2022年五年级奥数教程公式集.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 常用数据11111 11111=123454321 111111 111111=12345654321 1 92=11 2 a2 b=1111111 1111111=1234567654321 2 55=3025 12 93=111 11111111 11111111=123456787654321 111111111 111111111=1234567887654321 123 94=1111 1234 95=11111 1111111111 1111111111=12345678987654321 12345 96=111111 abab1

2、23456 97=1111111 1234567 98=11111111 ababab10112345678 99=111111111 9 97=88 abcabcabc100198 96=888 987 95=8888 abababab101019876 94=88888 98765 93=888888 2 15=225 2 25=625 2 35=1225 2 45=2025 987654 92=8888888 9876543 91=88888888 199 9=100 65 2 =4225 75 2 =5625 85 2 =7225 95 2 =9025 名师归纳总结 11898 9=1

3、000 142857 2=285714 第 1 页,共 11 页1117987 9=10000 142857 3=428571 111169876 9=100000 142857 4=571428 11111598765 9=1000000 142857 5=714285 1111114987654 9=10000000 142857 6=857142 111111139876543 9=100000000 142857 7=999999 11111111298765432 9=1000000000 12345679 9=111111111 1111111111987654321 9=1000

4、0000000 加法中的速算1 1=1 （1）加法交换律abba11 11=121 （2）加法结合律abcabc111 111=12321 1111 1111=1234321 （3）互补数假如两个数的和是整十、整百、整千 那么这样的两个数叫做- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 互为补数；括号前面是加号,去掉括号不变号；减法中的速算 加号后面添括号,括号里面不变号；（1）一个数减去几个数的和,可以用这个数依次减去和里面的各个加数；括号前面是减号,去掉括号要变号；abcdmabcdm减号后面添括号,括号里面要变号；注：号是指数字前面的运算符号；（2）一个数减

5、去两个数的差,可以用这个数先减去差里的被减数,再加上减假如我们能够敏捷运用运算定律和运算性质运算,会使运算做得又对又快；数；或用这个数加上差里的减数,再减去被减数；乘法中的速算,要运用以下定律：a乘法中速算cabcabcacb（1）乘法交换律abb（3）一个数里连续减去几个数,可以交换减数的位置,差不变；（2）乘法结合律abcabcabcdacdbadcb加减法混合运算的性质：（3）乘法安排律abcacb（1）交换的性质：在加减法混合运算式题中,带着数字前面的运算符号,交换加减数的位置次序进行运算,其结果不变；（4）乘法性质两个数的差与一个数相乘,可以用被减数和减数分别与这个abcacbac数

6、相乘,再把所得的积相减；abcacbc再除以商里一个数与两个数的商相乘,可用这个数先与商里的被除数相乘,abcbcabc的除数；或用这个数先除以商里的除数,再与商里的被除数相乘；abcbacabcabcacb（2）结合的性质：在加减混合运算式题中,可以把加数、减数用括号结合起来,当加号后面添括号时,原先的运算符号不变；当减号后面添括号时,就原（5）积的变化规律来的减数变加数,加数变减数；如：abcambmcambmcabcdm=abcdmabcd（6）特别数字的乘积5 2=10 25 4=100 125 8=1000 =abcdmbcdm625 16=10000 37 3=111 75 4=3

7、00 375 8=3000=ambcdmbcd除法中的速算除法中的速算,要依据以下各种性质：在加减混合运算中,依据运算定律和运算性质可以归纳为：（1）两个数或几个数的积除以一个数,可以先用积里的任何一个因数除以这名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 个数,所得的商再与其他因数相乘；在乘法、除法和乘除法混合运算中,依据运算的定律和运算性质,可以归纳abcmambc为：括号前面是乘号,去掉括号不变号；乘号后面添括号,括号里面不变号；括号前面是除号,去掉括号要变号；除号后面添括号,括号里面要变号；注：号是指数字前面的运算符号

