2022年中考数学二次函数知识点总结及相关题型.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 精品学问点二次函数学问点总结及相关典型题目第一部分 基础学问1. 定义：一般地,假如yax2bxc a,b,c是常数,a0 ,那么 y 叫做 x 的二次函数 . k；2. 二次函数yax2的性质（ 1）抛物线yax2的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴. （ 2）函数yax2的图像与 a 的符号关系 . 当a0时抛物线开口向上顶点为其最低点；当a0时抛物线开口向下顶点为其最高点. （ 3）顶点是坐标原点,对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为yax2（a0）. 3. 二次函数yax2bxc的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线 . 4

2、. 二次函数yax2bxc用配方法可化成：yaxh2k的形式,其中hb,k4acab2. 2 a45. 二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式：yax2；yax2k；yaxh2；yaxh2yax2bxc. 6. 抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. a 的符号打算抛物线的开口方向：当a0时,开口向上；当a0时,开口向下；a 相等,抛物线的开口大小、外形相同. 平行于 y 轴（或重合）的直线记作xh. 特殊地, y 轴记作直线x0 . 7. 顶点打算抛物线的位置. 几个不同的二次函数,假如二次项系数a 相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同. 8. 求抛物线的顶点

3、、对称轴的方法（1）公式法：y2 axbxcaxb24 acb2,顶点是（kb4,acab2）,对称轴是直线xb. 2 a4 ay2a42aaxh2的形式,得到顶点为 h , k ,对称轴是直线（2）配方法：运用配方的方法,将抛物线的解析式化为xh. （3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结精品学问点b0（即 a 、称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无

4、一失. 9. 抛物线yax2bxc中,a,b,c的作用（1） a 打算开口方向及开口大小,这与yax2中的 a 完全一样 . （2） b 和 a 共同打算抛物线对称轴的位置. 由于抛物线yax2bxc的对称轴是直线xb,故：b0时,对称轴为 y 轴；b0（即 a 、b 同号）时,对称轴在y轴左侧；2 aaab 异号）时,对称轴在y 轴右侧 . （3） c 的大小打算抛物线yax2bxc与 y 轴交点的位置 . 当x0时,yc,抛物线yax2bxc与 y 轴有且只有一个交点（0, c ）：c0,抛物线经过原点; c0, 与 y 轴交于正半轴；c0, 与 y 轴交于负半轴 . 以上三点中,当结论和

5、条件互换时,仍成立. 如抛物线的对称轴在y轴右侧,就b0. a10. 几种特殊的二次函数的图像特点如下：函数解析式kk开口方向时对称轴顶点坐标b2 yax2x0（ y 轴）（0,0 ）0, k x0（ y 轴）yax2当a0xh h ,0 yaxh2xh h , k yaxh2开口向上yax2bxc当a0时xb 2 ab,4ac开口向下2a4 a11. 用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：yax2bxc. 已知图像上三点或三对x 、 y 的值,通常挑选一般式. x2. （2）顶点式：yaxxh2k. 已知图像的顶点或对称轴,通常挑选顶点式. （3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标x

6、、x ,通常选用交点式：yaxx 112. 直线与抛物线的交点（1） y 轴与抛物线yax2bxc得交点为 0, c . 第 2 页,共 16 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）与 y 轴平行的直线xh与抛物线yax2名师总结c精品学问点 h ,ah2bhc. bx有且只有一个交点（3）抛物线与 x 轴的交点二次函数yax2bxc的图像与 x 轴的两个交点的横坐标1x、x ,是对应一元二次方程ax2bxc0的两个实数根 . 抛物线与 x 轴的交点情形可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点 0 抛物线与 x 轴相交；有

7、一个交点（顶点在 x 轴上）0 抛物线与 x 轴相切；没有交点 0 抛物线与 x 轴相离 . （4）平行于 x 轴的直线与抛物线的交点同（ 3）一样可能有 0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 . 当有 2 个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为 k ,就横坐标是 ax 2 bx c k 的两个实数根 . （ 5 ） 一 次 函 数 y kx n k 0 的 图 像 l 与 二 次 函 数 y ax 2bx c a 0 的 图 像 G 的 交 点 , 由 方 程 组y kx n2 的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时 l 与 G 有两个交点 ; 方程组只有一组解时y ax bx cl

