2022年中考复习之多动点综合题中等腰三角形的专题研究.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载多动点综合题中等腰三角形的专题争论动态几何题是各地中考“ 压轴题” 的亮点之一；这类题型的信息量大,常常 把数与方程、函数与几何、函数与解直角三角形、函数与面积等联系在一起；解 题时要用运动和变化的眼光去观看、摸索、争论问题,把握图形运动、变化的全 过程,综合运用函数、方程、分类争论、数形结合等数学思想去解决问题；假如把中考数学的压轴题比如成皇后头上的皇冠的话,压轴题中的压轴问题就是皇后皇冠上的一颗最璀烂夺目的明珠；近几年的多个地区中考试题压轴题的最终一问, 都是以多动点的几何背景为载体,对几何背景综合题中等腰三角形的专题争论

2、,探究等腰三角形的问题； 本文通过 查找解题规律, 明白、把握在几何背景综合题中等腰三角形的常见解法,并感悟解几何背景综合题的一般摸索方 法,以供九年级师生复习参考之用；一、两个动点在一个角的两边上“ 逆向” 运动,另一个定点在角的顶点上的 等腰三角形【案例 1】（2022山西）如图（1）,已知直线的解析式为,直线与x 轴、y 轴分别相交于 A、B两点,直线经过 B、C两点,点 C的坐标为（8,0）,又已知点 P 在 x 轴上从点 A 向点 C移动,点 Q在直线 从点 C向点 B移动；点 P、Q同时动身,且移动的速度都为每秒 1 个单位长度,设移动时间为 t 秒（）；（1）求直线 的解析式；（

3、2）设 PCQ的面积为 S,恳求出 S 关于 t 的函数关系式；名师归纳总结 （3）摸索究：当 t 为何值时,PCQ为等腰三角形？第 1 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载图（ 1）解：（ 1）过程略,答案：的解析式为（2）过程略,答案：=（3）【分析】 确定定点、动点、运动方向这类问题第一要弄清晰对于PCQ而言,那些是顶点是动点, 那些点是定点,动点在哪条线上运动,运动方向是怎样的,所以我们在图（1）上标出了PCQ的动点（ P、Q）和定点（ C）,以及 P、Q的运动方向,由此我们可以看出这个动点三角形属于两个动点在一

4、个角的两条边上“ 逆向”运动,另一个定点在角的顶点上的等腰三角形；画出动态三角形形成等腰三角形的截图（“ 动” 中取“ 静” ）名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载依据运动时间先后的次序, 往往存在三种情形, 这里表达了分类争论的思想,PCQ的三边两两分别相等,如图QP=QC, CP=CQ, PC=PQ,这个过程需要读者在备用图中试画； 只有画出来才能求出来, 所以这一步在整个问题中是相当 关键的,留意不要重复和遗漏；在函数与数形结合思想的基础上,系建立方程利用勾股定理、 锐角三角函数与相像关依据题

5、意我们可知,许多和问题有关的边长都可以用时间 的式子表示出来,PC=,CQ=,建立等式模型时,我们往往要运用勾股定理、锐角三角函数与相像, 但利用以上的方法所需的基本图形是直角三角形,所以我们这里要把一个等腰三角形转化为两个全等的直角三角形；如图,当 QC=QP,过 Q作 QD轴于 D,D点为 PC中点,就 CD=PC=,图形中可确定三边的RtBOC,恰好这个直角三角形与我们把等腰三角形 QPC分割出来的 RtQDC公共 BCO,依据“ A” 型相像或平行相像,就QDCBOC,即,解得如图,当 CP=CQ时,这时 CP与 CQ正好也在 BCO的两边上,解得如图,当 PC=PQ时,过 P 作 P