8、；等差数列求和 数列是指按肯定规律次序排列成一列数；假如一个数列中从其次个数开头,=abmc=abcm（2）一个数除以两个数的积,可以用这个数依次除以积里的各个因数；abcabc每一个数减去前一个数所得的差都是相等的话,我们就把这样的一列数叫做等（3）一个数除以两个数的商,可以用这个数除以商里的被除数,再乘以商里 的除数；或者用这个数乘以商里的除数,再除以商里的被除数；差数列；等差数列中的每一个数都叫做项,第一个数叫第一项,通常也叫“ 首项”,第abcabcacb二个数叫其次项,第三个数叫第三项 最终一项叫做“ 末项”；等差数列中相邻两项的差叫做“ 公差”；（4）两个或几个数的和除以一个数,可

9、以把和里的各个数分别除以这个数,再把它们的商相加；等差数列中项的个数叫做“ 项数”；sn =a 1an n 2 abcmambmcmn =ana 1 d 1 （5）两个数的差除以一个数,可以用被减数、减数分别除以这个数,再把所 得的商进行相减；an=（n1） d a1abcacbcdana 1n1（6）商不变的性质：假如被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数,商不变；abcambmca 1ann1dambmcm0和倍问题（7）乘除法混合运算的交换性质：在乘除混合运算中,带着数字前面的运算己知几个数的和及这几个数之间的倍数关系,求这几个数的应用题叫和倍问名师归纳总结 符号交换乘数、除数的位置,结果

10、不变；cbbca题；,再依据其他第 3 页,共 11 页abca解答和倍问题,一般是先确定较小的数为标准数（或称一倍数）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 几个数与较小数的倍数关系,确定总和相当于标准数的多少倍,然后用除法求（2）两个人的年龄同时都增加同样的数量；出标准数,再求出其他各数；为了帮忙我们懂得题意弄清数量关系,从而找到（3）两个年龄之间的倍数关系,随着年龄的增长,也在发生变化；解题的途径,最好采纳画线段图的方法；年龄问题的解题方法是：和倍应用题的解法可以牢记以下几个公式：几年后 =大小年龄之差 倍数差小年龄和 （倍数 1）=1 倍数（较小数）

11、几年前 =小年龄大小年龄差 倍数差1 倍数 倍数 =几倍的数（较大的数）或 和小数 =大数 平均数差倍问题 求平均数必需知道总数和份数,可以写成公式：己知两个数的差及它们之间的倍数关系,求这两个数的应用题叫差倍问题；平均数 =总数 份数 总数 =平均数 份数解答差倍问题,一般以较小数作为标准数（一倍数）,再依据大小两数之间的 份数 =总数 平均数倍数关系,确定差是标准数的多少倍,然后用除法先求出较小数,再求出较大 相遇问题数；走路、行车等匀速运动中的速度、时间和路程三者关系的应用题叫行程问题；解答这类问题,先画线段图,帮忙分析数量关系；差 （倍数 1）=1 倍数（较小的数）行程问题依据题目的内

12、容、性质所需要解答案的问题,又分为相遇问题、追及 问题、火车过桥问题等；解答各类行程问题的基础,要把握速度、时间和路程1 倍数 倍数几倍的数（较大的数）或较小数差 =较大的数2三种量之间的关系：和差问题路程 =速度 时间和差问题是依据大小两个数的和与两个数的差求大小两个数各是多少的应用时间 =路程 速度题；解答这种应用题,第一要弄清两个数相差多少的不同表达方式；可以挑选速度 =路程 时间大数作为标准数；以小数作为标准数,从和里减去两数的差,恰好是小数是相遇问题的特点是两个运动物体或人,同时或不同时从两地相向而行,或同时倍,除以2 就可以求出小数；如以大数作为标准数,把小数加上两个数的差,同地相

13、背而行,要解答相遇问题,把握以下数量关系：正好是两个数,除以2 就可以求出大数；速度和 相遇时间=路程解答和差问题的基本公式是：路程 速度和 =相遇时间（和差）2=较小数速度 相遇时间=速度和（和差）2=较大数速度和速度甲=速度 乙和小数 =大数或：大数差 =小数追及问题和大数 =小数或：小数差 =大数运动的物体或人同向而不同时动身,后动身的速度快, 经过一段时间追上先出九、年龄问题发的,这样的问题叫做追及问题,解答追及问题的基本条件是“ 追及路程” 和己知两个人或几个人的年龄,求他们年龄之间的某种数量关系；或己知某些 人年龄之间的数量关系,求他们的年龄等,这种题称为年龄问题；年龄问题的“ 速

14、度差” ；追及问题的基本数量关系是：追准时间 =追及路程 速度差名师归纳总结 特点是：追及路程 =速度差 追准时间第 4 页,共 11 页（1）两人的年龄之差是不变的,称为定差；速度差 =追及路程 追准时间- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 行船问题都是原先运算的逆运算（即变加为减,变减为加,变乘为除,变除为乘）；船在江河里航行,前进的速度与水流淌的速度有关系；船在流水中行程问题,方阵问题叫做行船问题（也叫流水问题）；许多的人或物按肯定条件排成正方形（简称方阵）,再依据己知条件求总人数,船顺流而下的速度和逆流而上的速度与船速、水速的关系是：这类题叫方阵问

15、题；在解决方阵问题时,要搞清方阵中一些量（如层数,最外顺水速度 =船速水速 层人数,最里层人数,总人数）之间的关系；要开动脑筋,可用多种方法来解逆水速度 =船速水速 题；由于顺水速度是船速与水速的和,逆水速度是船速与水速的差,因此行船问题 方阵问题的基本特点是：就是和差问题,所以解答行船问题有时需要驼用和差问题的数量关系；（1）方阵不管在哪一层,每边的人数都相同,每向里面一层,每边上的人数船速 =（顺水速度逆水速度）2 速削减 2,每一层就少8；水速 =（顺水速度逆水速度）2 （2）每层人数 =（每边人数 1） 4 由于行船问题也是行程问题,所以在行船问题中也反映了行程问题的路程、（3）每边人

16、数 =每层人数41 度与时间的关系；（4）实心方阵人数=每边人数 每边人数顺水路程 =顺水速度 时间SN外N外8K1K逆水路程 =逆水速度 时间2过桥问题过桥问题的一船的数量关系是：=2K N 外8 KK1路程 =桥长车长2车速 =（桥长车长） 通过时间通过时间 =（桥长车长） 车速=K N外4K1K车长 =车速 通过时间桥长桥长 =车速 通过时间车长S总 =4 （最外层一边人数层数） 层数植树问题在首尾不相接的路线上植树,段数与棵数关系可分为三类： =4 （ n-K） K （1）两端都种树段数 =棵数 1 =4 nK4K2（2）一端种一端不种段数 =棵数（3）两端都不种段数 =棵数 1 幻方

17、与数阵在首尾相接的路线上种树（如圆、正方形、闭合曲线等）段数=棵数幻方的特点：一个幻方每行、每列、每条对角线上的几个数的和都相等；这相仍原问题相等的和叫“ 幻和”；仍原问题又叫逆推问题；己知一个数的结果,再经过逆运算反求原数,叫数阵有三种基本类型： （1）封闭型,（ 2）辐射型（ 3）综合型名师归纳总结 做仍原问题；解决这类题要从结果动身,逐步向前一步一步推理,每一步运算解数阵问题一般思路是从和相等入手,确定重处长使用的中心数,是解答解数第 5 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 阵类型题的解题关键；有时,数阵问题的答案不是唯独的；（1）

18、凡是由偶点组成的连通图,肯定可以一笔画成；画时可以任一偶点为起奇数与偶数点,最终能以这个点为终点画完此图；（2）凡是只有两个奇点（其余均为偶点）的连通图,肯定可以一笔画完；画时必需以一个奇点为起点,另一个奇点为终点；乘法原理加法：偶数偶数=偶数奇数奇数 =偶数 偶数奇数 =奇数减法：偶数偶数=偶数假如完成一件事需要n 个步骤,在第一个步骤中有m1 种不同方法,在其次个奇数奇数 =偶数 偶数奇数 =奇数步骤中有 m2种不同方法, 在第n 个步骤中有 mn 种不同的方法,那么完成乘法：偶数 偶数=偶数奇数 奇数 =奇数 偶数 奇数 =偶数盈亏问题 解盈亏问题通常是比较法和对应法结合使用；公式是：