8、与 G 只有一个交点；方程组无解时 l 与 G 没有交点 . （6）抛物线与 x 轴两交点之间的距离：如抛物线 y ax 2 bx c 与 x 轴两交点为 A x 1,B x 2,由于 1x 、x 是方程 ax 2bx c 0 的两个根,故b cx 1 x 2 , x 1 x 2a a2 2AB x 1 x 2 x 1 x 2 2x 1 x 2 24 x 1 x 2 b 4 c b 4 aca a a a其次部分 典型习题. 抛物线 yx 22x2 的顶点坐标是（ D ）A.（2,2） B.（1, 2） C.（1, 3） D.（ 1, 3）. 已知二次函数 y ax 2 bx c 的图象如下列

9、图,就以下结论正确选项（ C ） ab0,c0 ab0,c0 ab0,c0 ab0,c0 A名师归纳总结 BEDFC第 3 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 第 , 题图c名师总结精品学问点）第 4 题图. 二次函数yax2bx的图象如下列图,就以下结论正确选项（Aa0,b0,c0 B Ca0,b0,c0 Da0,b0,c0 a0,b0,c0 . 如图,已知 ABC中,BC=8,BC上的高 h 4,D为 BC上一点, EF / / BC,交 AB于点E,交 AC于点 F（EF不过 A、B）,设 E 到 BC的距离为 x,就 DEF 的面

10、积 y关于 x 的函数的图象大致为（）4 y4 4 4O 2 4 x O 2 4 O 2 4 O 2 4A B C DEF 4 x EF 8 2 , y x 24 x8 4. 抛物线 y x 2 2 x 3 与 x 轴分别交于 A、B 两点,就 AB的长为 4 6. 已知二次函数 ykx 22k1 x1 与 x 轴交点的横坐标为 1x、x （xx 2）,就对于以下结论：当 x 2 时, y1；当 xx 2 时, y0；方程 kx 22 k1 x 10 有两个不相等的实数根 1x、2x； x 11,x 21； x 2 x 1 14k 2,其中全部正确的结论k是 （只需填写序号） 7. 已知直线

11、y 2 x b b 0 与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 B；一抛物线的解析式为y x 2b 10 x c . （1）如该抛物线过点 B,且它的顶点 P 在直线 y 2 x b 上,试确定这条抛物线的解析式；（2）过点 B 作直线 BCAB交 x 轴交于点 C,如抛物线的对称轴恰好过C点,试确定第 4 页,共 16 页直线y2xb的解析式 . 名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 精品学问点解：（1）y x 2 10 或 y x 24 x 62将（ ,b 代 入 , 得 c b . 顶 点 坐 标 为 b 10, b 16 b

12、 100, 由 题 意 得2 422 b 10b b 16 b 100,解得 b 1 10, b 2 6 . 2 4（2）y 2 x 28. 有一个运算装置,当输入值为 x 时,其输出值为 y ,且y 是 x 的二次函数,已知输入值为 2 ,0, 1时, 相应的输出值分别为 5, 3, 4 （1）求此二次函数的解析式；（2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象, 并依据图象写出当输出值y 为正数时输入值x的取值范畴 . 解：（1）设所求二次函数的解析式为yax2bxc, 就a2 2bb 2c35, 即ca34 , 解得a12a020c2bbabc4ab1c3故所求的解析式为:yx22x3.

13、（2 函数图象如下列图 . 由图象可得,当输出值xy为正数时,输入值 x的取值范畴是1或x39. 某生物爱好小组在四天的实 驼的体温会随外部环境温度 且在这四天中每昼夜的体温 们将一头骆驼前两昼夜的体验争论中发觉：骆 的变化而变化,而 变化情形相同他 温变化情形绘制成下图请依据图象回答：第 9 题.它的体温从最低上升到最第 5 页,共 16 页第一天中,在什么时间范畴内这头骆驼的体温是上升的名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 精品学问点高需要多少时间 . 第三天 12 时这头骆驼的体温是多少 . 爱好小组又在争论中发觉,图中 10