6、E于 E,就 CE= CQ=,这时分割出的 RtPEC与已知的 RtBOC仍旧公共 BCO,并形成斜“ A” 型相像,就 PEC BOC,名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - ,即,解得学习必备欢迎下载,综上所述,当,或 5,或时,（都满意）, PCQ为等腰三角形【总结】以上题目是动点和函数思想相结合以几何图形为背景,以动点为元素 ,构造动态型几何问题； 解此类题目, 应从相关图形的性质和数量关系分类争论来解决；此类问题较多地关注同学对图形性质的懂得 数和图形结合的问题 , 具有较强的综合性；, 用动态的观点去看待一般

7、函【练习】（ 2022 济南）如图（ 2）,在梯形中, 图（ 2）动点从点动身沿线段以每秒 2 个单位长度的速度向终点运名师归纳总结 动；动点同时从点动身沿线段以每秒 1 个单位长度的速度向终点运第 4 页,共 15 页动设运动的时间为秒）（1）求的长；（过程略,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）当时,求学习必备欢迎下载 的值； 过程略,（3）摸索究：为何值时,为等腰三角形；解：（3）【分析】 确定定点、动点、运动方向 （请读者自行在图（ 2）中完成）画出动态三角形形成等腰三角形的截图（请读者自行在练习图中完成）在函数与数形结合思想的基础上,利用

8、勾股定理、锐角三角函数与相像关系 建立方程点拨：此问所需要确定三边的直角三角形,目标就锁定到梯形分割出右边的这个直角三角形, 这个三边都可以求出的直角三角形仍与动态 公共 C,可利用案例一的争论方法求出相应 的时间,留意这题中 M、N两个动点的速度不一样了,此问答案为当、或 时,为等腰三角形,过程请读者自行完成；【案例 2】（2022 仙桃）如图（ 3）,直角梯形 ABCD中,AD BC,ABC90 ,已知 ADAB3,BC4,动点 P 从 B 点动身, 沿线段 BC向点 C作匀速运动；动点 Q从点 D 动身,沿线段 DA向点 A 作匀速运动 过 Q点垂直于 AD的射线交 AC于点 M,交 B

9、C于点 NP、Q两点同时动身,速度都为每秒 1 个单位长度当 Q点运动到 A点, P、Q两点同时停止运动设点 Q运动的时间为 t秒名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载1 求 NC,MC的长 用 t 的代数式表示 ；（过程略,）2 当 为何值时,四边形 PCDQ构成平行四边形？ 过程略, 3 是否存在某一时刻,使射线 QN恰好将 的面积和周长同时平分？如存在,求出此时的值；如不存在,请说明理由；（过程略,不存在）4 探究：为何值时,为等腰三角形？解：（ 3）【分析】 确定定点、动点、运动方向由题意可知

10、 Q、M、N三点在同一条直线上, M、N随着 Q点的移动而移动 画出动态三角形形成等腰三角形的 截图 画出动态 的三种情形,如图、在函数与数形结合思想的基础上,利用勾股定理、锐角三角函数与相像关系 建立方程名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 此问所用到的方法和案例学习必备欢迎下载P、Q两个动点的速度,1 有所不同,这时只知道所以动态的 CM边不能直接用的式子表示出来,此题的 PC=,CN=,接下来就要环绕者PC,CN两边来建立方程；如图,当 MP=MC,而 MNPC,就 N点为 PC中点,有 PC=2NC,有解得：=

11、如图,当 CM=CP时, CM=CP=,CN=,而由图中可以知 RtMNC与RtABC公共 ACB,依据“A” 型相像或平行相像,解得：如图,当 PM=PC时, PM=PC=,就 PN=CNPC=, Rt MNC与 RtABC公共 ACB,本应当利用这种平行相像关系建立方程,可 RtMNC只有一边 CN可以由 表示出来,只有利用其它方法建立等式,由上可知 RtMNP中的PM、PN都可以用 表示出来,只差最终一边 MN没有用 表示出来,这里刚好可以利用 RtMNC与 RtABC相像把 MN也用 表示出来, , 就MN=,最终我们利用在 RtMNP中存在勾股定理,完成建立方程的步骤, ,解得（-1

