2022年二次函数知识点复习.docx

《2022年二次函数知识点复习.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年二次函数知识点复习.docx（17页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载二次函数学问点一、二次函数概念：1二次函数的概念：一般地,形如_（其中 _）的函数,叫做二次函数；这里需要强调：和一元二次方程类似,二次项系数a0,而 b, 可以为零二次函数自变量的取值范围是 全体实数 2. 二次函数yax2bxc 的结构特点：x 的二次式,x 的最高次数是2 等号左边是函数,右边是关于自变量a, , 是常数, a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：y2 ax 的性质：a 的肯定值越大,抛物线的开口越小；a的符号2开口方向顶点坐标对称轴最值性质a0c

2、的性质：a02. yax上加下减；a的符号开口方向顶点坐标对称轴最值性质a0h2的性质：a03. ya x左加右减；名师归纳总结 a的符号开口方向顶点坐标对称轴最值性质第 1 页,共 9 页a0h2k 的性质：对称轴最值性质a04. ya xa的符号开口方向顶点坐标- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - a0学习好资料欢迎下载性质a0顶点坐标对称轴最值5.y=ax2+bx+C 的性质a的符号开口方向a0a0三、二次函数图象的平移概括成八个字“ 左加右减,上加下减”c的比较四、二次函数ya xh2k 与yax2bx从解析式上看,ya xh2k 与yax2bxc

3、是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即ya xb24aca2 b,其中hb,k4acb22 a42a4 a五、二次函数yax2bxc 图象的画法五点绘图法：画草图时应抓住以下几点：开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点 . 时, y有最小六、二次函数yax2bxc的性质1. 当a0时,抛物线开口向上,对称轴为xb,顶点坐标为b,4 ac4a2 b2a2a当xb时, y 随 x 的增大而减小；当xb时, y 随 x 的增大而增大；当xb2a2 a2a值4 acb2b 2 a时, y 随4 a2. 当a0时,抛物线开口向下,对称轴为xb,顶点坐标为b,4acb2当x2a

4、2a4 ax 的增大而增大；当xb时, y 随 x 的增大而减小；当xb时, y 有最大值4 aca2 b2a2a4七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：yax2bxc （ a , b , c 为常数,a0）；x 轴两交点的横坐标）. 2. 顶点式：ya xh2k （ a , h , k 为常数,a0）；3. 两根式：ya xx 1xx2（a0,x ,x 是抛物线与留意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非全部的二次函数都可以写成交点式,只名师归纳总结 有抛物线与x 轴有交点,即b24 ac0时,抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式第 2 页,共 9 页的这三种形

5、式可以互化. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数 a二次函数 y ax 2bx c 中, a 作为二次项系数,明显 a 0 当 a 0 时,抛物线开口向上,a 的值越大,开口越小,反之 a 的值越小,开口越大； 当 a 0 时,抛物线开口向下,a 的值越小,开口越小,反之 a 的值越大,开口越大总结起来,a 打算了抛物线开口的大小和方向,a 的正负打算开口方向,a 的大小打算开口的大小2. 一次项系数 b在二次项系数a 确定的前提下,b 打算了抛物线的对称轴ab0,概括的说就是

6、在a0的前提下,当b0时,b0,即抛物线的对称轴在y 轴左侧；2a当b0时,b0,即抛物线的对称轴就是y 轴；2a当b0时,b0,即抛物线对称轴在y轴的右侧2a 在a0的前提下,结论刚好与上述相反,即当b0时,b0,即抛物线的对称轴在y 轴右侧；2a当b0时,b0,即抛物线的对称轴就是y 轴；2a当b0时,b0,即抛物线对称轴在y轴的左侧2a总结起来,在a 确定的前提下,b 打算了抛物线对称轴的位置ab 的符号的判定：对称轴xb在 y 轴左边就ab0,在 y 轴的右侧就2 a“ 左同右异”总结：3. 常数项 c 当 c 0 时,抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方,即抛物线与 y 轴交点的纵坐

