2022年五年级最大公约数和最小公倍数.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载一、基本概念和学问1. 公约数和最大公约数 几个数公有的约数, 叫做这几个数的公约数； 其中最大的一个, 叫做 这几个数的最大公约数；例如： 12 的约数有： 1,2,3,4,6,12；18 的约数有： 1,2,3,6,9,18；12 和 18 的公约数有： 1,2,3,6. 其中 6 是 12 和 18 的最大公约数,记作（ 12,18）=6；2. 公倍数和最小公倍数几个数公有的倍数, 叫做这几个数的公倍数； 其中最小的一个, 叫做 这几个数的最小公倍数；例如： 12 的倍数有： 12,24,36,48,60,72,84,1

2、8 的倍数有： 18,36,54,72,90,12 和 18 的公倍数有： 36,72, . 其中 36 是 12 和 18 的最小公倍数,记作 12 ,18=36；3. 互质数假如两个数的最大公约数是1,那么这两个数叫做互质数；二、例题例 1 用一个数去除 30、60、75,都能整除,这个数最大是多少？分析 要求的数去除 30、60、75 都能整除,要求的数是 30、60、75 的公约数；又要求符合条件的最大的数,就是求 30、60、75 的最大公约数；解：名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（30

3、,60,75）=5 3=15这个数最大是 15；例 2 一个数用 3、4、5 除都能整除,这个数最小是多少？分析 由题意可知,要求的数是3、4、5 的公倍数,且是最小的公倍数；解： 3,4,5=3 4 5=60,用 3、4、5 除都能整除的最小的数是 60；例 3 有三根铁丝,长度分别是120 厘米、 180 厘米和 300 厘米 . 现在要把它们截成相等的小段, 每根都不能有剩余, 每小段最长多少厘米？一共可 以截成多少段？分析 要截成相等的小段,且无剩余,每段长度必是 120、180 和 300 的公约数；又每段要尽可能长,要求的每段长度就是120、180 和 300 的最大公约数 . （

4、120,180,300）=30 2=60每小段最长 60 厘米；120 60+180 60+300 60 =235=10（段）答：每段最长 60 厘米,一共可以截成 10 段；例 4 加工某种机器零件, 要经过三道工序 . 第一道工序每个工人每小时可完成 3 个零件,其次道工序每个工人每小时可完成10 个,第三道工序每个工人每小时可完成 5 个,要使加工生产均衡, 三道工序至少各安排几个工人？名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载分析 要使加工生产均衡,各道工序生产的零件总数应是 3、10 和 5 的公

5、 倍数 . 要求三道工序“ 至少” 要多少工人,要先求 3、10 和 5 的最小公倍数；3,10,5=5 3 2=30各道工序均应加 130 个零件；30 3=10（人）30 10=3（人）30 5=6（人）答：第一道工序至少要安排10 人,其次道工序至少要安排3 人,第三道工序至少要安排6 人；例 5 一次会餐供有三种饮料 . 餐后统计, 三种饮料共用了 65 瓶；平均每 2个人饮用一瓶 A 饮料,每 3 人饮用一瓶 B 饮料,每 4 人饮用一瓶 C饮料 .问参与会餐的人数是多少人？分析 由题意可知,参与会餐人数应是 解： 2 ,3,4=12 2、3、4 的公倍数；参与会餐人数应是 12 的

6、倍数；又12 2+12 3+12 4 =6+4+3=13（瓶）,可见 12 个人要用 6 瓶 A 饮料, 4 瓶 B饮料, 3 瓶 C饮料,共用 13 瓶饮料；又65 13=5,12 的 5 倍,参与会餐的总人数应是 12 5=60（人）；名师归纳总结 答：参与会餐的总人数是60 人；第 3 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载例 6 一张长方形纸,长 2703 厘米,宽 1113 厘米 . 要把它截成如干个同样 大小的正方形,纸张不能有剩余且正方形的边长要尽可能大 . 问：这样的正方形的边长是多少厘米？分析 由题意可知,

7、正方形的边长即是 2703和 1113的最大公约数 . 在学校,我们已经学过用短除法求两个数的最大公约数,况,两个数除了 1 以外的公约数一下不好找到但有时会遇到类似此题情 . 但又不能轻易肯定它们是互质数 . 怎么办？在此,我们以例 6 为例介绍另一种求最大公约数的方法；对于例 6,可做如下图解：从图中可知： 在长 2703厘米、宽 1113 厘米的长方形纸的一端, 依次裁去以宽（ 1113 厘米）为边长的正方形2 个. 在裁后剩下的长 1113 厘米,宽 477 厘米的长方形中,再裁去以宽（477 厘米）为边长的正方形 2 个.然后又在裁剩下的长方形（长 477 厘米,宽 159 厘米）中

8、,以 159 厘米为边长裁正方形,恰好裁成3 个,且无剩余 . 因此可知, 159 厘米是 477 厘米、 1113 厘米和 2703 厘米的约数 . 所以裁成同样大的,且边长尽可能长的正方形的边长应是 约数；159 厘米. 所以, 159 厘米是 2703 和 1113 的最大公让我们把图解过程转化为运算过程,即：2703 1113,商 2 余 477；1113 477,商 2 余 159；477 159,商 3 余 0；或者写为 2703=2 1113+477,1113=2 477+159,477=3 159；当余数为 0 时,最终一个算式中的除数 1113 的最大公约数 . 159 就是

9、原先两个数 2703 和名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载可见, 477=159 3,1113=159 3 2+159=159 7,2703=159 7 2+477 =159 7 2+159 3=159 17；又 7 和 17 是互质数,159 是 2703 和 1113 的最大公约数；我们把这种求最大公约数的方法叫做辗转相除法 . 辗转相除法的优点 在于它能在较短的时间内求出任意两个数的最大公约数；例 7 用辗转相除法求4811 和 1981 的最大公约数；解： 4811=2 1981+849,1

10、981=2 849+283,849=3 283,（ 4811,1981）=283；补充说明：假如要求三个或更多的数的最大公约数,可以先求其中任 意两个数的最大公约数, 再求这个公约数与另外一个数的最大公约数,这 样求下去,直至求得最终结果 . 也可以直接观看,依次试公有的质因数；例 8 求 1008、1260、882 和 1134 四个数的最大公约数是多少？解：（ 1260,1008）=252,（882,1134）=126,又（ 252,126）=126,（ 1008,1260,882,1134）=126；求两个数的最小公倍数, 除了用短除法外, 是否也有其他方法呢？请 看例 9. 例 9 两

11、个数的最大公约数是 一个数是多少？4,最小公倍数是 252,其中一个数是 28,另名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载x=4 y28=4 728x=4 y 4 7 又 4 是 x 和 28 的最大公约数,（ y,7）=1,4 y 7 是 x 和 28 的最小公倍数；x 28=4 252x=4 252 28=36要求的数是 36；通过例 9 的解答过程, 不难发觉： 假如用 a 和 b 表示两个自然数, 那 么这两个自然数的最大公约数与最小公倍数关系是：（a,b） a ,b=a b；这样,求两个数的最小

12、公倍数的问题, 即可转化成先求两个数的最大 公约数,再用最大公约数除两个数的积, 其结果就是这两个数的最小公倍 数；例 10 求 21672和 11352的最小公倍数；解：（ 21672,11352）=1032 （1032 可以用辗转相除法求得）21672 ,11352=21672 11352 1032 =238392；答： 21672和 11352的最小公倍数是 238392. 习题三1. 甲数是乙数的三分之一,甲数和乙数的最小公倍数是 多少？乙数是多少？54,甲数是2. 一块长方形地面, 长 120 米,宽 60 米,要在它的四周和四角种树,每两棵之间的距离相等, 最少要种树苗多少棵？每相

13、邻两棵之间的距离是 多少米？名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载31. 求这两个自3. 已知两个自然数的积是5766,它们的最大公约数是然数；4. 兄弟三人在外工作, 大哥 6 天回家一次, 二哥 8 天回家一次, 小弟12 天回家一次 . 兄弟三人同时在十月一日回家,天？下一次三人再见面是哪一5. 将长 25 分米,宽 20 分米,高 15 分米的长方体木块锯成完全一样的尽可能大的立方体, 不能有剩余, 每个立方体的体积是多少？一共可锯多少块？6. 一箱地雷, 每个地雷的重量相同, 且都是超过 1 的整千克数, 去掉箱子后地雷净重 201 千克,拿出如干个地雷后,净重 183 千克 . 求一个地雷的重量？习题三解答1. 甲数是 18,乙数是 54；2. 每两棵之间的距离是 60 米,最少要种树苗 6 棵；3. 解：设这两个自然数为 A 和 B；A,B=5766 31=186；186=2 3 31,这两个自然数为 4.10 月 25 日；31 和 186 或 62 和 93；5. 每个立方体的体积是 125 立方分米 . 一共可锯 60 块；6.3 千克 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页