12、 舍）综上所述当、或时,为等腰三角形名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载二、两动点在两条平行线上同向运动,角形问题另一个动点在另一边上运动的等腰三【案例 3】（2022 温州）如图（ 4）,在 Rt ABC中, A90.,AB6,AC8,D,E分别是边 AB,AC的中点,点 P从点 D动身沿 DE方向运动,过点 P作 PQBC于 Q,过点 Q作 QR BA交 AC于 R,当点 Q与点 C重合时,点 P停止运动设 BQx,QRy（1）求点 D到 BC的距离 DH的长； 过程略, （2）求 y 关于 x

13、 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范畴,过程略,）；（3）是否存在点 P,使 PQR为等腰三角形？如存在,恳求出全部满意要求的 x 的值；如不存在,请说明理由解：（ 3）【分析】 确定定点、动点、运动方向由题意可知,点 Q随点 P 向右移动而向右平行移动, 而点 R又随 Q的移动而移动； 画出动态三角形形成等腰三角形的截图 画出动态的三种情形,如图、名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 案例 3（3）图学习必备欢迎下载案例 3（3）案例 3（3）图图在函数与数形结合思想的基础上,系建立方程利用勾股定理、 锐角三角函

14、数与相像关依据题意我们可知, PQ=,BQx,RQ=,建立等式模型时,和案例 1 相同,我们这里要把一个等腰三角形转化为两个全等的直角三角形；如图,当 PQ=PR,过 P作 PMRQ于 M,M点为 RQ中点,就 QM= RQ= =,由题意可知 1+2=90 , C+B=90 , 2=B,就1=C,即 RtQMPRtCAB,即,解得如图,当 QP=QR时,=,解得如图,当 RP=RQ时,过 R作 RNPQ于 N,就 NQ= PQ= , NQR+RQC= 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载90 , R

15、QC +C=90 , 就 NQR=C,就 RtQNRRtCAB,即,解得,综上所述,当为,或 6,或时, PQR为等腰三角形；【练习】（ 2022 江西）如图（ 5）,在等腰梯形中,是的中点,过点作交于点的距离为,. （1）求点到的距离； 过程略,到 名师归纳总结 （2）点为线段上的一个动点,过作交于点,过作第 10 页,共 15 页交折线于点,连结,设. 当点在线段上时,如图（ 6）,的外形是否发生转变？如不变,求出的周长；如转变,请说明理由；（过程略,的周长=）当点在线段上时,如图（7）,是否存在点,使为等腰三角形？如存在,恳求出全部满意要求的的值；如不存在,请说明理由. - - - -

16、- - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载解：（ 3）【分析】 确定定点、动点、运动方向 成）（请读者自行在图（ 7）中完画出动态三角形形成等腰三角形的截图（请读者自行在练习图中完成）在函数与数形结合思想的基础上,系建立方程利用勾股定理、 锐角三角函数与相像关点拨： 当点 N在线段 DC上运动时, PMN的外形发生转变,但 MNC恒为等 边三角形；过 E 作 EGBC于 G,PM=EG= ,GM=EP=,MN=NC=MC=5-,此问用 到的方法与案例 3 类似,只不过这题 B 的度数更为特别,由等腰三角形分解为 直角三角形就为 30 的直角三角形,所以用锐角

17、三角函数比相像更简单建立方程,此问答案为当、或时,PMN为等腰三角形,过程请读者自行完成；三、两动点在同始终线上运动, 另一动点在另一边上运动的等腰三角形问题【案例 4】（2022 怀化）如图（ 8）,在直角梯形 OABC中, OA CB,A、B 两点 的坐标分别为 A（15,0）,B（10,12）,动点 P、Q分别从 O、B 两点动身,点名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载P以每秒 2 个单位的速度沿 OA向终点 A运动,点 Q以每秒 1 个单位的速度沿 BC向 C运动,当点 P 停止运动时,点