7、标为正； 当 c 0 时,抛物线与 y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为 0 ； 当 c 0 时,抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方,即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为负总结起来,c 打算了抛物线与 y 轴交点的位置总之,只要 a, , 都确定,那么这条抛物线就是唯独确定的二次函数解析式的确定：依据已知条件确定二次函数解析式,通常利用 待定系数法 用待定系数法求二次函数的解析式必需根据题目的特点,挑选适当的形式,才能使解题简便一般来说,有如下几种情形：1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值,一般选用顶点式；3. 已知抛物线与

8、 x 轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情形,可以用一般式或顶点式表达1. 关于 x 轴对称2. 关于 y 轴对称3. 关于原点对称名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转 180 ）5. 关于点 m,n 对称依据对称的性质,明显无论作何种对称变换,抛物线的外形肯定不会发生变化,因此 a 永久不变求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或便利运算的原就,挑选合

9、适的形式,习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与axx 轴交点情形）：y0时的特别情形 . 一元二次方程ax2bxc0是二次函数y2bxc 当函数值图象与 x 轴的交点个数： 当b24ac0时,图象与x 轴交于两点A x 1,0,B x 2,0x 1x2,其中的x 1,x 2是一元二次方程ax2bxc0a0的两根这两点间的距离ABx 2x 12 ba4 ac. 当0 时,图象与x 轴只有一个交点；y0； 当0时,图象与x

10、轴没有交点 . 1 当a0时,图象落在x 轴的上方,无论x 为任何实数,都有2当a0时,图象落在x 轴的下方,无论x 为任何实数,都有y02. 抛物线yax2bxc 的图象与 y 轴肯定相交,交点坐标为0 ,c ；3. 二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标,需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 依据图象的位置判定二次函数yax2bxc 中 a , b , c 的符号,或由二次函数中a , b , c 的符号判定图象的位置,要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或

11、已知与 x 轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标 . 0 抛物线与 x 轴有 二次三项式的值可正、一元二次方程有两个不相等实根两个交点 可零、可负0 抛物线与 x 轴只 二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根有一个交点0抛物线与x 轴无二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根. 交点 与二次函数有关的仍有二次三项式,二次三项式 ax 2bx c a 0 本身就是所含字母 x 的二次函数； 下面以 a 0 时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：十一、直线与抛物线的交点名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 9 页精选学习资料 - -

12、 - - - - - - - （1） y 轴与抛物线yax2h学习好资料c欢迎下载 h ,ah2bhc. bxc得交点为 0, c . x有且只有一个交点（2）与 y 轴平行的直线与抛物线yax2bx（3）抛物线与 x 轴的交点二次函数yax2bxc的图像与x 轴的两个交点的横坐标x 、x ,是对应一元二次方程ax2bxc0的两个实数根. 抛物线与 x 轴的交点情形可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点 0 抛物线与 x 轴相交；有一个交点（顶点在 x 轴上）0 抛物线与 x 轴相切；没有交点 0 抛物线与 x 轴相离 . （ 4）平行于 x 轴的直线与抛物线的交点名师归纳总结

13、- - - - - - -同（ 3）一样可能有0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 . 当有 2 个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为 k ,就横坐标是ax2bxck的两个实数根 . （ 5）一次函数ykxnk0的图像 l 与二次函数yax2bxca0的图像 G 的交点,由方程组ykx2nc的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时l 与 G 有两个交点 ; 方yaxbx程组只有一组解时l 与 G 只有一个交点；方程组无解时l 与 G 没有交点 . （ 6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：如抛物线yax2bxc与 x 轴两交点为Ax1,Bx2,由于1x 、x 是方程ax2bxc0的两个根,

