2022年二次函数知识点及其应用的总结.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点二次函数学问点总结学问结构框图一、二次函数的概念形如 y ax 2bx c（a,b,c 是常数, a 0）的函数,叫做二次函数,其中 x ,是自变量, a、 、 分别是函数表达式的二次项系数,一次项系数和常数项；这里需要强调：和一元二次方程类似,二次项系数 a 0,而 b, 可以为零 X 可以取全体实数二、二次函数的一般表达式1、一般式：yaax2hbxc（ a , b , c 为常数 ,a0）；ab2；）其中hb,k4ac2、顶点式：yx2k（ a ,h ,k 为常数 ,a02a43、两根式：xx2其中a0,x x 2是y

2、=ax2bxc 与 轴交点的横坐标ya xx 1留意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非全部的二次函数都可以名师归纳总结 写成交点式, 只有抛物线与x 轴有交点, 即b24ac0时,抛物线的解析式才可以用第 1 页,共 6 页交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 三、二次函数yax2bx名师总结优秀学问点c 的图像性质 轴对称图形 1.2.当a0时,抛物线开口向上,对称轴为xb,顶点坐标为b,4ac2 b2a2 a4 a当xb时, y 随 x 的增大而减小；当xb时, y 随 x 的增大而增

3、大；2a2 a当xb时, y 有最小值4acb22 a4 a当a0时,抛物线开口向下,对称轴为xb,顶点坐标为b,4 ac4a2 b2 a2a当xb时, y 随 x 的增大而增大；当xb时, y 随 x 的增大而减小；2a2a当xb时, y 有最大值4 acab22a4四、二次函数的图像与各项系数之间的关系 1. 二次项系数 a2二次函数 y ax bx c中, a 作为二次项系数,明显 a 0 当 a 0 时,抛物线开口向上,a 的值越大,开口越小,反之 a 的值越小,开口越大； 当 a 0 时,抛物线开口向下,a 的值越小,开口越小,反之 a 的值越大,开口越大总结起来, a 打算了抛物线

4、开口的大小和方向,a 的正负打算开口方向,a 的大小打算开口的大小2. 一次项系数 b名师归纳总结 在二次项系数a 确定的前提下,b 打算了抛物线的对称轴第 2 页,共 6 页 在a0的前提下,当b0时,b0,即抛物线的对称轴在y 轴左侧；2a当b0时,b0,即抛物线的对称轴就是y 轴；2a当b0时,b0,即抛物线对称轴在y 轴的右侧2a 在a0的前提下,结论刚好与上述相反,即当b0时,b0,即抛物线的对称轴在y 轴右侧；2a当b0时,b0,即抛物线的对称轴就是y 轴；2a当b0时,b0,即抛物线对称轴在y 轴的左侧2a总结起来,在a 确定的前提下,b 打算了抛物线对称轴的位置- - - -

5、- - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3. 常数项 c名师总结优秀学问点 当c0时,抛物线与y 轴的交点在x 轴上方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； 当c0时,抛物线与y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0 ； 当c0时,抛物线与y 轴的交点在x 轴下方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负总之,只要总结起来,c 打算了抛物线与y 轴交点的位置a, , 都确定,那么这条抛物线就是唯独确定的五、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与ax2x 轴交点情形）：y0时的特别情形 . 一元二次方程ax2bxc0是二次函数ybxc 当

6、函数值图像与 x 轴的交点个数：当2 b4 ac0时,图像与x 轴交于两点A x 1,0,B x 2,0x 1yx 2,其中的x 1,x 2是一元二次方程ax2bxc0a0的两根0；x 1,x 2和的一半恰好是对称轴的横坐标. 当0 时,图像与x 轴只有一个交点； 当0时,图像与x 轴没有交点 . 1 当a0时,图像落在x 轴的上方,无论x 为任何实数,都有2当a0时,图像落在x 轴的下方,无论x 为任何实数,都有y02. 抛物线yax2bxc 的图像与 y 轴肯定相交,交点坐标为0 ,c ；3. 二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图像与x 轴的交点坐标,需转化为一元二次方程； 求二次函

7、数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；或者 依据函数特点确定自变量能使函数取得最大值的值,并将其带入到表达式中求出最值； 依据图象的位置判定二次函数yax2bxc 中 a ,b ,c 的符号, 或由二次函数中a ,b , c 的符号判定图象的位置,要数形结合；（ 4）二次函数与一次函数的交点,可通过联立方程求解,从而求出交点坐标；六、二次函数的几个特别的基本形式名师归纳总结 1. 二次函数基本形式：y2 ax 的性质：第 3 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点结论： a 的肯定值越大,抛物线的开

8、口越小；a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a0向上0,0y 轴x0时, y 随 x 的增大而增大；x0时,y 随x 的增大而减小；x0时, y 有最小值 0 a0向下0,0y 轴x0时, y 随 x 的增大而减小；x0时,y 随x 的增大而增大；x0时, y 有最大值 0 总结：3.yax2c 的性质：y=2 x2+2y=2 x2y=2 x2-4结论：上加下减；总结：名师归纳总结 a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质第 4 页,共 6 页a0向上0,cy 轴x0时, y 随 x 的增大而增大；x0时,y 随x 的增大而减小；x0时, y 有最小值 c - - - - - - -精选学习资料

9、- - - - - - - - - a0向下0,c名师总结优秀学问点y 轴x0时, y 随 x 的增大而减小；x0时,y 随x 的增大而增大；x0时, y 有最大值 c 4.ya xh2的性质：y=3x+42y=3x2y=3x-22y=-2x+32y=-2x2 y=-2x-32结论：左加右减；总结：a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a0向上h ,0X=h xh 时, y随 x 的增大而增大；xh 时, y随 x 的增大而减小；xh 时, y 有最小值 0 a0向下h ,0X=h xh 时, y随 x 的增大而减小；xh 时, y随 x 的增大而增大；xh 时, y 有最大值 0 4. ya

10、xh2k 的性质：y=2x-42y= 2x2y=2x-42 -3总结：名师归纳总结 a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质第 5 页,共 6 页a0向上h,kX=h xh 时, y随 x 的增大而增大；xh 时, y随 x 的增大而减小；xh时,y有最小值ka0向下h,kX=h xh 时, y随 x 的增大而减小；xh 时, y随 x 的增大而增大；xh 时, y 有最大值 k - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点七、二次函数图象的平移名师归纳总结 1. 平移步骤：a xh2k ,确定其顶点坐标h,k；第 6 页,共 6 页 将抛物线解析式转化成顶点式y 2. 平移规律“ 左加右减,上加下减”在原有函数的基础上“- - - - - - -