2022年二次根式基础专题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载二次根式学问梳理二次根式： 形如的式子叫二次根式,其中叫被开方数, 只有当是一个非负数时,才有意义二次根式的性质1. 非负性：a a 0 是一个非负数2、 a 2 a a 0 3. a 2| | a a 0 a a 0 4. 公式 a 2 | | a a 0 与 a 2 a a 0 的区分与联系a a 0 （1）a 2 表示求一个数的平方的算术根,a 的范畴是一切实数（2） a 2 表示一个数的算术平方根的平方,a 的范畴是非负数（3）a 2 和 a 2 的运算结果都是非负的最简二次根式：被开方数是整数,因式是整式；被开方数中

2、不含能开得尽方的数或因式同类二次根式 （可合并根式） ：几个二次根式化成最简二次根式后,假如被开方数相同,这几个二次根式就叫做同类二次根式,即可以合并的两个根式；分母有理化： 把分母中的根号化去,叫做分母有理化；有理化因式： 两个含有二次根式的代数式相乘,假如它们的积不含有二次根式,就说这两个代数式互为有理化因式；有理化因式确定方法如下：单项二次根式：利用aaa 来确定,如：a 与a,ab 与ab,ab与ab等分别互为有理化因式；a两项二次根式：利用平方差公式来确定；如ab 与 ab ,ab与ab,xby 与axby分别互为有理化因式；例 写出一个无理数,使它与32的积为有理数 _分母有理化的

3、方法与步骤：先将分子、分母化成最简二次根式；将分子、分母都乘以分母的有理化因式,使分母中不含根式；最终结果必需化成最简二次根式或有理式；二次根式的乘除1积的算术平方根的性质：积的算术平方根,等于积中各因式的算术平方根的积；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - ab =a b （a0,b0）学习必备欢迎下载2二次根式的乘法法就：两个因式的算术平方根的积,等于这两个因式积的算术平方根；a b ab （ a0,b0）3商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根a=a（a0,b0）bb4二次

4、根式的除法法就：两个数的算术平方根的商,等于这两个数的商的算术平方根；a=a（a0, b0）bb二次根式的加减 需要先把二次根式化简,然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减,被开方 数不变；二次根式的混合运算与求值 1、确定运算次序；2、敏捷运用运算定律；3、正确使用乘法公式；4、大多数分母有理化要准时；5、在有些简便运算中或许可以约分,不要盲目有理化；根式比较大小1、根式变形法当a0,b0时,假如 ab ,就ab ；假如 ab ,就ab ；2、平方法当ab ；0,b0时,假如a22 b ,就 ab ；假如a22 b ,就 a3、分母有理化法通过分母有理化,利用分子的大小来

5、比较；4、分子有理化法通过分子有理化,利用分母的大小来比较；5、倒数法6、媒介传递法适当挑选介于两个数之间的媒介值,利用传递性进行比较；a；b ；a1b0bab7、作差比较法 在对两数比较大小时,常常运用如下性质：ab0baa8、求商比较法它运用如下性质：当a0,b0 时,就：a1abb例比较大小：- 32_- 23 ；例已知a、b 为两个连续整数,且a7b,就 a+b=_二次根式的概念名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 形如（）的式子叫做二次根式；学习必备欢迎下载注：在二次根式中,被开放数可以是数,也可以是单项式、

6、多项式、分式等代数式,但必需留意：因为负数没有平方根,所以是为二次根式的前提条件,如,6,等是二次根式,而,等都不是二次根式；a2例 以下各式肯定不是二次根式的是（）A、a2 B、5 C、4x24 x1 D、例 2. 以下与2 是同类二次根式的是（）D2 - 1 A3 B12 C8 1判定以下各式哪些是二次根式（）116 ；（ 2）x24x4 ; 3 3 xx0 ; 4 44 x写出以下各等式成立的条件（1）4x22x）（2）x2 22x（3）3 x29x3x3（4）xx2xx2; 5 x2x2x3x3（）x2x2x3x3例 以下式子是最简二次根式的是（）A 、8bB、2m2n2C、03.xD

7、、212. 以下根式中不是最简二次根式的是 （A10 B8 C6 D2 . 假如最简二次根式3a - 3 与7- 2a 是同类二次根式,那么a 的值是 _ ；取值范畴1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知,当a0 时,有意义,是二次根式,所以要使二次根式有意义,只要使被开方数大于或等于零即可；名师归纳总结 2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根,所以当a 0 时,没有意义；第 3 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 如x2 2x22学习必备欢迎下载,就 x 的取值范畴是当时,3x5有意义；）当时,x2 2如a21,就

8、a 应是（）aA、负数 B、正数 C、非零实数 D、有理数二次根式a1中,字母 a 的取值范畴是（）A、a1 B、a1 C、a1 D、a1 如使代数式x2有意义,就x 的取值范畴是（）3A、x 2 B、x2 C、x2 D、x4 如化简 1-x -x28x16的结果为 2x-5 ,就 x 的取值范畴是（A、x 为任意实数 B、1x4 C、x1 D、x4 x 为何值时,以下各式在实数范畴内有意义（1）4x2 4|x| 3 2x|4 2 x61x5 3x1）|x21x. 二次根式1- a 中,字母a 的取值范畴是 （Aa 1 Ba1 C a1 Da1 . 已知12 - n 是正整数,就实数n 的最大

9、值为 （A12 B11 C 8 D 3 . 使式子4- x 无意义的 x 取值的是 _；二次根式（）的非负性（）表示 a 的算术平方根,也就是说,（）是一个非负数,即 0（）；注：由于二次根式（）表示 a 的算术平方根,而正数的算术平方根是正数,0 的算术平方根是 0,所以非负数（）的算术平方根是非负数,即 0（）,这个性质也就是非负数的算术平方根的性质,和肯定值、偶次方类似；名师归纳总结 例 如,就 a= ,b= 第 4 页,共 12 页如,就 a= ,b= - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - . 如x- 2 3- x = x- 2成立,就学习必备欢迎

10、下载；x 满意 _3- x. 已知 x、y 是实数,且满意y=x- 6 + 6- x +1 x+2y 的值；（1）求 x 和 y 的值；（2）求二次根式（）的性质（）文字语言表达为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数；注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论；上面的公式也可以反过来应用：如,就；52例 如,就 3. 已知一个正数的平方根是2x-6 和 x+3 ,就这个数是 _ ；. 把二次根式31 3中根号外的因数移到根号内,结果是_；二次根式的性质文字语言表达为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的肯定值；注：名师归纳总结 即1、化简时,肯定要弄明白被开方数的底数a 是

11、正数仍是负数,如是正数或0,就等于 a 本身,第 5 页,共 12 页例；如 a 是负数,就等于a 的相反数 -a, 即；22中的 a 的取值范畴可以是任意实数,即不论a 取何值,肯定有意义；化简时,先将它化成,再依据肯定值的意义来进行化简；假如x22xyy2|x3|0,求 y-2x 的算术平方根；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 已知x210 x2544 x学习必备欢迎下载x27,求 x 的取值范畴；. 如3- b2 =3- b,就（）C b3 Db3 Ab 3 Bb3 与的异同点1、不同点：与 表示的意义是不同的,表示一个正数 a 的算术平方根的平

12、方,而表示一个实数 a 的平方的算术平方根；在 中,而 中 a 可以是正实数, 0,负实数； 但与 都是非负数,即,；因而它的运算的结果是有差别的,而2、相同点： 当被开方数都是非负数,2即时, D=a；b时,无意义, 而例 如 a0,就a2b化简为（）b、 -A、ab B、-ab C、a当时,a2a二次根式的乘除法基础学问名师归纳总结 1. 运算：23_;369_；第 6 页,共 12 页2.10 xy30xyx,0y0 3运算：35a210b_4. 使等式x1x1x1x1成立的条件是5. 当a0,b0时,ab3_；6、如x3+3x2 = xx+3 ,就 x 的取值范畴是7化简二次根式5 2

13、3得（）A53 B53 C53 D308. 如A2 a44,就A（）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载a2429 19a1A. a24 B. a22 C. a222 D. 8 a24a9以下名式中运算正确选项（）a0A.416 416248 B.C.3242347 D.2 412 40414041 4010. 如a1,就1a3化简后为（）a11a D. 1aA. a1a1 B. 1a1a C.11. 运算 : （1）18（2）35210（3）322（4）415152212. 化简 : （1）12（2）722 5（3）2000（4）2 5

14、3282才能提升14当 a=3 时,就15a2_；（D） 3 x0 15. 把a1的根号外的因式移到根号内等于a16已知3 x2 3x xx3,就（）（ A）x0 （B）x 3 （C）x 3 17. 2 3 和3 2 的大小关系是（）3 2 D. 不能确定A. 2 33 2 B. 2 33 2 C. 2 318. 运算 : 名师归纳总结 （1）2a8a（a0）（2）10x101xy（x0,y0）第 7 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （3）26xy132xy2学习必备欢迎下载4（x0, y0） 19. 化简 : （1）4 a23 b（

15、 a0,b0）（2）x3x2y（x0,y0）（ 3）a42 ba2b4（ab0）才能拓展与探究20（2006 安徽省）运算 2 -9 的结果是（）A. 1 B. -1 C- 7 D. 5 212007 芜 湖 市 如图,全部的四边形都是正方形,全部的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为 10cm,正方形 A 的边长为 6cm、 B 的边长为 5cm、C的边长为 5cm,就正方形 D的边长为（）A. 14 cm B.4cm C. 15 cm D.3cm 二次根式的加减基础学问1. 把以下各式化成最简二次根式：名师归纳总结 18 = 225a = . 380 = 第 8 页,共 12 页

16、 6561= 4 3 48 = 1.8 = 32. 判定正误：对的画“ ”,错的画“ ”12+ 3= 5 ；（）28-3= 5 ；（）3 2+ 2=2 2 ；（）4 3 2-2=3 ；（）5 2 2+2=2 2；（）（）6 4 3-3=3 3. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载3. 运算：12 7-6 7 = = 2 50+ 32 = = = 312+613 = = = 42x-8x = = = 基础学问 1. 填空：二次根式加减法的法就是：二次根式加减时,可以先将二次根式化成 二次根式,再将 相同的二次根式进行合并 . 2. 运算

17、：120-595 = = = 216a+6a29 = = = 3. 运算：名师归纳总结 180-20+ 5第 9 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载 = = 218+98-27 = = 324+0.5-1-68 = = 429x+6x-2x134x = = 基础学问1. 运算：40-54+101510 = = 2. 运算： 152+ 7 = = 28 -5 2736 = = = 312-3752 3 = = = 名师归纳总结 448+3153第 10 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - -

18、- - - - - - 学习必备 欢迎下载 = = = 3. 运算： 13+23+3 = = = 22 2+13 2-2 = = = 3x+yx-2y = = = 基础学问 1. 运算： 12 12-6 2 3 = = = 25+ 65 2-23 = = = 2. 填空： 1平方差公式： a+ba-b= ,； 2完全平方公式：a+b2= a-b2= . 3. 运算： 14+ 74-7 = 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载 = = 210+3210-32 = = = 33+22 = = = 42 6-22 = = = 二次根是综合. 如下列图,实数a、b 在数轴上的位置,化简：a2 - b2 - Oa- b21-1ab. 观看以下等式：1 2+1 = 2- 12- 1 = 2- 1 ；2 ；2+1 12 = 3+3-22 = 3-3+23-13= 4+4-33 = 4-3 ； 4+34-解答以下问题：名师归纳总结 写出一个无理数,使它与3-2的积为有理数；你认为这样的无理数可以是_ ；第 12 页,共 12 页利用你观看到的规律,化简：2111；3+运算：12+ 13+ 1+ + 3+110； 1+ 2+3+2- - - - - - -