2022年中考数学专题复习三角形、三角形的相似及全等、解直角三角形.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 一. 教学内容：复习八 三角形、三角形的相像及全等、解直角三角形二. 教学目标：（1）把握三角形、三角形的全等、相像及解直角三角形的有关概念；（2）利用三角形的相像、全等及解直角三角形的学问进行运算、解答有关综合题；（3）培育同学的转化、数形结合、及分类争论的数学思想的才能三. 教学重点、难点：三角形、三角形的相像及全等、解直角三角形的基础学问、基本技能是本节的重点；难点是综合应用这些学问解决问题的才能；四. 课堂教学（一）学问要点学问点 1 三角形的边、角关系三角形任何两边之和大于第三边；三角形任何两边之差小于第三边；三角形三个内角的和等于

2、180 ；三角形三个外角的和等于 360 ；三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；学问点 2 三角形的主要线段和外心、内心三角形的角平分线、中线、高；三角形三边的垂直平分线交于一点,这个点叫做三角形的外心,三角形的外心到各顶点的距离相等；三角形的三条角平分线交于一点,这个点叫做三角形的内心,三角形的内心到三边的距离相等；连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线,第三边的一半；学问点 3 等腰三角形等腰三角形的识别：有两边相等的三角形是等腰三角形；三角形的中位线平行于第三边且等于有两角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）；三边相等的三角形是等

3、边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是 60 的等腰三角形是等边三角形；等腰三角形的性质：等边对等角；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合；等腰三角形是轴对称图形,底边的中垂线是它的对称轴；名师归纳总结 等边三角形的三个内角都等于60 ；第 1 页,共 14 页学问点 4直角三角形- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 直角三角形的识别：有一个角等于 90 的三角形是直角三角形；有两个角互余的三角形是直角三角形；勾股定理的逆定理：假如一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形；直角三角形的性质：直角

4、三角形的两个锐角互余；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；学问点 5 全等三角形定义、判定、性质学问点 6 相像三角形定义相像三角形判定方法两对应边的比相等,夹角相等两个对应角相等三条对应边的比相等对应边的比对应高的比 等于相像比相像三角形的性质周长比面积比 相像比平方学问点 7 锐角三角函数与解直角三角形转化直角三角形问题常用术语视角坡度方位角【典型例题】名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 1. （1）已知：等腰三角形的一边长为12,另一边长为5,求第三边长

5、；（2）已知：等腰三角形中一内角为80 ,求这个三角形的另外两个内角的度数；分析： 利用等腰三角形两腰相等、两底角相等即可求得；解：（1）分两种情形：如腰长为12,底边长为5,就第三边长为12；故不合题意；如腰长为5,底边长为 12,就第三边长为5；但此时两边之和小于第三边,因此第三边长为12；（2）分两种情形：如顶角为 80 ,就另两个内角均为底角分别是 50 、 50 ；如底角为 80 ,就另两个内角分别是 80 、 20 ；因此这个三角形的另外两个内角分别是50 、 50 或 80 、 20 ；说明： 此题运用“ 分类争论” 的数学思想,此题着重考查等腰三角形的性质、三角形的三边关系；例

6、 2. 已知：如图,ABC 和 ECD 都是等腰三角形,ACB DCE90 , D 为 AB 边上的一点,求证： （1） ACE BCD,（2） AD 2 AE 2 DE 2 ；ADEBC分析：要证 ACE BCD,已具备 ACBC,CECD 两个条件, 仍需 AEBD 或 ACE BCD ,而 ACE BCD 明显能证 ;要证 AD 2 AE 2 DE 2 ,需条件 DAE 90 ,由于BAC45 ,所以只需证CAE B45 ,由 ACE BCD 能得证；证明：（1） DCE ACB90 , DCE ACD ACB ACD ,即 ACE BCD, ACBC, CECD, ACE BCD；（2

7、） ACE BCD , CAE B45 , BAC B 45 , DAE90 ,AD 2 AE 2 DE 2 ；例 3. 已知：点 P 是等边 ABC 内的一点, BPC150 , PB2,PC3,求 PA 的长；APB CD名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 分析： 将 BAP 绕点 B 顺时针方向旋转PCD 为直角三角形；解： BCBA,60 至 BCD ,即可证得 BPD 为等边三角形,将 BAP 绕点 B 顺时针方向旋转 60 ,使 BA 与 BC 重合,得 BCD ,连结 PD；BDBP2,PADC； BP

8、D 是等边三角形； BPD60 ； DPC BPC BPD 150 60 90 ；DC PD22 PC2 22 31313,PB2,PC3；能求出 BPCPA DC13 ；【变式】 如已知点 P 是等边 ABC 内的一点, PA的度数吗？请试一试；例 4. 如图,P 是等边三角形 且 BQ BP,连结 CQABC 内的一点, 连结 PA、PB、PC,.以 BP 为边作 PBQ60 ,（1）观看并猜想 AP 与 CQ 之间的大小关系,并证明你的结论（2）如 PA：PB：PC3： 4：5,连结 PQ,试判定PQC 的外形,并说明理由解：（1）把 ABP 绕点 B 顺时针旋转60 即可得到CBQ .

9、利用等边三角形的性质证 ABP CBQ ,得到 APCQ（2）连接 PQ,就 PBQ 是等边三角形3： 4：5, PQC 是直角三角形PQPB,APCQ 故 CQ： PQ：PCPA：PB：PC点评： 利用等边三角形性质、判定、三角形全等、直角三角形的判定等学问点完成此题的 证明例 5. 如图,有两个长度相同的滑梯（即BCEF）,左边滑梯的高度AC .与右边滑梯水平方向的长度 DF 相等,就 ABC DFE_分析：ABC 与 DFE 分布在两个直角三角形中,便会迎刃而解.如说明这两个直角三角形全等就问题解答： 在 Rt ABC 和 Rt DEF 中, BCEF,ACDF, ABC DEF,. A

10、BC .DEF ,名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - ABC DFE90 ,因此填 90 点评：此例主要依据用所探究的直角三角形全等的条件来识别两个直角三角形全等,并运用与它相关的性质进行解题例 6. 中华人民共和国道路交通治理条例规定：“ 小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过 70 千米 /时” .一辆小汽车在一条城市街道上由西向东行驶（如下列图）,在距离路边 25 米处有“ 车速检测仪 O” ,.测得该车从北偏西 60 的 A 点行驶到北偏西 30 的 B 点,所用时间为 1.5 秒（1）试求该车从 A 点到 B

11、 的平均速度； （2）试说明该车是否超过限速解析：（1）要求该车从 A 点到 B 点的速度只需求出 AB 的距离,在 OAC .中, OC25 米 OAC 90 60 30 , OA 2CO50 米由勾股定理得CA 2 OAOC22 502 25253 （米）在 OBC 中, BOC 301BC2OB；2BC2252 （ 2BC）25BC33 （米）3 25503 （米）AB AC BC25333从 A 到 B 的速度为503 1.51003 （米 /秒）39100（2）93 米/秒 69.3 千米 /时69.3 千米 /时 0）； ACB 90o,CD AB； CD 2AD.BD,622k.

12、3k, k6 ； AB56；又 AC2AD.AB, AC215；例 11. 已知 ABC 中, ACB90o, CH AB,HEBC,HF AC；求证：（1） HEF EHC；（2） HEF HBC ；分析： 从已知条件中可以获得四边形CEHF 是矩形,要证明三角形全等要收集到三个条名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 件,有公共边EH,依据矩形的性质可知EFCH,HF EC；要证明三角形相像,从条件中得FHE CHB 90o,由全等三角形可知,HEFHCB,这样就可以证明两个三角形相像；证明： HEBC,HF AC,

13、 CEHCFH90o；又 ACB90o,四边形EFCH,HF EC, FHE 90o；又 HEEH, HFE EHC ； HEF HCB ； FHE CHB90o, HEF HBC；CEHF 是矩形；说明： 在这一题的分析过程中,走“ 两头凑” 比较快捷,从已知动身,发觉有用的信息,从结论动身,查找解决问题需要的条件；解题中仍要留意上下两小题的“ 台阶” 关系；培育学生良好的思维习惯；例 12. 两个全等的含 30o,60o角的三角板 ADE 和 ABC 如下列图放置,E,A, C 三点在一条直线上,连接 BD,取 BD 的中点 M,连结 ME ,MC ；试判定EMC 是什么样的三角形,并说明

14、理由；B M D 分析： 判定一个三角形的外形,E A C 或许是等腰三角形；这可以结合所给出的图形作出假设,样就可以转化为另一个问题：尝试去证明 决,然而图中没有外形大小一样的两个三角形；EM MC,要证线段相等可以查找全等三角形来解 这时摸索的问题就可以转化为这样一个新问题：如何构造一对全等三角形？依据已知点 M 是直角三角形斜边的中点,产生联想：直角三角形 斜边上的中点是斜边的一半,得：MD MB MA；连结 M A 后,可以证明MDE MAC；答： EMC 是等腰直角三角形；证明： 连接 AM ,由题意得,DEAC,ADAB, DAE BAC 90o； DAB90o； DAB 为等腰直

15、角三角形；又 MD MB ,MA MD MB,AM DB, MAD M AB 45o； MDE MAC 105o, DMA 90o； MDE MAC ； DME AMC ,MEMC；又 DME EMA 90o, AMC EMA 90o；MCEM ； EMC 是等腰直角三角形；说明：构造全等三角形是解决这个问题的关键,充分熟悉和对学问点的联想可以找到添加帮助线的途径；那么构造全等又如何进行的呢？对条件的 构造过程中要不断地转化问题或转化名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 思维的角度；会转化,善于转化,更能表达思维的敏捷

16、性；在问题中创设以三角板为情境也是考题的一个热点；【模拟试题】（答题时间： 40 分钟）1. 如图,ABC 中, D、E 分别是 AC、AB 上的点, BD 与 CE 交于点 O,.给出以下三个；条件： EBO DCO ； BEO CDO ； BECD（1）上述三个条件中,哪两个条件可判定ABC 是等腰三角形（用序号写出全部情形）（2）挑选第（ 1）小题中的一种情形,证明ABC 是等腰三角形2. （1）已知如图,在AOB 和 COD 中,OA OB,OCOD ,AOB COD 60o；求证： ACBD, APB60o；（2）如图,在AOB 和 COD 中,OAOB,OCOD ,AOB COD

17、,就 AC与 BD 间的等量关系式为 _； APB 的大小为 _；（3）如图,在AOB 和 COD 中, OAkOB,OCkOD（ k1）, AOB COD ,就 AC 与 BD 间的等量关系式为_； APB 的大小为 _；D O O O D D A P C P C B CA B B A P3. 一块直角三角形木板的一条直角边 AB 长为 1.5m,面积为 1.5m 2,工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形,请两位同学设计加工方案,甲设计方案如图（1）,乙设计的方案如图（2）；你认为哪位同学设计的方案较好？试说明理由；（加工损耗忽视,运算结果可保留分数）C D E DBP E B 1FA

18、AG H 2F C4. 一般的室外放映的电影胶片上每一个图片的规格为：3.5cm 3.5cm,放映的荧屏的规格名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 为 2m 2m,如放映机的光源距胶片 刚好布满整个荧屏？20cm 时,问荧屏应拉在离镜头多远的地方,放映的图象5. 如图,已知 MON 90o,等边三角形 ABC 的一个顶点 A 是射线 OM 上的肯定点,顶点B 与点 O 重合,顶点 C 在 MON 内部；（1）当顶点 B 在射线 ON 上移动到 B1 时,连结 AB1 为一边的等边三角形 AB1C1（保留作图痕迹,不写作

19、法和证明）；（2）设 AB1 与 OC 交于点 Q,AC 的延长线与 B1C1 交于点 D；求证：AC AD AB 1 AQ；（3）连结 CC1,试猜想 ACC1 为多少度？并证明你的猜想；6. 如下列图,设 A 城气象台测得台风中心在 A.城正西方向 600km 的 B 处,正以每小时 200km的速度沿北偏东 60 的 BF 方向移动,距台风中心 500km.的范畴是受台风影响的区域（1）A 城是否受到这次台风的影响？为什么？（2）如 A 城受到这次台风的影响,那么 A 城遭受这次台风的影响有多长时间？7. （1）如图,在 Rt ABC 中, C90 ,AD 是 BAC 的角平分线, CA

20、B 60 ,.CD3 ,BD 23 ,求 AC, AB 的长ABC ,.有人已经测出A30 , AC 40 米,（2）“ 试验中学” 有一块三角外形的花园BC25 米,你能求出这块花园的面积吗？（3）某片绿地势状如下列图,其中100m, .求 AD、BC 的长AB BC,CD AD, A 60 , AB 200m, CD名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 8. 高为 12 米的教学楼ED 前有一棵大树AB ,如下列图（1）某一时刻测得大树 AB ,教学楼 ED 在阳光下的投影长分别是 BC2.5 米, DF7.5米

21、,求大树 AB 的高度；（2）现有皮尺和高为 h 米的测角仪,请你设计另一种测量大树 AB 高度的方案,要求：在图中,画出你设计的图形（长度用字母 m,n 表示,角度用希腊字母 , 表示）；依据你所画出的示意图和标注的数据,求出大树的高度并用字母表示9. 如下列图,某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼,.该居民楼的一楼是高 6 米的小区超市,超市以上是居民住房,在该楼的前面 15.米处要盖一栋高 20 米的新楼当冬季正午的阳光与水平线的夹角为 32 时（1）问超市以上的居民住房采光是否受影响,为什么？（2）如要使超市采光不受影响,两楼至少应相距多少米？（53sin32 100 ,cos32 ）

22、.结果保留整数, .参考数据：名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【试题答案】1. 解：（1）或（2）已知求证ABC 是等腰三角形证：先证EBO DCO 得 OB OC,得 DBC ECB ABC ACB 即 ABC 是等腰三角形2. 证明：AOB 和 COD 为正三角形,OAOB,OD OC, AOB 60o, COD60o； AOB BOC COD BOC, AOC BOD ； AOC BOD , ACBD； OAC OBD , APB AOB60o；（2）AC 与 BD 间的等量关系式为（3）AC 与 BD

23、间的等量关系式为ACBD； APB 的大小为 ；ACkBD； APB 的大小为 180o ；3. 解：方案（ 1）：有题意可知,DE BA,.；x22x,x6得 CDE CBA；1 .57方案（ 2）：作 BH AC 于 H；DE AC,得 BDE BAC；x1 .2x,x30；630,图（ 1）加工出的正方形面积大；2.51 2.37737综上所得,甲同学设计的方案较好；4. 解：胶片上的图象和荧屏上的图象是位似的,镜头就相当于位似中心,因此此题可以转 80化为位似问题解答 ：7 m 5. 解：（1）如下列图；证明：（2） AOC 与 AB1C1 是等边三角形, ACB AB1D 60o；又

24、 CAQ B1AD, ACQ AB1D；名师归纳总结 - - - - - - -ACAQ,AB 1AD即ACADAQAB 1.（3）猜想 ACC190o；证明：AOC 和 AB1C1 为正三角形, AOAC,AB1AC1, OAC C1AB1, OAC CAQ C1AB1 CAQ, OAB 1 CAC1； AO B1 AC C1；第 12 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - ACC1 AOB190o；6. （1）作 AM BF 可运算 AM .300km500km ,故 A 城受影响（2）受影响时间为40024小时2007. 解：（1）AC 3,AB 6 （2）能

25、,分两种情形,S ABC 2003 150 和 S ABC2003 150 CCA30DBA30DB（3）延长 BC,AD 交于 E,AD 4001003 ,BC2003 2008. 解：连结 AC ,EF,（1）太阳光线是平行的,AC EF, ACB EFD, ABC .EDF 90 , ABC EDF,ABBC,AB2.5,EDDF127.5AB 4 米（2）如下列图：AB （ mtan h）米名师归纳总结 9. 解：（1）.超市以上居民住房采光受影响,由运算知新楼在居民楼上的投影高约11 米,故受影响第 13 页,共 14 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 20 8名师归纳总结 （2）.如要使超市采光不受影响,两楼至少相距：tan32 205 32（米）第 14 页,共 14 页- - - - - - -