2022年二次函数与角度问题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载二次函数专题一：角度一、有关角相等21、已知抛物线 y ax bx c 的图象与 x 轴交于 A 、 B 两点（点 A 在点 B 的左边）,与 y 轴交于点 C 0,3,过点C作x轴的平行线与抛物线交于点 D ,抛物线的顶点为 M ,直线y x 5 经过 D 、 M 两点 . （1）求此抛物线的解析式；（2）连接 AM 、AC、BC,试比较 MAB 和 ACB 的大小,并说明你的理由 . 思路点拨： 对于第（ 1）问,需要留意的是 CD和 x 轴平行（过点 C 作 x 轴的平行线与抛物线交于点 D ）对于第（ 2）问,比较角的

2、大小a、 假如是特别角,也就是我们能分别运算出这两个角的大小,那么他们之间的大小关系就清晰了b、 假如这两个角可以转化成某个三角形的一个外角和一个不相邻的内角,那么大小关系就确定了c、 假如稍难一点,这两个角转化成某个三角形的两个内角,依据大边对大角来判定角的大小d、 除了上述情形外,那只有可能两个角相等,那么证明角相等的方法我们学过什么呢,全等三角形、相像三角形和简洁三角函数,从这个题来看,很明显没有全等三角形,剩下的就是相像三角形和简洁三角函数了,其实简洁三角函数证明角相等和相像三角形证明角相等的本质是一样的,都是对应边的比相等e、 可能仍有人会问,这么想我不习惯,太复杂了,那么我再说一个

3、最简洁的方法,如何快速的找出题目的结论问题,在此题中,需要用到的点只有M、C、A、 B 这四个点,而这四个点的坐标是很简洁求出来的,那么请你把这四个点规范的在直角坐标系内标出来,再用量角器去量这两个角大大小,你就能得出结论了,得出结论以后你再看 d 这一条 解：（1）CD x 轴且点 C（0,3）,设点 D的坐标为 x ,3 直线 y= x+5 经过 D点,3= x+5x= 2即点 D2,3 依据抛物线的对称性,设顶点的坐标为 M（ 1,y）,又直线 y= x+5 经过 M点,y = 1+5,y =4 即 M（ 1,4）设抛物线的解析式为ya x2 14点 C（ 0,3）在抛物线上, a= 1

4、即抛物线的解析式为yx22x3 3分（2）作 BPAC于点 P,MNAB 于点 N由（ 1）中抛物线yx22x3可得点 A（ 3,0）,B（1, 0）,AB=4, AO=CO=3,AC=3 2PAB45 ABP=45 , PA=PB=2 2PC=AC PA=2名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载PB在 Rt BPC中,tan BCP= PC =2在 Rt ANM中, M（ -1 ,4）,MN=4AN=2MNtan NAM= AN =2BCPNAM即ACBMAB后记： 对于几何题来说,由于组成平面图形

5、的最基本的元素就是线段和角（圆分开再说）,所以几何的证明无非就是线段之间的关系,角之间的关系, 在二次函数综合题里,我主见首先要想到的是利用角之间的关系来解题,其次才是利用线段之间的关系来解题,除非你很快就能看出利用线段之间的关系来解题很简洁,麻烦的, 特别是不知道某个点的准确坐标时,的基本思路由于在直角坐标系里要求两点之间的距离是很 那么这个题给了我们一个假如判定角之间关系2、（2022 朝阳一模 第 24 题 8 分）24. 在平面直角坐标系xOy中,抛物线yax2bx3经过点 N（2, 5）,过点 N作 x 轴的平行线交此抛物线左侧于点M,MN=6. （1）求此抛物线的解析式；（2）点

6、P（x, y）为此抛物线上一动点,连接 角三角形时,求点 P 的坐标；MP交此抛物线的对称轴于点 D,当 DMN为直（3）设此抛物线与 y 轴交于点 C,在此抛物线上是否存在点 Q,使QMN =CNM ？如存在,求出 y 点 Q的坐标；如不存在,说明理由 . 8 7 6 5 4 3 2 1名师归纳总结 -8 -7 -6 -5-4-3-2 -1O-1-212345 678x-3-424. 解：（1）yax2bx3过点 M、N（2, 5）,MN6,-5-6由题意,得M（4,5 ）. -7-8-94a2 b3,5-1016 a4 b35 .2 分第 2 页,共 12 页解得a,1b2 .此抛物线的解

7、析式为yx22x3. （2）设抛物线的对称轴x1交 MN于点 G,如 DMN为直角三角形,就GD1GD21MN3. 4 分2D1（1,2 ）,D （1 ,8 ）. 直线 MD 1为yx1,直线MD 为yx9. 将 P（x,x22x3）分别代入直线MD 1,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - MD 的解析式,精品资料欢迎下载y得x22x3x1,x22x3x9.MMQOCP1x解得1x1,2x4（舍）,5 分D1P （1,0 ） . 6 分GNP2解得3x3,x 44（舍）,P （3, 12）. D 2（ 3）设存在点Q（x,x22x3）,y使得 QMN =

8、CNM如点 Q在 MN上方,过点Q作 QH MN,C交 MN于点 H,就QHtanCNM4. 7 分HONxMH即x22x35（x4）. 解得1x2,2x4（舍） . Q （2 ,3）. 如点 Q在 MN下方,同理可得Q （6,45）. 8 分yax24ax4ac 与3、（2022 西城一模 25 题 8 分）25平面直角坐标系xOy中,抛物线x 轴交于点 A、点 B,与 y 轴的正半轴交于点 点为 D 1 求此抛物线的解析式；C,点 A 的坐标为 1, 0 ,OB=OC,抛物线的顶名师归纳总结 2 如此抛物线的对称轴上的点P 满意 APB=ACB,求点 P 的坐标；QAQB2,第 3 页,共

9、 12 页 3 Q为线段 BD上一点,点A 关于 AQB的平分线的对称点为A ,如求点 Q的坐标和此时QAA 的面积- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载y25解：（1） y2 ax4ax4aca x22c ,抛物线的对称轴为直线x2抛物线yax24 ax4ac 与 x 轴交于C点 A、点 B,点 A 的坐标为 1,0 , 点 B 的坐标为 3,0 ,OB3 1 分1x可得该抛物线的解析式为ya x1x3OADB OB=OC,抛物线与y 轴的正半轴交于点C, OC=3,点 C的坐标为 0,3 将点 C的坐标代入该解析式,解得a=1 2 分图

10、 9 此抛物线的解析式为y2 x4x3（如图 9） 3 分（2）作 ABC的外接圆 E,设抛物线的对称轴与x 轴的交点为点F,设 E与抛物线的对称轴位于x 轴上方的部分的交点为点1P,点1P关于x轴的对称点为点P ,点1P、点P 均为所求点 . （如图 10）可知圆心 E 必在 AB边的垂直平分线即抛物线的对称轴直线x2上APB 、ACB 都是弧 AB所对的圆周角,AP1BACB,且射线 FE上的其它点P都不满意APBACB由（ 1）可知OBC=45 , AB=2,OF=2可得圆心 E 也在 BC边的垂直平分线即直线yx 上 点 E 的坐标为E2,2 4 分 由勾股定理得EA5EP 1EA5

11、点1P 的坐标为P 12,25 5 分由对称性得点P 的坐标为P 22, 25 6 分符合题意的点P 的坐标为P 12,25、P 22, 25. （3）点 B、D的坐标分别为B3,0、D2, 1,可得直线 BD的解析式为yx3,直线 BD与 x 轴所夹的锐角为45 点 A 关于 AQB的平分线的对称点为A ,（如图 11）如设 AA 与 AQB的平分线的交点为M,就有QAQA , AMA M , AAQM ,Q,B, A 三点在一条直线上QAQB2,BAQA QBQAQB2 .作 A N x 轴于点 N 点 Q在线段 BD上,Q,B, A 三点在一条直线上,A NBAsin451,BNBAco

12、s451 点 A 的坐标为A4,1 点 Q在线段 BD上,名师归纳总结 设点 Q的坐标为Q x x3,其中 2x3第 4 页,共 12 页QAQA ,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由勾股定理得x精品资料x32欢迎下载42x32 12 1x解得x113的范畴内 7 分4经检验,x11在 2x4 点 Q的坐标为Q11 4,1 4此时SQAASA ABSQAB1ABy Ay Q12115 8 分2244二、特别角（一）、45 0角1、如图, 在平面直角坐标系 xoy 中,点 P 为抛物线 y x 2 上一动点, 点 A 的坐标为 （4,2 ）,如点 P

13、使 AOP45 0,恳求出点 P 的坐标；2、二次函数图象经过点 A（ 3,0 ）、B（ 1,8 ）、C（0,6 ）,直线 y 2 x 2 与 y 轴交于点3D,点 P 为二次函数图象上一动点,如PAD45 0,求点 P 的坐标；3、（20222022 海淀初三上期末） 已知, 抛物线yax2bxc与 x 轴交于点 A（ 2,0 ）、B（8,0 ）,与 y 轴交于点C（0, 4）；直线 y=x+m与抛物线交于点D、E（D在 E 的左侧）,与抛物线的对称点交于点F；（1）求抛物线的解析式；（2）当 m=2时,求 DCF的大小；（3）如在直线 y=x+m下方的抛物线上存在点P,使 DPF450,且

14、满意条件的点P 只有两个,就 m的值为 _. （第（ 3）问不要求写解答过程）解：（ 1）依题意,设抛物线的解析式为 y=a （x+2 ）（ x-8 ）,抛物线与 y 轴交于点 C（0,-4）,-4=a （0+2 ）（ 0-8 ）解得 a=1 41 x 42-3 x-4 ；2抛物线的解析式为y=1 x+2x-8 ,即 y= 4（2）由（ 1）可得抛物线的对称轴为x=3 ,m=2 ,名师归纳总结 直线的解析式为y=x+2 ,D、E,与抛物线的对称轴交于点F,第 5 页,共 12 页直线 y=x+2 与抛物线交于点- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料

15、 欢迎下载F、D 两点的坐标分别为F（3, 5）, D（-2, 0）设抛物线的对称轴与x 轴的交点为M,可得 CM=FM=MD=5,F、D、C 三点在以 M 为圆心,半径为5 的圆上 DCF=1 DMF=452（3）由抛物线解析式可知,抛物线顶点坐标为G （3,-25 ）4设 F（ 3,3+m ）,就 FG=m+3+25 ,设 D 关于对称轴的对称点为 4D 1,当四边形 DGD 1F 为正方形时,满意题意,此时P 点与顶点 G 重合,或者与D1 重合,故 DD 1=F G,D 点横坐标为： x=-（1 F G-3）=-24m13,纵坐标为 -（1 F G-3-m ）= 24m1388将 D

16、点坐标抛物线解析式,解得m=-5 4（二）、90 0角1 、 如 图 , 抛 物 线yax2bx3 与x 轴交于A ,B两点, 与y轴 交 于 点 C , 且OBOC3 OA（I ）求抛物线的解析式；（II ）探究坐标轴上是否存在点 P ,使得以点 P , A , C 为顶点的三角形为直角三角形？如存在,求出 P 点坐标,如不存在,请说明理由；y 1 x 1（III）直线 3 交y轴于 D 点, E 为抛物线顶点如 DBC,CBE , 求 的值思路点拨：（ II ）问题的关键是直角,已知的是AC边,那么 AC边可能为直角边,可能为斜名师归纳总结 （III边,当 AC为斜边的时,可知P点是已 A

17、C为直径的圆与坐标轴的交点,且不能与A、第 6 页,共 12 页C重合,明显只有O 点；当 AC为直角边时,又有两种情形,即A、C分别为直角顶点,这时候我们要知道无论是A 或者 C 为直角顶点,总有一个锐角等于OCA（或Rt PAC和 Rt OAC相像）,利用这点就可以求出OP的长度了）从题目的已知条件看,除了ABC=45 外没有知道其他角的度数,那么这两个角要- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载么全是特别角（ 30 , 45 ,60 ,90 ）,在这种情形下,他们的差才有可能不是特别的角,很明显,这两个角不是特别角,那只有一种可能（在

18、没有学反三角函数的前提下）,就是他们的差是特别角,是 45 ,那么我们需要证明的就是再联系到 ABC=45 ,可知,这两个角的差就 ABD=CBE,再想想上一题所说的,就明白是名师归纳总结 利用相像三角形来证明白,即证明BCE是一个直角三角形且与BAD相像第 7 页,共 12 页解：（I ）抛物线yax2bx3 与y 轴交C点0 ,3,且OBOC3 OAA,1 0,B ,3 0 代入yax2bx3,得a 9ab3 3 b0 30a b12yx22x3（II ）当P AC90时 可证P1AOACORtP 1AO中,tanP 1AOtanACO1P 10,133同理 : 如图当P 2CA90时,P

19、 2 9 0, 当CP 3A90时,P 3,00 综上,坐标轴上存在三个点P ,使得以点P , C为顶点的三角形为直角三角形,分别是1P0 ,1P 2,90 ,P 300,3（III ）由y1x,1得D01,由yx22x3,得顶点E,143BC3,2CE,2BE25BC2CE2BE ,BCE为直角三角形tanCE1CB3又RtDOB中tanDBOOD1DBOOB3DBOOBC452、（2022 房山一模24 题 7 分）24如图, 在平面直角坐标系中, O为坐标原点,抛物线 y=ax 28ax16a6 经过点 B（0,4）. 求抛物线的解析式；设抛物线的顶点为D,过点 D、B作直线交 x 轴于

20、点 A,点 C 在抛物线的对称轴上,且 C点的纵坐标为 -4 ,联结 BC、AC. 求证： ABC是等腰直角三角形；在的条件下,将直线 DB沿 y 轴向下平移,平移后的直线记为l,直线 l与x 轴、 y 轴分别交于点 A 、B ,是否存在直线l ,使 ABC是直角三角形,如存在求出 l的解析式,如不存在,请说明理由- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载yDBOAxCyDBOAxC图 备用图24 解：由题意知：16a 6 4解得： a 18抛物线的解析式为：y 1x 2x 4-1 分8证明 ：由抛物线的解析式知 : 顶点 D坐标为（ 4,6

21、 ）点 C的纵坐标为 4,且在抛物线的对称轴上C点坐标为 4, 4 设直线 BD解析式为：ykx4 k0CD1B2Ax有：6-4k4,k132BD解析式为 y 1 x 42直线 BD与 x 轴的交点 A 的坐标为（ 8,0 ）分OE过点 C作 CE y 轴于点 E,就 CE=4,BE=8 又 OB=4,OA=8, CE=OB,BE=OA,CEB=BOA=90 CEB BOASAS-2CB=AB, 1=2 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载 2+3=90 , 2+3=90 1+3=90 ,即 ABC

22、=90 ABC是等腰直角三角形 -3分xx存在 . 当 CAB=90 时,如图 1 所示,AB AB OAB=BAO By易证 : ECA=OA ECA=BAODBtan BAO= 12tan ECA=1EAOA2EA=2 BA 坐标为 2,0 直线 l 解析式为y1 x 21-5分C当 ACB=90 时,如图 2 所示,图 1 过点 C作 CE y 轴于点 E,y易证 AFC BEC AF=BE ADBA由 tan BAO= 12设 B 坐标为（ 0,n）有4nn1FO42n8CB3EB 坐标为（ 0,8 ）3图 2 直线 l 解析式为y1 x 28-7分3y x 22xm-2 交 y 轴于

23、点 A（0,3、（ 2022 石景山二模25 题 8 分） 25已知：抛物线2m-7）与直线 y 2 x 交于点 B、C（B在右、 C在左）（ 1）求抛物线的解析式；（ 2）设抛物线的顶点为E,在抛物线的对称轴上是否存在一点F,使得BFECFE ,如存在,求出点F 的坐标,如不存在,说明理由；（ 3）射线 OC上有两个动点P、Q同时从原点动身, 分别以每秒5 个单位长度、 每秒 25个单位长度的速度沿射线 OC运动,以 PQ为斜边在直线（直角边分别平行于坐标轴）,设运动时间为 t 秒,如m-2 有公共点,求 t 的取值范畴解：BC的上方作直角三角形 PMQPMQ与抛物线 y x 22x名师归纳

24、总结 - - - - - - -第 9 页,共 12 页精选学习资料 yx- - - - - - - - - 精品资料欢迎下载O25. 解：（1）点 A（0, 2m-7 ）代入 y x 2 2xm-2 ,得 m=5 抛物线的解析式为 y x 22x3 2 分（2）由 y x 22 x 3 得 x 3,x 3y 2 x y 2 3 y 2 3B（,3 2 3）,C（,3 2 3）B（,3 2 3）关于抛物线对称轴 x 1 的对称点为 B 2 ,3 2 3 可得直线 B C 的解析式为 y 2 3 x 6 2 3,由 y 2 3 x 6 2 3,可得 x 1y 1 y 6F ,1 6 5 分（3）

25、当 M 2 t , 2 t 在抛物线上时,可得 4 t 2 2 t 3 0,t 1 13,4当 P t , 2 t 在抛物线上时,可得 t 2 3,t 3,舍去负值,所以 t 的取值范畴是 1 13t 3 8 分4三、角的范畴1、二次函数 y x 2 2 x 3 的图象与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧）,与 y 轴交于 C点,在二次函数的图象上是否存在点 P,使得 PAC为锐角？如存在,请你求出 P 点的横坐标取值范畴；如不存在,请你说明理由；2、二次函数yx22 x3的图象与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B的左侧）,与 y 轴交于 C点,在二次函数的图象上是

26、否存在点P,使得锐角 PCO ACO？如存在,请你求出P点的横坐标取值范畴；如不存在,请你说明理由；名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载专题 2-二次函数与角度问题复习目标：1把握与角度有关问题常见的思路和方法；一、教案（供老师教学时使用）2【例】如图,抛物线 y x 3 x 4 与 x 轴交于 A、B两点,与 y 轴交于点 C,点 D3,4在抛物线上,连接 BD,点 P为抛物线上一点,且 DBP =45 ,求点 P 的坐标【答案】 P的坐标为 2 6, .5 5解题方法总结：二、学案抛物线 y

27、x 2 2 x 3 与并轴分别交于 A、B 两点,与 y 轴的正半轴交于 C点,抛物线的顶点为 D,连接 BC、BD,抛物线上是否存在一点 P,使得 PCB=CBD,如存在,求 P 点的坐标,不存在,说明理由,【答案】5,7或 4,524名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载三、练案1如抛物线y-x24x的顶点为 B,与轴正半轴交于A点,在抛物线对称轴右侧一点P,使 tanPBA1,求 P 点的坐标；3【答案】 P3 ,3,9 ,-45 2抛物线yx24x3,交 x 轴于 M、N点（ M点 N点左边）,交 y 轴于 D 点,点 E 为第一象限抛物线上的点,如【答案】E15 33 ,4 16EMN =2ODM,求 E 点坐标23如图,抛物线 y x 4 x 3 交 x 轴于 Al ,O、B 两点,交,轴于 C0,3 ；抛物线上是否存在点 P,使 PCB+ ACB= 45 .如存在,求出 P 点坐标；如不存在,请说明理由；7 5【答案】p 1 , . P 1 2, 1;2 4名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 12 页