18、 Q也同时停止运动线段 OB、PQ相交于点 D,过点 D作 DE OA,交 AB于点 E,射线 QE交 t （单位：秒）轴于点 F设动点 P、Q运动时间为（1）当 t 为何值时,四边形 PABQ是等腰梯形,请写出推理过程；（过程略,t =）（2）当 t =2 秒时,求梯形 OFBC的面积；（过程略, S=174）（3）当 t 为何值时,PQF是等腰三角形？请写出推理过程解：（ 3）【分析】 确定定点、动点、运动方向点 P、F 同向向 x 轴右移动,点 Q在与 x 轴平行的 BC上向左移动画出动态三角形形成等腰三角形的截图在函数与数形结合思想的基础上,利用勾股定理、锐角三角函数与相像关系建立方程

19、点拨：此题由于动态PQF的三边任何时候都可以表示出来,所以分析可以忽略,直接把三边表示出来（表示三边的过程用到了相像与勾股定理）,令其两两分别相等建立方程；由题意可知 PF=15-2t +2t =15,QB=t ,OP=2t ,可推到出 AF=2t ,进而名师归纳总结 QP=,第 12 页,共 15 页QF=- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当 PQ=PF时,就学习必备欢迎下载或=15,解得当 QP=QF时,就=,解得当 FQ=FP时,就=15,解得或（舍）综上所述,当,时, PQF是等腰三角形【拓展】（2022 江苏）如图（9-1 ）,已知射线 DE

20、与 轴和 轴分别交于点和点动点 从点 动身,以 1 个单位长度 / 秒的速度沿 轴向左作匀速运动,与此同时,动点 P 从点 D动身,也以 1 个单位长度 / 秒的速度沿射线DE的方向作匀速运动设运动时间为 秒（1）请用含 的代数式分别表示出点 C与点 P 的坐标；（答案：,）（2）以点 C为圆心、个单位长度为半径的与轴交于 A、B 两点（点 A在点 B 的左侧）,连接 PA、PB当 与射线 DE有公共点时,求 的取值范畴；（答案：）名师归纳总结 当为等腰三角形时,求的值第 13 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载解：（

21、2-2 ）【分析】 确定定点、动点、运动方向A、B 同向向 x 轴左移动, P点由点 D向点 B运动画出动态三角形形成等腰三角形的截图在函数与数形 结合思想的基础上,利用勾股定理、锐角三角函数与相像关系建立方程点拨： 此题由于动态PAB的三边任何时候都可以表示出来,所以分析可以忽视,直接把三边表示出来（表示三边的过程用到了相像与勾股定理）,令其两两分别相等建立方程；如图（ 9-2）由题意可知 MC=t ,BC=CA= ,就 MB=BC=CA= ,进而 AB=t,OA=,OB=, 又 PD=t,由相像可知 PQ=,QD=,OQ=QP=QF= =名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页

22、,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 此问的答案为当,学习必备欢迎下载时, PAB是等腰三角形,过程,请读者自行完成；新课程实施以来,以动点几何为背景的压轴题,以等腰三角形为重要考点,是近年来中考压轴题中的一种重要题型；这类试题将代数和几何的众多学问有效整合,能有效考查同学分析新问题和解决新问题的才能,将解等腰三角形的所涉及到的分类思想,数形结合、化归、方程思想 依据勾股定理,相像,锐角三角函数列方程 表达得淋漓尽致；此题型属初高中连接点,它对同学综合才能要求 高,肯定难度大, 很具有区分度； 但这类新问题对培育同学的思维品质和各种数 学才能都有很大的促进功能, 对提高同学综合运用学问解决问题的才能有极大的 帮忙；解这类题不是一堂两堂课, 一个专题就可以解决, 它要求我们在平常教学 中能渗透运动理念, 用运动的眼光看问题, 把握好四个环节： 渗透变换量化训练,进行科学的施教；名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 15 页