14、故x 1x 2b,x 1x2caaABx 1x 2x 1x 22x 1x224x 1x 2b24 c2 ba4 acaaa第 5 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载二次函数考查重点与常见题型1 考查二次函数的定义、性质,有关试题常显现在挑选题中,如：已知以 x 为自变量的二次函数ym2x2m2m2的图像经过原点,就 m 的值是2 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像,习题的特点是在同始终角坐标系内考查两个函数的图像,试题类型为挑选题,如：如图,假如函数ykxb的图像在第一、 二、三象限内, 那么函数ykx2bx1的图像大致是 （）

15、y y y y 1 1 0 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D 3 考查用待定系数法求二次函数的解析式,有关习题显现的频率很高,习题类型有中档解答题和选拔性的综合题,如：已知一条抛物线经过0,3 , 4,6 两点,对称轴为x5,求这条抛物线的解析式；34 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值,有关试题为解答题,如：已知抛物线 y ax 2bx c （a 0）与 x 轴的两个交点的横坐标是1、3,与 y 轴交点的纵坐标是32（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标 . 5考查代数与几何的综合才能,常见的作为专项压轴题；【例

16、题经典】由抛物线的位置确定系数的符号例 1 （1）二次函数yax2cbx c 的图像如图 1,就点 M b , 在（a其次象限 C 第三象限 D 第四象限）x=1 A第一象限 B（2）已知二次函数y=ax2+bx+c（a 0）的图象如图2 所示, .就以下结论：a、b 同号；当和 x=3 时,函数值相等；4a+b=0；当 y=-2 时, x 的值只能取0. 其中正确的个数是（）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 1 2 【点评】弄清抛物线的位置与系数a,b,c 之间的关系,是解决问题的关键例 2. 已知二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 -2 , O、x 1,0 ,且

17、 1x 12,与 y 轴的正半轴的交点在点 O,2 的下方 以下结论： abO；4a+cO,其中正确结论的个数为 A 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D 4 个答案： D 会用待定系数法求二次函数解析式名师归纳总结 例 3. 已知： 关于 x 的一元二次方程ax2+bx+c=3 的一个根为x=-2 ,且二次函数y=ax2+bx+c 的对称轴是直线x=2,就抛物线的顶点坐标为 ,3 D3 , 2 第 6 页,共 9 页 A2,-3 B.2,1 C2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载答案： C 例 4、（2006 年烟台市）如图（单

18、位：m）,等腰三角形 ABC以 2 米/ 秒的速度沿直线AB与 CD重合设 x 秒时,三角形与正方形重叠部分的面积为 ym 2L 向正方形移动,直到（1）写出 y 与 x 的关系式；（2）当 x=2,3.5 时, y 分别是多少？（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时,三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、对称轴 . 例 5、已知抛物线y=1 2x2+x-5 22）问主要考查二次函数与一元二次方程的（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴（2）如该抛物线与x 轴的两个交点为A、B,求线段 AB的长【点评】此题（1）是对二次函数的“ 基本方法” 的考查,第（关系例 6. 已知：二次函数 y=a

19、x 2-b+1x-3a 的图象经过点 P4,10 ,交 x 轴于 A 1x , 0 ,B x 2 , 0 两点 x 1 x 2 ,交 y 轴负半轴于 C点,且满意 3AO=OB1 求二次函数的解析式；2 在二次函数的图象上是否存在点 M,使锐角 MCOA CO.如存在,请你求出M点的横坐标的取值范畴；如不存在,请你说明理由1 解：如图抛物线交 x 轴于点 Ax 1,0 ,Bx2 ,O,就 x1 x2=30,又 x 1O,x1O, 30A=OB, x2=-3x1 xx1x2=-3x 1 2=-3 x 1 2=1. a=2 b=3 10, x1=-1 x2=3点 A-1 , O,P4,10 代入解

20、析式得解得二次函数的解析式为y-2x2-4x-6 2 存在点 M使 MC0ACO2 解：点 A 关于 y 轴的对称点A1 ,O,直线 A,C解析式为 y=6x-6 直线 AC 与抛物线交点为符合题意的 x 的范畴为 -1x0 或 Ox50 ,-6 ,5 ,24 当点 M的横坐标满意 -1xO 或 OxACO例 7、 “ 已知函数y1x2bxc的图象经过点A（c, 2）,2求证：这个二次函数图象的对称轴是x=3；” 题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字；（ 1）依据已知和结论中现有的信息,你能否求出题中的二次函数解析式？如能,请写出求解过程,并画出二次函数图象；如不能,请说明理由；

21、（ 2）请你依据已有的信息,在原题中的矩形框中,填加一个适当的条件,把原题补充完整；点评：对于第（ 1）小题,要依据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式,就要把原先的结论“ 函数图象的对称轴是 x=3” 当作已知来用,再结合条件“ 图象经过点 A（c, 2）” ,就可以列出两个方程了,而解析式中只有两个未知数,所以能够求出题中的二次函数解析式；对于第（2）小题,只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第（1）小题中的解析式就可以了；而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件,可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标,可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点 的坐标等；名师归纳总结 解答 （1）

22、依据y1x2bxc的图象经过点A（c, 2）,图象的对称轴是x=3,第 7 页,共 9 页2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载1 2c bc c 2 ,2得 b3 ,122b 3 ,解得c 2 .所以所求二次函数解析式为 y 1 x 2 3 x .2 图象如下列图；2（ 2）在解析式中令 y=0,得 1 x 2 3 x 2 0,解得 x 1 3 5 , x 2 3 5 .2所以可以填“ 抛物线与 x 轴的一个交点的坐标是（3+ 5 0, ” 或“ 抛物线与 x 轴的一个交点的坐标是 3 5 , 0 .令 x=3 代入解析式,得 y

23、5 ,2所以抛物线 y 1 x 2 3 x 2 的顶点坐标为 ,3 5 ,2 2所以也可以填抛物线的顶点坐标为 ,3 5 等等；2函数主要关注：通过不同的途径（图象、解析式等）明白函数的详细特点；借助多种现实背景懂得函数；将函数视为“ 变化过程中变量之间关系” 的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关学问的联系；用二次函数解决最值问题例 1 已知边长为4 的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图）,其中 AF=2,BF=1试在 AB上求一点P,使矩形 PNDM有最大面积【评析】此题是一道代数几何综合题,把相像三角形与二次函数的学问有机的结合在一起,能很好考查学生的综合应用才能同时,也给

24、同学探究解题思路留下了思维空间例 2 某产品每件成本10 元,试销阶段每件产品的销售价x（元） .与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：x（元）15 20 30 y（件）25 20 10 如日销售量 y 是销售价 x 的一次函数（1）求出日销售量 y（件）与销售价 x（元）的函数关系式；（2）要使每日的销售利润最大,每件产品的销售价应定为多少元？.此时每日销售利润是多少元？【解析】（ 1）设此一次函数表达式为y=kx+b就15 k2 kb25,解得 k=-1 ,b=40,.即一次函数表达b20式为 y=-x+40 （2）设每件产品的销售价应定为 x 元,所获销售利润为 w元 w=（x-10

25、 ）（40-x ）=-x 2+50x-400=- （x-25 ）2+225产品的销售价应定为 25 元,此时每日获得最大销售利润为 225 元【点评】 解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似,也有区分, 主要有两点：（ 1）设未知数在 “ 当某某为何值时, 什么最大 （或最小、最省） ” 的设问中, .“ 某某”要设为自变量,“ 什么”要设为函数；（2）.问的求解依靠配方法或最值公式,而不是解方程名师归纳总结 例 3.你知道吗 .平常我们在跳大绳时,绳甩到最高处的外形可近第 8 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载4 m,距地面均为1m,同学丙、似地看为抛物线如下列图,正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距为丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、25 m 处绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶已知同学丙的身高是15 m,就同学丁的身高为 建立的平面直角坐标系如右图所示 A15 m B 1625 m C166 m D 167 m 分析：此题考查二次函数的应用答案： B 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页