19、人数 =两次安排结果差 两次安排数差这件事共有Nm 1m 2m n种不同的方法；加法原理假如完成一件事有几类方法,在第一类方法中有m1 种不同的挑选,在其次类牛吃草问题 牛吃草问题涉及三种数量：A. 原有的草； B. 新长出的草； C.牛吃掉的草；牛吃草问题解法一般分为三步：一、求新生的草量；二、求原有草量；三、求 出最终的问题；仍原问题解题关键： 在从后往前推算的过程中,每一步都是做同原先相反的运算,原先方法中有 m2种不同挑选 在第 n 类方法中有 mn 种不同的挑选, 那么完成这件事共有 N m 1 m 2 m n 种不同的方法；排列加的,运算时用减；原先减的,运算时用加；原先乘的,运算

20、时用除；原先除一般地说,从 n 个不同的元素中任取出m 个mn元素,依据肯定的次序排的,运算时用乘；成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列；假设问题假设法是解答应用题时常常用到的一种方法；所谓“ 假设法” 就是依据题目中一般地,从 n 个不同的元素中任取出m 个mn元素,排成一列的问题,可的己知条件或结论作出某种设想,然后依据己知条件进行推算,依据数量上出现的冲突,再适当调整,从而找到正确答案；余数问题一个带余数除法算式包含 4 个数：被除数 除数 =商 余数；它们的关系也可表示为：被除数 =除数 商余数,或（被除数余数） 除 数=商；一笔画和多笔画以看成是从 n 个不同元素中

21、取出 m 个,排在 m 个不同的位置上的问题,每个m排列共需要 m 步,每一步又有如干种不同的方法,排列数 p n可以这样运算：mp n n n 1 n 2 n m 1组合名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 一般地说,从从n 个不同的元素中任取出m 个mn元素组成一组,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素中一个组合, 全部组合的个数, 用符号 cm n表示；因此我们可以得到组合公式：m c npmnn1n22nm1npmmm1m1m抽屈原就抽屉原就：把n+1（或更多）个苹果放到n 个抽屉里,那么至少有一个抽屉里有两个

22、或两个以上的苹果；我们把这个结论称为抽屉原就一；由此我们可以得到抽屉原就二；把（m n+1）个（或更多个） 苹果放进 n 个抽屉里, 必需一个抽屉里有 （m+1）个（或更多的）苹果；说明：应用抽屉原就解题,要从最坏的情形去摸索；列方程解应用题列方程解应用题的一般步骤是：1、依据据题意设某一个示知数为 x ；2、依题意找出题中相等的数量关系；3、依据相等的数量关系列出方程；4、解方程；5、检验并写出答案；整除的特点名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 7整除；分解因式 把一个合数写成几个质数相乘的形式,叫做分解质因数；一

23、个自然数的约数的个数,恰为质因数的指数加 1 后的乘积；一个数的完全平方数,各个质因数的个数,恰好是平方前这个数各个质因数个 数的 2 倍；一个完全平方数各个质因数的个数都是偶数；最大公约数与最小公倍数几个数公有的约数,叫做这几个数的公约数；其中最大的一个叫做这几个数的最大公约数；几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个,叫做这几个数 的最小公倍数；求两个数的最大公约数一般有三种方法：（1）分解质因数法（2）短除法（3）辗转相除法 求几个数的最小公倍数的方法也有三种：（1）分解质因数法（2）短除法（3）aba,ba,b分数的比较分母相同的分数比较大小,分子大的分数比较大；分子相同

24、的分数比较大小,分母大的分数反而小；分子和分母都不相同的分数比较大小,可以把它们转化成分母相同的分数比较 大小；也可以把它们转化成分子相同的分数比较大小；名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 用“ 第三个数” 1 比较大小 2行转化,找出所求数量相当于单位“1” 的几分之几,再列式解答；2 仍可以借助线段图来帮忙懂得题意,列式解答；用“ 第三个数” 1 比较大小3 对较复杂的分数应用题,仍可以列方程来解答；一个真分数的分子和分母都加上同一个自然数,所得的新分数比原分数大；利润问题一个真分数的分子、分母都减去同一个自然数

25、（这个自然数小于真分数的分1 商品定价高了,就可能卖不掉,那么就要降低利润（甚至亏本）减价出售,子）,所得的新分数比原分数小；,减价也叫打折扣,减价20 ,就是按定价的1-20 =80 出售,通常也叫做打一个假分数的分子、分母都减去同个自然数（这个自然数小于假分数分母）八折出售；所得的新分数比原分数大；一个假分数的分子、分母都加上同一个自然数,所得的新分数比原分数小；2 利润问题和商品出售问题与我们平常的生活实际的联系是非常亲密的,解答 利润问题你必需懂得以下的关系式；（对折后剪的次数）21=得到的段数；（1）利润 =卖价成本100最大最小（2）利润的百分数=（卖价成本） 成本1、解答最大最小

26、的问题,可以进行枚举比较；在有限的情形下,通过运算,（3）卖价 =成本 （ 1利润率）将全部情形的结果列举出来,然后比较出最大值或最小值；2、运用规律； （1）两个数的和肯定,就它们的差越接近,乘积越大；当它们（4）成本 =卖价 （ 1利润率）工程问题相等（差为0）时,乘积最大；1 在解答工程问题时,常把“ 一项工程” 看作单位“1” ,依据工作总量、工作3、考虑极端情形；如“ 连接两点间的线段最短”、“ 作对称点”、“ 联系实际考效率和工作时间三者之间的关系进行解题；2 解题时,要善于运用常见的数学思想方法如假设法、转化法、代换法；数进制虑问题” 等；比较大小估算最常用的技巧是“ 放大缩小”

27、,即先对某个数或算式进行适当的“ 放大”1 将任意一个P 进制的数amam1a2a 1 a0p改写成十进制的数,只或“ 缩小” ,确定它的取值范畴,再依据其他条件得出结果,调整放缩幅度的方法有两条：一是分组（分段）,并尽可能使每组所对应的标准相同；另一种要写成ampmam1pm1a2p2a 11 pa 0,运算其相应方法是按近似数乘除法运算法就,比要求的精确度多保留一位,进行运算；钟表问题1 解答钟表问题,我们第一想方法把有些能转化成相遇或追及问题的转化为相 遇或追及问题来解答；2 解答钟表上的时间快慢问题,关键是抓住单位时间内的误差,然后依据某一的结果；2 将任意一个十进制数化为P 进制数p

28、0或 1都可以用 P 去除这个数,登记余数,直至商为0,然后将余数自下而上依次排列；时间段内含多少个单位时间,就可以求出这一时间段内的误差；3 二进制的妙用,在日常生活中常常会遇到,应敏捷运用；名师归纳总结 圆的运算圆柱体的侧面积=2rh圆柱和圆锥第 9 页,共 11 页1 解答较复杂的分数应用题,肯定要找准单位“1” ,假如单位“1” 的量是变化的,就要从题目中找出不变的量,把不变的量看作单位“1”,将己知条件进- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 圆柱体的表面积=r2h圆锥体的体积 =1r2h3比和比例1 解答按比便安排的应用题,关键是依据题目的己知条

29、件,找出部重量与总量 之间的关系；把己知数量与份数对应起来,转化为求一个数的几分之几来做；即按以下公式某量的数量总数量某量的份数总份数2 对通过增减数量来转变原先的比例关系的题目,解答时要抓住不变的量来解a+b=c+d ab=cd 题；ABAEBEACCDCD裂项法名师归纳总结 S圆 =2S正方形 ad=bc BEABba=1 aa 11=a 12a21an1第 10 页,共 11 页abbba11ababa na 3a 1a2a na 3S圆 =4S正方形AE EDa21a nn1a 3ECCD11n=23n- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 11 页