2022年二次项定理典型例题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载典型例题一例 1在二项式x1xn的绽开式中,前三项的系数成等差数列,求绽开式中所2 4有有理项分析： 此题是典型的特定项问题,涉及到前三项的系数及有理项,可以通过抓通项公式解决解： 二项式的绽开式的通项公式为：T r1Crtxnr21rCr n12n3r11nn1 ,x4n4x2 r前三项的r111n ,t3C2 n01, ,2.C得系数为：t1,1t2n2248由已知：22t1t31 8nn1 n1,n8通项公式为16 3 rT r 1 C 8 r 1r x 4 r 0 ,1, 2 8 , T r 1 为有理项,故 16 3

2、 r 是 4 的倍数,2r 0 4, 8, .依次得到有理项为 T 1 x 4, T 5 C 8 4 14 x 35x , T 9 C 88 18 x 2 1x 22 8 2 256说明：此题通过抓特定项满意的条件,利用通项公式求出了 r 的取值,得到了有理项 类似地, 2 33 100的绽开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中 r 的取值, 得到共有17 项典型例题二例 2求x1x10的绽开式中,系数肯定值最大的项以及系数最大的项3 2分析： 此题仍旧属于抓通项公式解决特定项的问题,但是系数的肯定值的最大值或系数的最大值, 需要对全部项的系数的变化规律进行讨论由于系数的肯定值都是正数,我们

3、可以用作商来讨论系数肯定值的变化情形,另外各项系数正负交替,又便于用系数肯定值的大小变化抓系数的最大值名师归纳总结 解： 绽开式的通项公式为：T r1r C 101r2rx305r第 1 页,共 18 页6- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 系数的肯定值为r C102r,记为学习必备欢迎下载rt1用前后两项系数的肯定值作商得：tr2r C 1012r1 rCr1rr10 .r.10r.10r.10tr1r C 102r2r C 101 .9r.210 .2r1令10r1得：8即0、1、2 时,上述不等式成立2r1 3所以,系数的肯定值从第1 项到第 4

4、项增加,以后逐项减小系数肯定值最大的项为第4 项,T44 C 101 323x515x522从系数肯定值的变化情形及系数的正负交替,只要比较第t3C22245,t54 C 1024t5210105.104168所以,系数最大的项为第5 项,105 x 853典型例题三3 项与第 5 项的系数,例 3已知 12x7a00a 1xa 2x2a6a7x7,求：（1）a 1a2a3a7；（2）a 1a 3a5a7；（3）aa 2a4分析： 此题是有关绽开式系数和的问题,通过对等式中字母的赋值,往往会得到此类名师归纳总结 问题的结果字母常常取的值有0、1、 1 等a 737,第 2 页,共 18 页解：

5、（ 1）取x0可得a01,取x1得a0a 1a7171a 1a2a 3a72. （2）取x1得a 0a 1a2a 3a6记Aa0a 2a4a6,Ba 1a 3a 5a7AB,1AB371094可得A17 31 1093,B1 13722从而a 1a3a 5a710941093（3）从（ 2）的运算已知a0a2a4a 6- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载说明： 赋值法不仅可以用来求二项绽开式的系数和,对于绽开式为多项式的代数式的5 6系数和大多数也能用此方法解决,如： 1 x 1 2 x 的绽开式中各项的系数和为多少？可 以 看 到 1

6、 x 51 2 x 6的 展 开 式 仍 是 多 项 式 , 令 x 1, 即 得 各 项 系 数 和 为2 5 1 632再 比 如： 1 x x 2 na 0 a 1 x a 2 x 2a 2 n x 2 n,就a 0 a 2 a 4 a 2 n 等于多少？此题可以由取 x 1 得到各项系数和,取 x 1 得到奇数项系数和减去偶数项系数和,两式相加可得 a 0 a 2 a 2 n 1 3 n 1 此外,为了赋2值的需要,有时需要用一个新的二项式替换原先二项式,只要它们的系数等同即可如：x2log2xn的 展 开 式 中 各 项 的 系 数 和 是 多 少 ？ 我 们 可 以 用 一 个 更

7、 简 单 的 二 项 式12xn代替原先的二项式,它们的系数并不转变,令x1便得各项系数和为3 n典型例题四例 4（1）求 1x31x10绽开式中x 的系数；（ 2）求 5x126绽开式中的常x数项分析： 此题的两小题都不是二项式绽开,但可以转化为二项式绽开的问题,（ 1）可以视为两个二项绽开式相乘；（2）可以经过代数式变形转化为二项式名师归纳总结 解：（1）1x31x10 绽开式中的x 可以看成以下几种方式得到,然后合并同类项：5第 3 页,共 18 页用1x3绽开式中的常数项乘以 1x10绽开式中的x5项,可以得到C55 x ；用101x3绽开式中的一次项乘以1x10绽开式中的4 x 项可

8、得到3xC4x44 3 C 10x5；10用1x 3中的2 x 乘以 1x 10绽开式中的3 x 可得到3x2C3x33 C3x5；用1x3中的10103 x 项乘以 1x10绽开式中的2 x 项可得到3x3C2x2C2x5,合并同类项得5 x 项为：10105 C 10C43 C32 C 10x563x51010（2）x12x12xxx125x112xx- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由x112学习必备1欢迎下载212 r1rr C 126 xr,可得绽开式绽开式的通项公式T rr C 12xx的常数项为C 12 6924说明： 问题（ 2）中将非

9、二项式通过因式分解转化为二项式解决这时我们仍可以通过合并项转化为二项式绽开的问题来解决典型例题五例 5求1xxxx26绽开式中5 x 的系数1xx2 1xx2或1xx2分析： 126不是二项式,我们可以通过把它看成二项式绽开解： 方法一： 1 x x 2 6 1 x x 2 66 5 2 4 41 x 6 1 x x 15 1 x x其中含 x 的项为 5 C 56 x 56 C 35 x 515 C 14 x 56 x 5含 x 项的系数为 562 6 2 6方法二： 1 x x 1 x x 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 61 6 x x 15 x x 20 x x 15 x x

10、6 x x x x 其中含 x 的项为 520 3 x 515 4 x 56 x 56 x 5x 项的系数为 56方法 3：此题仍可通过把 1 x x 2 6看成 6 个 1 x x 2相乘,每个因式各取一项相乘5 5 5可得到乘积的一项,x 项可由以下几种可能得到5 个因式中取 x,一个取 1 得到 C x 2 3 1 3 23 个因式中取 x,一个取 x ,两个取 1 得到 C 6 C 3 x x 2 1 2 2 21 个因式中取 x,两个取 x ,三个取 1 得到 C 6 C 5 x x 合并同类项为 C 56 C 36 C 13 C 16 C 25 x 56 x 5,x 项的系数为 5

11、6典型例题六名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 6求证：（1）1 C n2C2学习必备欢迎下载；nCnnn 21nn（2）C 0n 1C 1n 1C 2n 1C nn 1 2 n 1 1 2 3 n 1 n 1分析： 二项式系数的性质实际上是组合数的性质,我们可以用二项式系数的性质来证明一些组合数的等式或者求一些组合数式子的值解决这两个小题的关键是通过组合数公式将 等 式 左 边 各 项 变 化 的 等 数 固 定 下 来 , 从 而 使 用 二 项 式 系 数 性 质C0C1C2Cn2nn .nk.nkn1 .

12、k.nCk1nnnn解：（ 1）k Ckkk.n .k.knn1n1 .1 .n左边nC0 n1n1 C n1n Cn n1 1nn 21右边nC011 C n1Cn1nn1（2）k11Ckk11k.n .k.n .nnk1 .nk.n11kn1 .k.n11Ck1n11 .nn11Cn1左边n11C11n11C21nnn11 右边n11C11C21Cn1n112n1nnn1说明： 此题的两个小题都是通过变换转化成二项式系数之和,再用二项式系数的性质求解 此外,有些组合数的式子可以直接作为某个二项式的绽开式,但这需要逆用二项式定理 才 能 完 成 , 所 以 需 仔 细 观 察 , 我 们 可

13、 以 看 下 面 的 例 子 ： 求29C10 108 2C9 1027C8 1022 C 1010的 结 果 仔 细 观 察 可 以 发 现 该 组 合 数 的 式 与12 10的绽开式接近,但要留意：2 29 C 109 2C1010 21210C0C122 C 10101010121022C229C910 2C1010101012 102 C2289 C 1029C101010从而可以得到：102C228C929C1013 101 1010102典型例题七名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 7利用二项式定理

14、证明：32n学习必备n欢迎下载289是 64 的倍数分析： 64 是 8 的平方,问题相当于证明132n28n9是2 8 的倍数,为了使问题向二项式定理贴近,变形32n29n181 n,将其绽开后各项含有8 ,与 k8 的倍数联系起 2来解： 32n28n91 n18n9n999n18n898n1C1 n18n2Cn n1 182Cn1818nn 811 C n18nCn1828n1 18nn18n1C1 n18nCn182n1 8n1C1 n18nn1C64是 64 的倍数n1说明： 利用此题的方法和技巧不仅可以用来证明整除问题,而且可以用此方程求一些 复杂的指数式除以一个数的余数典型例题八

15、例 8绽开2x3252x分析 1：用二项式定理绽开式名师归纳总结 解法 1：2 x3253 322第 6 页,共 18 页2x0 C 5 2x 53201 C 52x 4322 C 5 2x2x2x2x3 C 5 2x 23234 C 52x 345 C 5352x22 x2x232 x52 120 x180135405243x4 x8x710 32 x3 2分析 2：对较纷杂的式子,先化简再用二项式定理绽开解法 2：2 x3254x33 52x10 32 x10 C 54 x35 1 C 54 x343 2 C 543 x3 3210 x- - - - - - -精选学习资料 - - - -

16、 - - - - - C34x323 3C学习必备欢迎下载53544x31 3 4C555115 1024 x12 3840 x5760 x94320 x616203 x2437 3210 x120 x 218013540524332 x5xx 48x732 x 10说明： 记准、记熟二项式ab n的绽开式,是解答好与二项式定理有关问题的前提条件对较复杂的二项式,有时先化简再绽开会更简便典型例题九例 9 如将 x y z 10绽开为多项式,经过合并同类项后它的项数为（）A11 B33 C55 D66 分析： x y z 10看作二项式 x y z 10绽开解： 我们把 x y z 看成 x y

17、 z,按二项式绽开,共有 11“ 项” ,即1010 10 k 10 k k x y z x y z C 10 x y zk 0这时,由于“ 和” 中各项 z 的指数各不相同,因此再将各个二项式 x y 10 k绽开,不同的乘积 C 10 k x y 10 k z k（k 0 , 1 , , 10）绽开后,都不会显现同类项k 10 k k下面,再分别考虑每一个乘积 C 10 x y z（k 0 , 1 , , 10）10 k其中每一个乘积绽开后的项数由 x y 打算,而且各项中 x 和 y 的指数都不相同,也不会显现同类项故原式绽开后的总项数为11109166,应选 D典型例题十名师归纳总结

18、x例 10如x12n1 x1x2n转 化 为第 7 页,共 18 页的绽开式的常数项为20,求 n x分 析 ： 题 中x0, 当x0时 , 把 三 项 式x12nx12n；当x0时,同理x12n1x2n然nxxx- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 后写出通项,令含学习必备欢迎下载x 的幂指数为零,进而解出n 解： 当x0时x12nx12n,其通项为n3xxT r1Crnx2nr1r1 rCrnx2n2r,22x令2 n2 r0,得nr,；x1x2n,绽开式的常数项为1 n nC 2 n当x0时,x12n1 nx同理可得,绽开式的常数项为1n nC 2n

19、无论哪一种情形,常数项均为1nC 2 nn令1 nCn20,以n1,2,3,逐个代入,得2n典型例题十一例11x3110的 展 开 式 的 第3 项 小 于 第4 项 , 就 x 的 取 值 范 围 是x_分析： 第一运用通项公式写出绽开式的第3 项和第 4 项,再依据题设列出不等式即可解： 使x3110有意义,必需x0；x7313x依题意,有T 3T 4,即2 C 10x83123 C 10xx109x109831（x0）21321x解得0x85 6489 x 的取值范畴是x0x85 6489应填：0x85 6489典型例题十二名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 18 页

20、精选学习资料 - - - - - - - - - 例 12已知xlog2x1 n学习必备欢迎下载123,这三项是第几的绽开式中有连续三项的系数之比为项？如绽开式的倒数其次项为112,求 x 的值且k1）, 就 有解 ： 设 连 续 三 项 是 第 k 、k1、k2项 （kNCk1Ck nCk1123,nn即k1 n.k1 .k.n.k.k1 n.k1 .123nnnnk1k1 k1kk11 123nnkknk1k1nknk1 2nkk12kk1 212knk3nk3n14,k5所求连续三项为第5、 6 、 7 三项又由已知,13 C 14xlog2x112即xlog2x8两边取以 2 为底的对

21、数,log2x23,log 2 x3,x23,或x23说明： 当题目中已知二项绽开式的某些项或某几项之间的关系时,常利用二项式通项,依据已知条件列出某些等式或不等式进行求解典型例题十三例 1312xn的绽开式中第 6 项与第 7 项的系数相等,求绽开式中二项式系数最大的项和系数最大的项分析： 依据已知条件可求出n ,再依据 n 的奇偶性；确定二项式系数最大的项名师归纳总结 解：T 6C5 x5,T 76 C n x6,依题意有T 5C42x41120x4第 9 页,共 18 页nC525C626n8n2n 1x 8的绽开式中,二项式系数最大的项为8设第r1项系数最大,就有- - - - - -

22、 -精选学习资料 - - - - - - - - - Crr 2Cr12r15r学习必备欢迎下载688Crr 2Cr12r188r5或r6（r0,1,2,8）6T 61792 x5,T 71792x系娄最大的项为：说明： 1求二项式系数最大的项,依据二项式系数的性质,项式系数最大,n 为偶数时,中间一项的二项式系数最大n 为奇数时中间两项的二2求绽开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的,需依据各项系数的正、负 变化情形,一般采纳列不等式,解不等式的方法求得典型例题十四例 14设fx 1x m1x nm,nN,如其绽开式中关于x 的一次项的系数和为 11,问m ,n为何值时,含2 x 项的

23、系数取最小值？并求这个最小值分析： 依据已知条件得到 最小值问题x 的系数关于 n 的二次表达式,然后利用二次函数性质探讨 25 5.解：C1C1nm11m2n21125 ,由于 5、 6 距mnC2C21m2mn2nmn221102mn2 n11 n55 n11 229924nN,6或 5时,2 x 项系数最小,最小值为n5或 6 ,m说明： 二次函数yx11 2299 4的对称轴方程为x211,即 x 5 . 5299的最小值在411 2等距离, 且对nN,5 、6 距.55最近,所以nn5或n6处取得典型例题十五名师归纳总结 例 15如3x1 7a7x7a6x6a3a 1x7a0,a 0

24、a2a4a 6第 10 页,共 18 页求1 a 1a2a 7；2 a 1a 5a； 3 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解： 1令x0,就a01,学习必备欢迎下载令 x 1,就 a 7 a 6 a 1 a 0 2 7 128a 1 a 2 a 7 12972令 x 1,就 a 7 a 6 a 5 a 4 a 3 a 2 a 1 a 0 4 由 得：a 1 a 3 a 5 a 7 1 128（4）7 82562 2 3由 得：2a 0 a 2 a 4 a 61（ a 7 a 6 a 5 a 4 a 3 a 2 a 1 a 0）2（a 7 a 6 a

25、5 a 4 a 3 a 2 a 1 a 0）1 128 4 7 81282说明：（ 1）本解法依据问题恒等式特点来用“ 特别值” 法这是一种重要的方法,它适用于恒等式2一般地,对于多项式gxgpxgq na 0a 1xa 2x2a nxn,gx 的各项的系数和为g 1 ：1 11 gx的奇数项的系数和为2gx的偶数项的系数和为1g 1g1 2典型例题十六例 16填空： 1 2303除以 7 的余数 _；2 555515除以 8的余数是_. 名师归纳总结 分析 1：将30 2分解成含 7 的因数,然后用二项式定理绽开,不含7 的项就是余数第 11 页,共 18 页解：230323103810 3

26、- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 71103学习必备欢迎下载0 C 1071071 C 1079789 C 10710 C 1037C 10 09C 10 1C 10 92又余数不能为负数,需转化为正数2303除以 7 的余数为 5应填： 5分析 2：将5555写成561 55,然后利用二项式定理绽开15除以 8 的余数,即 14除解：5555155615515C05655C15654C5456C551555555555简单看出该式只有C551514不能被 8整除,因此555555以 8的余数,故余数为6 应填： 6 典型例题十七名师归纳总结 例 17

27、求证：对于nN,11n1n11n1第 12 页,共 18 页n证明：11n绽开式的通项nT r1Cr1rr p nrnnr.n1 1nn1 n2nrr.rr1 r111121rn.nn1n11n1绽开式的通项T r1Cr1n1rr.r A nn1 n1r- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - r11n11 1n2学习必备欢迎下载1 1r1.n1由二项式绽开式的通项明显看出T r1T r1,所以11n1n11n1n说明： 此题的两个二项式中的两项为正项,且有一项相同,证明时,依据题设特点,采用比较通项大小的方法完成此题证明典型例题十八例 18在x23x25的绽开式中 x 的系数为（）A160B240C 360D 800 分析： 此题考查二项式定理的通项公式的运用应想方法将三项式转化为二项式求解解法 1：由x23x2 5x23x2 5,C ,4得T k1Ck 5x23x 5k2kCk2kx23x5