14、 时到 22 时的曲线是抛物线,求该抛物线的解 析式解：第一天中,从 4 时到 16 时这头骆驼的 体温是上升的它的体温从最低上升到最高需要12 小时交于 A、第三天 12 时这头骆驼的体温是39y1x22 x2410x221610. 已知抛物线yax243 a x4与 x 轴3 B 两点,与 y 轴交于点 C是否存在 ABC为直角三角形如存在,恳求 存在,请说明理由实数 a,使得 出 a 的值；如不解：依题意,得点C的坐标为（ 0,4）第 6 页,共 16 页设点 A、B 的坐标分别为（1x,0）,（2x,0）,由2 ax43 a x40,解得1x3,x 243 a4 ,0）3 a3点 A、

15、B 的坐标分别为（ -3 ,0）,（AB|43|,ACAO2OC25,3 aBCBO2OC2|4|2423 aAB2|432 |1623491689,3 a9 a23 a9 a2aAC225,BC216162 9 a当AB2AC2BC2时, ACB90 名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结精品学问点BC2400由AB2AC2BC2,得1689251616 9 a2a9 a2解得a14当a1时,点 B 的坐标为（16,0）,3AB2625,AC225,499于是AB2AC2BC2当a1时, ABC为直角三角形4当AC2AB2BC2时,

16、 ABC90 由AC2AB2BC2,得251689 1616 9 a2a9 a2解得a49当a4时,43443,点 B（-3 ,0）与点 A 重合,不合题意93 a9当BC2AC2AB2时, BAC90 由BC2AC2AB2,得1616251689 9 a29a2a解得a4 9不合题意综合、,当a1时, ABC为直角三角形411. 已知抛物线 y x2mxm2. （1）如抛物线与 x 轴的两个交点A、B 分别在原点的两侧,并且AB5 ,试求 m的值；（2）设 C为抛物线与 y 轴的交点, 如抛物线上存在关于原点对称的两点 M、N,并且 MNC的面积等于 27,试求 m的值 .解: 1 （x1,

17、0）,Bx2,0 . 就 x1 ,x2 是方程 x2mxm20 的两根 . x1 x2 m , x 1x2 =m2 0 即 m2 ; 又 AB x1 x2 （x 1 + ）24 x x 2 5 , m24m3=0 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解得： m=1或 m=3舍去 , 名师总结精品学问点y C m的值为 1 . （2）Ma,b ,就 Na, b . M、N是抛物线上的两点 , M x a a 22 ma ma m m 2 2 b , b . O N 得： 2a22m40 . a2 m2 . 当 m2

18、 时,才存在满意条件中的两点 M、N. a 2 m . 这时 M、N到 y 轴的距离均为 2 m , 又点 C坐标为（ 0,2m）, 而 S M N C = 27 , 21 2 （ 2m）2m =27 . 解得 m=7 . 12. 已知：抛物线 yax 24 axt 与 x 轴的一个交点 为 A（ 1,0）（1）求抛物线与 x 轴的另一个交点 B 的坐标；（2）D是抛物线与 y 轴的交点, C是抛物线上 的一点,且以 AB 为一底的梯形 ABCD的面积为 9,求此抛物线的 解析式；（3）E 是其次象限内到 x 轴、 y 轴的距离的比 为 52 的点,假如点 E 在（2）中的抛物线上,且它与点A

19、 在此抛物线对称轴的同侧,问：在抛物线的对称轴上是否存在点P,使 APE的周长最小 .如存在,求出点P 的坐标；如不存在,请说明理由解法一：名师归纳总结 （1）依题意,抛物线的对称轴为x 2B 的坐标为（ 3,0）抛物线与 x 轴的一个交点为A（ 1,0）,由抛物线的对称性, 可得抛物线与x 轴的另一个交点第 8 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）抛物线y名师总结精品学问点24ax3 a上,ax24axt与 x 轴的一个交点为A（ 1, 0 ）,a1 24a 1t0 t3ayax24ax3a D （0,3a）梯形 ABCD中,AB

