ab c1,就 abc的最大值为 _8已知 a, b,c 为正实数,且 a2b3c9,就 3a2bc的最大值为 _9设 ab2,b0,就当 a_时,2|a|a| b取得最小值10设a0, b0,就以下不等式ab 2ab ab,

12、 a|ab| b； a2b24ab3b2； ab 2 ab2中恒成立的序号是_B 组专项才能提升1已知 x0,y0,且1 x9y1,就 xy 的最小值为 _2函数 yx 213x在 0,1 3上的最大值是 _3已知 a, b,m,n 均为正数,且ab1,mn2,就 ambnbman的最小值为 _4已知 a, b 为实数,且a0,b0. 第 6 页,共 10 页 - - - - - - - - - 就 ab1a21 b 1 2 的最小值为 _a5Pxx1yy1z z1x0,y0,z0与 3 的大小关系是 _6已知 x 22y2 3z218 17,就 3x2yz 的最小值为 _ 7设 a,b,c

13、都是正数,那么三个数ab,b1 c, c1 a_.填序号 都不大于2；都不小于2；至少有一个大于2；至少有一个不小于2. 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载答案基础学问自主学习要点梳理12 a b 正数 不小于 即大于或等于 3 xy 大 xy 小21 a bc 不小于 2不小于a1a2 ana41 ab0 b1 2充分条件 4相反5 放大或缩小夯基释疑1ab 2M N 解析MNa bambmm ab0,即 Mbc 解析分子有理化得a12,

14、b15,c16abc. 3674PQ 解析1 2lg1 alg1blg1a1b . 1a1b1abab12 abab1ab 2,1a 1b 1ab, lg1 ablg1a 1b 1 2lg1 a lg1 b ,即 lg1 ab1 2lg1 a lg1 bPQ. 5 2 解析a b ca2 b2 c a2 b 2 c 2 2 a2 2 c 2a2 ab2 bc22 18. c2 a2 b2 c2. 2 a2 b2 c的最小值为2. 题型分类深度剖析例 1证明由于 2xy2 33x12y,11,2x y11. 解得2由柯西不等式 a1b1a2b2 2a2 1a2 22b 1b2 2得2xy2 2

15、3 2 1 223 x 2 2y2 3 1 2 611 6 611,|2xy|跟踪训练143x 4y2,25解析由柯西不等式 3242 x2y23x4y2, 得 25x2y24,所以 x2y2 4 25. 不等式 中当且仅当3 y 4时等号成立,x2 y 2 取得最小值,由方程组x 3y 4,x6 25,因此当 x6 25,y 8 25时, x2y2取得最小值,最小值为4 25. 第 7 页,共 10 页 y8 25.例 2证明1a,b, c0, , ab2ab,b c2bc,ca2ca,细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

16、 - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -1 a1 1 b1 1 c 1学习必备欢迎下载8. bc ac ab abc2 bc2 ac 2 ab abc2 a,b,c0, , ab2 ab,b c2 bc,ca2 ca,2a bc2 ab2 bc 2 ca,两边同加 abc 得 3abc abc 2 ab2 bc2 ca abc 2. 又 abc1, abc 23,abc3. 跟踪训练 2 证明 1要证 abc3,由于 a,b, c0,因此只需证明 abc 2 3. 即证： a 2b 2c 22abbcca3,而 abbcca1,故

17、需证明： a 2b 2c 22abbcca 3abbcca即证： a 2b 2c 2abbcca. 而这可以由 abbccaa 2b2 2b 2c2 2c 2a2 2a 2b 2c 2 当且仅当 abc 时等号成立 证得 原不等式成立a b c ab c2 bcacababc . 在 1中已证 abc3. 因此要证原不等式成立,只需证明 1abc.即证 a bcb acc ab 1,abc即证 a bcb acc ababbc ca. ab ac abbc bcac而 a bcabac2,b ac2,c ab2 .a bcb ac c abab bcca abc3时等号成立 原不等式成立3n

18、n1例 3 证明nn1n 2,Sn1 2 n2 . 又 n n 1 nn122n12n1 2, Sn112212 n12n n12n 2n 22n2 n12 2.n n12 Snk 2kk1,k2,k k1 1 1 k 2k k1 1,即1 kk1 1 1 k 2k1 11 k,分别令 k2,3, ,n 得1 21 31 2 211 2；31 41 3 221 3；1 n11 n 211 n；n1n1将上述不等式相加得：细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页,共 10 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料

19、 - - - - - - - - - - - - - - -21 31 31 4 1 n1学习必备欢迎下载11 n, 1 2 213 2 1n 211 21 2 1 3 n1n1即1 21 n11 2 21 3 2 1 n 21n,3 2111 2 21 3 2 1 n 2a 2,a0,b0 得 ba. 又 c b11x1 1x 2x 20 得 cb,知 c 最大1x 1x 1x44 解析 11 x11 y1 1 xy 24. x y x y xy5M M. 2x 2y 2xy 2xy 2xy6MN 解析a b,ab2 a,ba2 b,b aabba2 a2 b, ab ab.即 MN. b

20、a b a7. 3 解析 abc 2 1a1b1c 21 21 21 2abc3. 当且仅当 abc1 3时,等号成立 abc 23.故 abc的最大值为 3. 8. 39 解析 3a2bc3 a2b13 3c3 11 3 a 2b3c 39,故最大值为 39. 9 2 解析 由于 a b2,所以1 2|a|a| bab4|a|a| b a 4|a| b 4|a|a| b,由于 b0,|a|0,所b |a| b |a| 1 |a|以 4|a|b2 4|a|b1,因此当 a0 时,2|a|b的最小值b |a|是 14154；当 a0 时,2|a|1 |a|b的最小值是14134.故 2|a|1

21、|a|b的最小值为 34,此时 4|a|b,即a0,b0,ab 2 ab.ab2ab.故不恒成立ab 中 ab|ab|恒成立 中 a 2b 24ab3b 2a 24ab4b 2a 2b 2 0,故 不恒成立 中由 ab0 及 ab2 ab2 22 恒成立,因此只有 正确B 组细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页,共 10 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载116 解析x0,y0,1 x9 y1, xyxy 1 x9yyx9x

22、y 106 1016,当且仅当 yx9xy时,上式等号成立又1 x9 y1,x 4,y12 时, xy min16. 2. 243 4解析 由 yx 213x4932x32x13x49 2x3 2x13x3 34 243. 32 解析 由柯西不等式 a 2b 2c 2d 2ac bd 2,当且仅当 adbc 时“ ” 成立,得 ambnbman amanbm bn 2mnab 22. 349 解析 由于 a0,b0,所以 ab1 a3 a b1 a33 b0,同理可证： a 21 b 1 23 3 1b0. 由 及不等式的性质得ab1 a a 21 b 1 2 33 b 3 3 1b9. x

23、y z1115P3 解析P31110,P3. x1 y 1 z 1 x 1 y1 z16 2 3 解析x 22y 23z 23 2 2 213 23x2y23z13 2 3x2yz 2,当且仅当 x3y9z 时,等号成立3x2y z 212,即 2 33x2yz2 3. 当 x9 3 17,y 3 17,z317时,33x2yz 2 3,最小值为 2 3. 7 解析a1 bb1 cc1 a a1 a b1 b c1 c2226.a1 b,b1 c,1ca三数之和不小于 6,即三个数中至少有一个不小于 2. 细心整理归纳 精选学习资料 第 10 页,共 10 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -