2022年二次函数动轴与动区间问题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载二次函数在闭区间上的最值一、 学问要点：一元二次函数的区间最值问题,核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的争论；一般分为：对称轴在区间的左边,中间,右边三种情形 . 设 f ax 2 bx c a 0 ,求 f 在 x m,n 上的最大值与最小值；2分析：将 f x 配方,得顶点为 b,4 ac b、对称轴为 x b2 a 4 a 2 a当a 0时,它的图象是开口向上的抛物线,数形结合可得在 m ,n上 f 的最值：2（ 1 ） 当 bm,n 时 , f 的 最 小 值 是 f b 4 ac b, 的 最 大 值 是2 a

2、 2 a 4 af m 、f n 中的较大者；（2）当 b m,n 时2 a如 bm,由 f 在 m,n 上是增函数就 f 的最小值是 f m ,最大值是 f 2 a如 n b,由 f 在 m,n 上是减函数就 f 的最大值是 f m ,最小值是 f n 2 a当a 0时,可类比得结论；二、例题分析归类：（一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间,求其最值； 对称轴与定义域区间的相互位置关系的争论往往成为解决这类问题的关键；此类问题包括以下四种情形：（1）轴定,区间定；（2）轴定,区间变；（ 3）轴变,区间定；（4）轴变,区间变；1. 轴定区间定二次函数是给定的,给出的定义域区间也是固定的,我

3、们称这种情形是“ 定二次函数在定区间上的最值”；例 1. 函数 y x 24 x 2 在区间 0,3 上的最大值是 _,最小值是 _；解：函数 y x 24 x 2 x 2 22 是定义在区间 0,3上的二次函数, 其对称轴方程是 x 2 ,顶点坐标为（2, 2）,且其图象开口向下,明显其顶点横坐标在0,3上,如图 1 所示；函数的最大值为 f 2 ,最小值为 f 2 ；图 1 名师归纳总结 练习 . 已知 2x23 x ,求函数f x x2x1 的最值；第 1 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：由已知 2x23 x ,可得 0x精品

4、资料欢迎下载0,3上的二次函数；3,即函数 f 是定义在区间22将二次函数配方得f x x123,其对称轴方程x1 2,顶点坐标1,3,且24240,3内,如图2 所示；函数f x 的最小值为图象开口向上；明显其顶点横坐标不在区间2f 1 ,最大值为f319；24图 2 2、轴定区间变二次函数是确定的,但它的定义域区间是随参数而变化的,我们称这种情形是“ 定函数在动区间上的最值”；x1 21定义在区间t,t1 上,求 f 的最小值；例 2. 假如函数f x 解：函数 f x1 21,其对称轴方程为x1,顶点坐标为（1,1）,图象开口向上；图 1 图 2 图 3 名师归纳总结 如图 1 所示,如

5、顶点横坐标在区间t,t1 左侧时,有 1t ,此时,当xt 时,函数取第 2 页,共 8 页得最小值 f minf t t1 21；1 上时,有 t1t1,即 0t1；当 x1如图 2 所示,如顶点横坐标在区间t,t时,函数取得最小值f minf 1；1 右侧时, 有 t11 ,即 t0 ；当xt1 时,如图 3 所示,如顶点横坐标在区间t,t函数取得最小值f x minf t1 t21t1 2,1t1综上争论,fxmin,10t1t21t0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - f x 精品资料欢迎下载f x 的最大值例 3. 已知f x x22x3,当x

6、t,t1tR时,求解：由已知可求对称轴为x1f t t22 t3minf t（1）当 tt2 1 t时,3,f x maxf t1t22（2）当t t1,即0 1时,依据对称性,如tt11即0 1时,f x max2222如tt11即1t 1时,f x maxf t1t2222（3）当t11 即t0时,f x maxf t t22t3综上,fx maxt2,2t112t22t3 , t2观看前两题的解法,为什么最值有时候分两种情形争论,而有时候又分三种情形争论呢？这些问题其实认真摸索就很简单解决；不难观看：二次函数在闭区间上的的最值总是在闭区间 的端点或二次函数的顶点取到；第一个例题中,这个二

7、次函数是开口向上的,在闭区间上,它 的最小值在区间的两个端点或二次函数的顶点都有可能取到,有三种可能,所以分三种情形讨 论；而它的最大值不行能是二次函数的顶点,只可能是闭区间的两个端点,哪个端点距离对称 轴远就在哪个端点取到,当然也就依据区间中点与左右端点的远近分两种情形争论；依据这个 懂得,不难说明其次个例题为什么这样争论；对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：当a0时fx maxffm ,b1mn 如图 1 fx m i nfn,bn 如图3 2a2a2fb,mbn 如图4 fn ,b1mn 如图 2 2 a2 a当 a0 时fx max2 a2f x minfm ,bm 如图 5 2

8、a n,bn 如图 6 1 mn 如图 9 f m ,b2 afb,mbn 如图 7 2 a2f n ,b1 mn 如图 10 2a2 af m ,bm 如图 8 2 a22 a名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载3、轴变区间定二次函数随着参数的变化而变化,即其图象是运动的,但定义域区间是固定的,我们称这种情形是“ 动二次函数在定区间上的最值”；例 4. 已知 x 21,且 a 2 0 ,求函数 f x 2ax 3 的最值；解：由已知有 1 x 1,a 2,于是函数 f 是定义在区间 1,1 上的二次

9、函数,2 2将 f 配方得：f x x a 3 a2 42二次函数 f x 的对称轴方程是 x a 顶点坐标为 a,3 a,图象开口向上2 2 4由 a 2 可得 x a1 ,明显其顶点横坐标在区间 1,1 的左侧或左端点上；2函数的最小值是 f 1 4 a,最大值是 f 4 a；图 3 名师归纳总结 例 5. 1 求f x x22ax1 在区间 -1,2 上的最大值；1a1,a1,a1即第 4 页,共 8 页2 求函数yxxa在x1,1上的最大值；解： 1二次函数的对称轴方程为xa ,当a1即a1时,f x maxf 2 4a5 ；22当a1即a1时,f x maxf 12a2 ；22综上所

10、述：f x max2a2,a1；24a5,a122函数yxa2a2图象的对称轴方程为xa,应分242222- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2a精品资料欢迎下载2,a2和a2这三种情形争论,以下三图分别为（1）a2；由图可知f x maxf 1（2）2a2 ；由图可知f x maxfa2（3）a2时；由图可知f x maxf1f1,a2a1,a2y最大fa 2,2a2；即y最大a2,2a24f1,a2a1a24. 轴变区间变二次函数是含参数的函数,而定义域区间也是变化的,我们称这种情形是“ 动二次函数在动区间上的最值”；ux322 y 的最小值；例 6

11、. 已知y24 a xaa0,求解：将y24 a xa 代入 u 中,得,即时,即时,（二）、逆向型是指已知二次函数在某区间上的最值,求函数或区间中参数的取值；名师归纳总结 例 7.已知函数f x ax22 ax1 在区间 3,2 上的最大值为4,求实数 a 的值；第 5 页,共 8 页解：f x a x2 11a x 3,2（1）如a0,f x 1,不符合题意；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）如a0,就f x maxf28 a精品资料欢迎下载a31,由 8 a14,得8（3）如 a 0 时,就 f x max f 1 1 a ,由 1 a 4

12、,得 a 3综上知 a 3或 a 382例 8. 已知函数 f x xx 在区间 m n 上的最小值是 3 m 最大值是 3 n ,求 m , n 的值；2解法 1：争论对称轴 中 1 与 m , m n , n的位置关系；2f x max f n 3 n如,就,解得f x min f m 3 m如 m n 1 n ,就 f x max f 1 3 n,无解2 f x min f m 3 m如 m 1 m n,就 f x max f 1 3 n,无解2 f x min f n 3 mf x max f m 3 n如,就,无解f x min f n 3 m综上,m 4, n 0解析 2：由 f

13、x 1 x 1 2 1,知 3 n 1, n 1,就 m n , ,1,2 2 2 6又在 m n 上当 x 增大时 f x 也增大所以 f x max f n 3 n,解得 m 4, n 0f x min f m 3 m评注：解法 2 利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值,缩小了 m , n 的取值范畴,避开了繁难的分类争论,解题过程简洁、明白；例 9. 已知二次函数 f x ax 2 2a 1x 1 在区间 3 ,2 上的最大值为 3,求实数 a的值；2这是一个逆向最值问题,如从求最值入手,需分 a 0 与 a 0两大类五种情形争论,过程繁琐不堪； 如留意到最大值总是在闭区间的端点或

14、抛物线的顶点处取到,因此先运算这些点的函数值,再检验其真假,过程就简明多了；详细解法为：名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - （1）令f 2a13,得a1精品资料欢迎下载2a2此时抛物线开口向下,对称轴方程为 x 2 ,且 2 3,2,故 1不合题意；2 2（2）令 f 2 3 ,得 a 12此时抛物线开口向上,闭区间的右端点距离对称轴较远,故 a 1符合题意；2（3）如 f 3 3,得 a 22 3此时抛物线开口向下,闭区间的右端点距离对称轴较远,故 a 2符合题意；3综上,a 1或 a 22 3解后反思：如函数图象的

15、开口方向、对称轴均不确定,且动区间所含参数与确定函数的参数一样,可采纳先斩后奏的方法,利用二次函数在闭区间上的最值只可能在区间端点、顶点处取得,不妨令之为最值,验证参数的资格,进行取舍,从而躲开繁难的分类争论,使解题过程简洁、明白；三、巩固训练21函数 y x x 1 在 1 1, 上的最小值和最大值分别是（）3 1 1 A 1 ,3 B ,3（C）,3 （D）, 34 2 422函数 y x 4 x 2 在区间 ,1 4 上的最小值是（） A 7 B 4 C 2 D 2 83函数 y 2 的最值为（）x 4 x 5 A 最大值为 8,最小值为 0 B 不存在最小值,最大值为 8（C）最小值为

16、 0, 不存在最大值 D 不存在最小值,也不存在最大值24如函数 y 2 x 4 x , x 0 4, 的取值范畴是 _ 2 35已知函数 f x ax 2 a 1 x 3 a0 在区间 ,2 上的最大值是 1,就实数 a 的2值为名师归纳总结 6假如实数x,y满意x2y21,那么1xy1xy有（）第 7 页,共 8 页A 最大值为1 , 最小值为1B 无最大值,最小值为324（C）最大值为1, 无最小值D 最大值为 1,最小值为347已知函数yx22x3在闭区间0 ,m 上有最大值3,最小值 2,就 m 的取值范畴是（）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - -

17、- 精品资料 欢迎下载A ,1 B 0 2, C ,1 2 D , 2 28如 x 0 , y 0 , x 2 y 1,那么 2 x 3 y 的最小值为 _ 2 2 2 29设 m R , x 1, x 2 是方程 x 2 mx 1 m 0 的两个实根,就 x 1 x 2 的最小值 _ 210设 f x x 4 x 4 , x t , t 1 t R , 求函数 f x 的最小值 g t 的解析式；11已知 f x x 2ax a,在区间 0 1, 上的最大值为 g a ,求 g a 的最小值；212.（2022 江苏卷）设 a 为实数,函数 f x 2 x 2 x a | x a .1如 f

18、 0 1,求 a 的取值范畴；2求 f x的最小值；3设函数 h x f x x , ,直接写出不需给出演算步骤 不等式 h x 1 的解集 .【解析】本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础学问,考查敏捷运用数形结合、分类争论的思想方法进行探究、分析与解决问题的综合才能；名师归纳总结 （1）如f01,就a a| 1a20a1f ,a0; 2a2,a001128a2第 8 页,共 8 页a1（2）当 xa时,f x 3 x22 axa2,f minfa,a02a2,a0当 xa 时,f x x22axa2,f x min33fa a02 a2,af a ,a02a2,a02a2,a010,综上f x min2 a2,a04a212a23（3）x ,时,h x 1得3x22axa2当a6或a6时,0,x ,；2232a20当6a6时, 0,得：xa32 a2xa2233xa争论得：当a2,6时,解集为 ,; 2232a2,当a6,2时,解集为 ,a32a2a3322当a2,2时,解集为a32a2,. 223- - - - - - -