20、 CD,且点 C在抛物线yax C （4,3a） AB 2,CD4梯形 ABCD的面积为 9,1ABCDOD9124 3 a922 a 1名师归纳总结 所 求 抛 物 线 的 解 析 式 为yx24x3或yx24 ax3（3）设点 E 坐标为（x ,y ）. 依题意,x 00,y00,且y 0 x 05y 5 x 022设点 E 在抛物线yx24x3上,y0x0 24x03解方程组y 05 2x 0,得x 06,x 051 2,4 x 03y 015；y0第 9 页,共 16 页y 0x 0 24点 E 与点 A 在对称轴 x 2 的同侧,点 E 坐标为（1 , 4 5 ）设在抛物线的对称轴x

21、 2 上存在一点P,使 APE的周长最小 AE 长为定值,要使 APE的周长最小,只须PAPE最小点 A 关于对称轴 x 2 的对称点是B（ 3,0）,由几何学问可知, P 是直线 BE与对称轴 x 2 的交点设过点 E、B 的直线的解析式为ymxn,1mn5,解得m1,224n3 2.3 mn.0直线 BE的解析式为y1 23把 x 2 代入上式,得y122- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结精品学问点x24x 03点 P 坐标为（ 2,1 ）2设点 E 在抛物线yx24x3上,y 00解方程组y05x 0,x 03 .消去y ,得x2 03x

22、03022y02 x 04 0 . 此方程无实数根1 ）,使 APE的周长最小2综上,在抛物线的对称轴上存在点P（ 2,解法二：（1）抛物线yax24axt与 x 轴的一个交点为A（ 1,0）,a1 24a1 t0 t 3a yax24ax3 a令 y 0,即ax24ax3a0解得x 11,x23抛物线与 x 轴的另一个交点B 的坐标为（3,0）（2）由yax24ax3a,得 D（0,3a）梯形 ABCD中, AB CD,且点 C在抛物线yax 24 ax3 a 上, C （4,3a） AB 2,CD4梯形 ABCD的面积为 9,x1ABCDOD9解得 OD323 3 a 124x3或yx24

23、x3所求抛物线的解析式为y（3）同解法一得, P 是直线 BE与对称轴 x 2 的交点如图,过点 E 作 EQx 轴于点 Q设对称轴与x 轴的交点为 F名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 由 PF EQ,可得BF BQPF名师总结PF精品学问点PF11 5EQ521 ）224点 P 坐标为（ 2,以下同解法一13. 已知二次函数的图象如下列图（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点 M的坐标（2）如点 N为线段 BM上的一点,过点 N作 x 轴的垂线,垂足为点 Q当点 N在线段 BM上运动时（点 N不与点 B,点 M重

24、合）,设 NQ的长为 l ,四边形 NQAC的面积为S,求 S 与 t 之间的函数关系式及自变量 t 的取值范畴；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点 P,使 PAC为直角三角形 .如存在,求出全部符合条件的点 P 的坐标；如不存在, 请说明理由；（4）将 OAC补成矩形, 使 OAC的两个顶点成 为 矩 形 一 边 的两个顶点,第三个顶点落在矩形这一边的对边上,试 直 接 写 出 矩形的未知的顶点坐标（不需要运算过程）解：（1）设抛物线的解析式 y a x 1 x 2 ,2 a 1 2 a 1y x 2x 2其顶点 M的坐标是 1,92 4（2）设线段 BM所在的直线的解析式为 y kx

25、b,点 N的坐标为 N（t ,h）,0 2 k b,9 1 k b .解得 k 32,b 34 2线段 BM所在的直线的解析式为 y 3 x 32h 3 t 3,其中 1t 2s 11 2 1 2 2t 3 t 3t 2 1t 12 2 2 2 3 4 2名师归纳总结 第 11 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结21精品学问点1t2 s与 t 间的函数关系式是S3tt1,自变量 t 的取值范畴是1P4225, ,2 4P 23,5（3）存在符合条件的点P,且坐标是24设点 P 的坐标为 Pm,n,就nm2m52PA2m1 2n2

26、,PC22 mn2 2,AC2分以下几种情形争论：i ）如 PAC90 ,就PC2PA2AC2AC,所以边 AC的对角 APCn2m2m22,m1 2n25.mn2解得：m 15,m 21（舍去）点P 15,7422ii ）如 PCA90 ,就PA2PC2AC2nm22m22,2n2 25 .m1 nm解得：m 33,2m 40（舍去）点P 23,524iii）由图象观看得,当点P 在对称轴右侧时,PA不行能是直角（4）以点 O,点 A（或点 O,点 C）为矩形的两个顶点,第三个顶点落在矩形这边名师归纳总结 OA（或边 OC）的对边上,如图a,此时未知顶点坐标是点D（ 1, 2）,以点 A,点

27、 C 为矩形的两个顶点,第三个顶点落在矩形这一边AC的对边上,如图 b,此时未知顶点坐标是E1, ,F 5 54,58第 12 页,共 16 页5- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结精品学问点图 b 图 a 14. 卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分在大桥截面 111000 的比例图上,跨度 AB5 cm,拱高 OC0. 9 cm,线段 DE表示大桥拱内桥长, DE AB,如图（1）在比例图上,以直线 AB为 x 轴,抛物线的对称轴为 y 轴,以 1 cm 作为数轴的单位长度,建立平面直角坐标系,如图（2）（1）求出图（ 2）上以这一部分抛物

28、线为图象的函数解析式,写出函数定义域；（2）假如 DE与 AB的距离 OM0. 45 cm,求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：21 .4,运算结果精确到1 米）解：（1）由于顶点 C在 y 轴上,所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为yax 2910由于点 A（5 ,0）（或 B（5 ,0）在抛物线上,所以 0a 5 29,得 a182 2 2 10 125因此所求函数解析式为 y18 x 29 5 x 5 125 10 2 2（2）由于点 D、E 的纵坐标为 9 , 所以 918 x 29,得 x5 220 20 125 10 4所以点 D的坐标为（5 2,9 ）,点 E 的坐标为（5 2

29、,9 ）4 20 4 20所 以 DE52 52 5 2 因 此 卢 浦 大 桥 拱 内 实 际 桥 长 为4 4 2名师归纳总结 第 13 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结精品学问点A 在 点522110000. 012752385（米）15. 已知在平面直角坐标系内,O为坐标原点, A、B 是 x 轴正半轴上的两点,点点 B 的左侧, 如图二次函数yax2bxc（a 0）的图象经过A、B,与 y 轴相交于点 C（1）a、c 的符号之间有何关系 . （2）假如线段 OC的长度是线段 a、c 互为倒数；OA、OB长度的比例中项

30、,试证（3）在（ 2）的条件下,假如b 4,AB43,求 a、c 的值解: （1）a、c 同号 或当 a0 时, c0；当 a0 时, c0（2）证明：设点A 的坐标为（x ,0）,点 B 的坐标为（x ,0）,就0xx 2OA1x,OBx2,OCcx 1x 2c据题意,1x、x 是方程ax2bxc0a0的两个根a由题意,得OAOBOC2,即cc2c2a所以当线段 OC长是线段 OA、OB长的比例中项时, a、c 互为倒数（3）当b4时,由（ 2）知,x 1x2b40, a 0232a3第 14 页,共 16 页aa解法一： ABOBOAx 2x 1x 1x 224x 1x 2,AB424 c

31、16a4ac2a3aa2AB43, 2a343得a1 c 2.2解法二：由求根公式,x4164ac41642a3,2a2ax 12a3,x22a3ABOBOAx2x 12a3a名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - AB43,名师总结精品学问点2a343,得a1 c 2216. 如图,直线y3 x 33分别与 x 轴、 y 轴交于点 A、B, E 经过原点 O及 A、B 两点（1）C是 E 上一点,连结 标；BC交 OA于点 D,如 COD CBO,求点 A、B、C的坐（2）求经过 O、C、A 三点的抛物线的解析式：（3）如延长 BC到 P,使 DP2,连结 AP,试判定直线 PA与 E的位置关系,并说 明理由解：（1）连结 EC交 x 轴于点 N（如图）名师归纳总结 - - - - - - - A、B 是直线y3 x 33分别与 x 轴、 y 轴的交点 A（3,0）,B 0,3又 COD CBO CBO ABC C 是的中点 ECOAON1OA3,ENOB32222连结 OEECOE3NCECEN3 C 点的坐标为（3,3）222（2）设经过 O、C、A 三点的抛物线的解析式为yaxx3 C（3,3）3a333a23