2022年不等式中恒成立问题的解法研究完美.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载不等式恒成立问题中心摘要 近几年在数学高考试题中常常遇到不等式恒成立问题；在 05年高考辽宁、湖北及天津等省均显现此类题型；本文依据高考题及高考模拟题总结了四种 常见的解决不等式恒成立问题的方法；法一：转换主元法；适用于一次型函数；法二：化归二次函数法；适用于二次型函数；法三：分别参数法；适用于一般初等函数；法四：数型结合法；中文关键词“ 不等式”, “ 恒成立”在近些年的数学高考题及高考模拟题中常常显现恒成立问题,这样的题 目一般综合性强,可考查函数、数列、不等式及导数等诸多方面的学问；同

2、 时,培育同学分析问题、解决问题、综合驾驭学问的才能；下面结合例题浅 谈恒成立问题的常见解法；1 转换主元法 确定题目中的主元,化归成初等函数求解；此方法通常化为一次函数；例 1：如不等式2x1mx 2-1对满意 2m2 的全部 m 都成立, 求 x的取值范畴；解：原不等式化为 x 21m2x 10 记 fm= x 21m2x1 2m2 依据题意有：f-2-2x2-1-2x-10f22x2-1-2x-103即：2x22x-3022x2x-101解之：得 x 的取值范畴为127x22 化归二次函数法 依据题目要求,构造二次函数；结合二次函数实根分布等相关学问,求 出参数取值范畴；细心整理归纳 精

3、选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 7 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备欢迎下载xa1 对例 2：在 R 上定义运算：xy1 y 如不等式 xa任意实数 x成立,就 A 1a1 B0a2 C1a3D 223a122解：由题意可知 x-a1-x+a 0 对 x R 恒成立记 fx=x 2-x-a 2+a+1 就应满意 -1 2-4-a 2+a+10 化简得 4a 2-4a-30 对满意 0m 的取值范畴；解：设 fx=x 2-2mx+2m+1

4、x 1 的全部实数 x 都成立,求此题等价于函数 fx在 0x1 上的最小值大于0,求 m 的取值范畴；1当 m0 时, fx在0,1上是增函数,因此解m02m10得1m1 时, fx在0,1 上是减函数,因此解m120得 m1f 1 f1是最小值综合 123 得 m 12注：当化归为二次函数后,自变量是实数集的子集时,应用二次函数知识解决有时较繁琐；此型题目有时也可转化为后面的法 3 求解；3 分别参数法在题目中分别出参数, 化成 afx （afmaxx 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 7 页 - - - - - - -

5、 - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载（aan-1 恒成立,求 a0的取值范畴；解：依题意：1 3 n+-1 n-1 2 n+-1 n2 na0 1 3 n-1+-1 n-2 2 n-1+-15 5 n-1 2 n-1a0化简,得 -1 n32 n-1 a0-2 3 n-1+ 3-1 n2 n-15 51当 n=2k-1 k N *时 a 0 2 3 n-1+D 15 2设 g1n= 2 3 n-1+ 115 2 5g1n 在 n N * 时且 n=2k-1,k N *时是增函数g1n 的最小值为 g11 13a0-2

6、 3 n-1+ 115 2 5细心整理归纳 精选学习资料 第 3 页,共 7 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载设 g2n=- 2 3 n-1+ 1 15 2 5g2n 在 n N *且 n=2k,k N *时是减函数g2n 的最大值为 g22 0a00 综上可知 0a00 且 a1, 当 x-1 ,1 时,不等式 x2-ax1 恒成立,就 a 2的取值范畴11,122解析：不等式 x 2-ax x2-1a1 或 10 恒成立

7、,满意题意；（2）m10时,只需m10128 m10,所以,m1 9, ；m三、利用函数的最值（或值域）（1）f x m 对任意 x 都成立 f x min m；（2）f x m 对任意 x 都成立 m f x max；简洁计作：“ 大的大于最大的,小的小于最小的”；由此看出,本类问题实质上是一类求函数的最值问题；例 3：在ABC 中,已知fB4sinBsin24Bcos2B ,且|fBm|22恒成立,求实数m 的范畴；解析：由fB4sinBsin24Bcos2B2sinB,10B,sinB0 1,22fBm2,即mfB2fB1 3, ,|fBm|2恒成立,mfB 2恒成立,m ,13asin

8、xcosx,x,0恒成立的实数 a 的范畴；例 4：（1）求使不等式cosx2sinx4,x44,3,明显函数解析：由于函asinx4有最大值2 ,a2；假如把上题略微改一点,那么答案又如何呢？请看下题：（2）求使不等式asinxcosx,x40 ,2恒成立的实数 a 的范畴； 第 6 页,共 7 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载解析：我们第一要仔细对比上面两个例题的区分,主要在于自变量的取值范畴

9、的变化, 这样使得ysinxcosx的最大值取不到2 ,即 a 取2 也满足条件,所以a2；所以,我们对这类题要留意看看函数能否取得最值,由于这直接关系到 最终所求参数 a 的取值；利用这种方法时,一般要求把参数单独放在一侧,所以也叫分别参数法；四：数形结合法对一些不能把数放在一侧的,可以利用对应函数的图象法求解；例 5：已知a0 ,a,1fxx2ax,当x1,1 时,有fx12恒成立,求实数 a 的取值范畴；解析：由 f x x 2a x 12,得 x 2 12 a个 函 数 的 图 象 , 如 果 两 个 函 数 分 别 在x,在同始终角坐标系中做出两x=-1 和 x=1 处 相 交 ,

10、就 由1 2 1 a及 1 2 1 a 1得 到 a 分 别 等 于 2 和 0.5 , 并 作 出 函 数2 2y 2 及 xy 1 x 的图象, 所以,要想使函数 x 2 1a x 在区间 y x 2 1 在2 2 2区间 x 1,1 对应图象的上面即可；当 a 1 时 , 只有 a 2 才能保证,而0 a 1 时,只有 a 1 才可以,所以 a 1 1, ,1 2 ；x 1,1 中恒成立,2 2只须 y 2 在区间 xx 1,1 对应的图象在由此可以看出,对于参数不能单独放在一侧的,可以利用函数图象来解；利用函数图象解题时,思路是从边界处（从相等处）开头形成的；练习题： 1、对任意实数 x,不等式 a sin x b cos x c 0 a , b , c R 恒成立的充要条件是 _； c a 2b 22、已知不等式：1 1 . 1 1 log a a 1 2 对一切大于 1n 1 n 2 n n 12 3的自然数 n 恒成立,求实数 a 的范畴； a ,1 1 5 2细心整理归纳 精选学习资料 第 7 页,共 7 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -