2022年三角函数知识点梳理.docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师总结 优秀学问点三角函数学问点梳理 1、终边相同的角 全部与角 终边相同的角,连同角 在内,可构成一个集合 _或_,前者 用角度制表示,后者 用弧度制表示；2、弧长公式与扇形面积公式 l_,即弧长等于 _；S 扇 _；3、三角函数的定义 任意角的三角函数定义：设 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 Px,y,那么 sin ,即 sin y； _叫做 的余弦,记作 cos ,即 _叫做 的正弦,记作 y cos x； _叫做 的正切,记作 tan ,即 tan x x 0；1三角函数值的符号 各象限的三角

2、函数值的符号,三角函数正值歌：一全正,二正弦,三正切,四余弦；2三角函数线 下图中有向线段 MP,OM ,AT 分别表示 _,_和_；4、特别角的三角函数值角030456090120135150180270360角 的弧度数sin细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 9 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师总结 优秀学问点cos tan sin15 62,sin75 62,tan15 23, tan75 23,由余角公式44易求 15

3、, 75 的余弦值和余切值；5同角三角函数的基本关系 1平方关系： _. 2商数关系： _. 变形有： _, _, _. 6.三角函数的诱导公式公式一二 三四五六角2k kZ 22正弦余弦 正切口诀函数名不变,符号看象限函数名转变,符号看象限7诱导公式的作用是把任意角的三角函数转化为锐角三角函数,一般步骤为：拆角上述过程表达了化归的思想方法；8“ 五点法” 作图细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 9 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -1

4、在确定正弦函数名师总结优秀学问点_,ysinx 在0,2 上的图象外形时, 起关键作用的五个点是_,_,_,_. 2在确定余弦函数ycosx 在0,2 上的图象外形时, 起关键作用的五个点是_,_,_,_,_. 9三角函数的图象和性质函数y sinx ycosx ytanx 性质定义域_ _ _ 图象值域_ _ R 对称轴： _；对称轴： _；无对称轴；对称性最小正周期对称中心： _ 对称中心： _ 对称中心： _ _ _ _ 单调增区间 _；单调增区间 _；单调性 单调增区间 _ 单调减区间 _ 单调减区间 _ 奇偶性_ _ _ 11、函数 yAcos x 的最小正周期为 为_yAtan x

5、 的最小正周期12.用五点法画 y Asin x 一个周期内的简图用五点法画 yAsin x 一个周期内的简图时,要找五个特点点如下表所示 x细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 9 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师总结 优秀学问点x yAsin x 0 A 0 A 0 13.图象变换：路径：先向左 0或向右 0或向右 0平移 _个单位长度,得到函数ysin x 的图象； 最终把曲线上各点的纵坐标变为原先的 的曲线就是 yAsin

6、x 的图象_倍横坐标不变 ,这时14函数 yAcos x 的最小正周期为 _yAtan x 的最小正周期为_15.（1）两角和差公式sinsincoscossin；coscoscossinsintantantan；1tantan（2）倍角公式sin 22sincos；2cos2112sin2； 第 4 页,共 9 页 cos22 cossin2tan212 tan；2 tan细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师总结 优

7、秀学问点（3）降幂公式sin21cos2；cos21cos2；2216、解三角形 1）正弦定理在一个三角形中, 各边的长和它所对角的正弦的比相等,即aAbBcC2R（ Rsinsinsin为ABC 外接圆的半径） ； 2）正弦定理常见变形（1）asinA,bsinB,csinC；C ；,sinBb,sinCc；bsinBcsinCasinAa b csinAsinBsinC ；asinBbsinA ,csinBbsinC ,csinAasinaAbBcCsinAabBcsinC；sinsinsinsinAa（2）a2RsinA ,b2RsinB ,c2RsinC ,sin2R2R2R（ R为三

8、角形 ABC外接圆的半径）（3）三角形的面积公式：S11底高11 2r aAbc（r是ABC内切圆的半径）2absinCbcsin1 2acsinBabc（ R为ABC外接圆的半径） ；224R 3 正弦定理的应用（1）已知两角和一边,求其他两边和另一角；（2）已知两边及其中一边的对角,求另一边和其他两角； 4 三角形解的个数问题图形关系式解的个数细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页,共 9 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -AaCAbC名师

9、总结优秀学问点一解aa=bsinAbBabBCA 为锐角AbaabsinAab两解B1B2CA 为钝角或直CAaAbaCaBabsinA无解BbBbab一解A角在CAaBCaBab无解AbbAABC 中,已知 a,b 和角 A,以点 C为圆心,以边长a 为半径画弧,此弧与除去顶点的射线 AB 的交点的个数即为三角形解的个数,解的个数见下表： 5 余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们的夹角的条弦的积的两倍,即a2b2c22bccosA ,2 b2a2c22 accosB ,c2a2Cb2a2abcosC ；余弦定理的变形：cosAb2c2a,cosBa2c2b2,c

10、os2b2c2；2 bc2 ac2ab点评（1）如C90,就c2a22 b ,这就是勾股定理,由此可知,余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例；（2）由定理知：如A 为锐角,就 cosA0,b2bc2aa20,即b2c2a2；如 A 为钝 第 6 页,共 9 页 角,就 cosA0,从而2 bc2a20,即b2c22 a ；如A 为直角,就 cosA0,b2c22 a ；上述结论在解客观题时使用较便利；2 A2c22 accosB相加,得（3）将a2b2c 22cboc与 s细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

11、- - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -2c22bccosA2accosB0名师总结优秀学问点A ,这就是三角形中的射影定理；,即cacosBbcos 6 余弦定理的应用（1）已知三边,求三角；（2）已知两边及其夹角,求第三边和其他两角；知能解读：解三角形 7 已知一边和两角（设为b , A, B ）,解三角形的步骤（1）C180AB ；（2）由正弦定理得absinAsinB（3）由正弦定理得cbsinC；sinB 8 已知两边及其夹角（设为a , b , C ）,解三角形的步骤（1）由余弦定理得c22 ab22 abcos C ；

12、（2）由正弦定理求边a , b 中较小边所对的锐角；（3）利用内角和定理求第三个角； 9 已知两边及其中一边的对角（设为（1）先判定解的情形；a , b , A ）,解三角形的步骤（2）由正弦定理得sinBbsinA,求 B ；a（3）由内角和定理得C180AB ,求 C ；（4）由正弦定理或余弦定理求边c ； 10 已知三边 a , b , c ,解三角形的步骤（1）由余弦定理求最大边所对的角；（2）由正弦定理求其余两个锐角；17、实际应用题1 坡角：坡面与水平面的夹角,如图；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页,共 9 页 -

13、- - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师总结优秀学问点hi =h l2 坡比： 坡面的铅直高度与水平宽度之比；lihhtan（ i 为坡比,为坡角）,如图；i =即lhll3 仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水 平视线上方时叫仰角,目标视线在水平视线下方时叫俯角；如图；目标视线铅仰角水平视线垂俯角线目标视线4 方位角：从指北方向线顺时针旋转到目标方向线所成的水平角（如图）；北A40PB24090 的水平角；5 方向角：指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于6 基线：在

14、测量上,依据测量需要适当确定的线段叫做基线；在测量过程中, 要依据实际需要选取合适的基线长度,使测量具有较高的精确度；一般来说,基线越长,测量的精确度越高；18、在ABC 中,常用结论： 第 8 页,共 9 页 （1）ABC；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（2） sinA2BcosC, cosA2名师总结C优秀学问点Bsin；22（3） sinABsinC , cosABAcos C ；C ； 第 9 页,共 9 页 （4） sin 2A2 Bsin2 C , cos 22 Bcos2（5）如 AB,就sinAsinB；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -