2022年九年级数学圆教案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 嘉远训练九年级数学圆第一课时教学内容1圆的有关概念2垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,的应用教学目标.并且平分弦所对的两条弧及其它们明白圆的有关概念,懂得垂径定理并敏捷运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题从感受圆在生活中大量存在到圆形及圆的形成过程,讲授圆的有关概念利用操作几何的 方法,懂得圆是轴对称图形,过圆心的直线都是它的对称轴通过复合图形的折叠方法得出猜 想垂径定理,并辅以规律证明加予懂得重难点、关键 1重点：垂径定理及其运用2难点与关键：探究并证明垂径定理及利用垂径定懂得决一些实际问题教学过程 一、复习引入（同学活动）请同学

2、口答下面两个问题（提问一、两个同学）1举诞生活中的圆三、四个2你能讲出形成圆的方法有多少种？老师点评（口答） ：（1）如车轮、杯口、时针等 （2）圆规：固定一个定点,固定一个长度,绕定点拉紧运动就形成一个圆二、探究新知 从以上圆的形成过程,我们可以得出：在一个平面内,线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周, .另一个端点所形成的图形叫 做圆固定的端点 O 叫做圆心,线段 OA 叫做半径以点 O 为圆心的圆,记作“ O” ,读作“ 圆 O” 同学四人一组争论下面的两个问题：问题 1：图上各点到定点（圆心 O）的距离有什么规律？问题 2：到定点的距离等于定长的点又有什么特点？老师提问几名同学

3、并点评总结（1）图上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）；（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上因此,我们可以得到圆的新定义：圆心为O,半径为r 的圆可以看成是全部到定点O 的距离等于定长r 的点组成的图形同时,我们又把 连接圆上任意两点的线段叫做弦,如图线段 AC ,AB ；经过圆心的弦叫做直径,如图 24-1 线段 AB ；圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧,“ 以 A 、C 为端点的弧记作 .AC ” ,读作“ 圆弧.AC ” 或“ 弧 AC” 大于半圆的弧（如下列图 .AC 或 .BC 叫做劣弧1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 11 页精选学

4、习资料 - - - - - - - - - 嘉远训练九年级数学BOA C圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆（同学活动）请同学们回答下面两个问题1圆是轴对称图形吗？假如是,它的对称轴是什么？.你能找到多少条对称轴？2你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行沟通（老师点评） 1圆是轴对称图形,它的对称轴是直径,.我能找到很多多条直径3我是利用沿着圆的任意一条直径折叠的方法解决圆的对称轴问题的因此,我们可以得到：圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线（同学活动）请同学按下面要求完成下题：如图, AB 是 O 的一条弦,作直径CD ,使 CD AB ,垂足为 M AC

5、BMOD（1）如图是轴对称图形吗？假如是,其对称轴是什么？（2）你能发觉图中有哪些等量关系？说一说你理由（老师点评）（1）是轴对称图形,其对称轴是 CD （2）AM=BM ,. AC BC ,. AD BD ,即直径 CD 平分弦 AB ,并且平分.AB 及.ADB 这样,我们就得到下面的定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧下面我们用规律思维给它证明一下：已知：直径 CD、弦 AB 且 CD AB 垂足为 M 求证： AM=BM ,. AC BC ,. AD BD . .分析：要证 AM=BM ,只要证 AM 、BM 构成的两个三角形全等或 AC、 BC 即可证明：如图,连结 O

6、A 、OB ,就 OA=OB 因此, 只要连结 OA 、.OB在 Rt OAM 和 Rt OBM 中ACBOAOBMOMOMORt OAM Rt OBM 2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 嘉远训练九年级数学AM=BM 点 A 和点 B 关于 CD 对称 O 关于直径 CD 对称当圆沿着直线 CD 对折时,点 A 与点 B 重合,.AC 与.BC 重合,.AD 与.BD 重合. AC BC ,. AD BD .进一步,我们仍可以得到结论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧（此题的证明作为课后

7、练习）例 1如图,一条大路的转弯处是一段圆弦（即图中.CD ,点O 是.CD 的圆心, .其中CD=600m ,E 为.CD 上一点,且OECD ,垂足为 F,EF=90m ,求这段弯路的半径分析：例 1 是垂径定理的应用,解题过程中使用了列方程的方法,这种用代数方法解决几 何问题即几何代数解的数学思想方法肯定要把握解：如图,连接OC OCFED设弯路的半径为R,就 OF= （R-90）m OE CD CF=1 2CD=1 2 600=300（m）2依据勾股定理,得：OC2=CF2+OF即 R2=3002+（R-90）2解得 R=545 这段弯路的半径为545m三、巩固练习教材 P86 练习P

8、88 练习四、应用拓展 例 2有一石拱桥的桥拱是圆弧形,如图 24-5 所示,正常水位下水面宽 AB=.60m ,水面 到拱顶距离 CD=18m ,当洪水泛滥时, 水面宽 MN=32m 时是否需要实行紧急措施？请说明理由.只要求出 DE 的长,分析：要求当洪水到来时,水面宽 MN=32m. 是否需要实行紧急措施,因此只要求半径 R,然后运用几何代数解求 R解：不需要实行紧急措施设 OA=R ,在 Rt AOC 中, AC=30 ,CD=18 AMDNBR2=302+（R-18）2R2=900+R2-36R+324 E解得 R=34（m）C连接 OM ,设 DE=x,在 Rt MOE 中, ME

9、=16 34 2=162+（34-x）2O162+342-68x+x2=342x2-68x+256=0 解得 x 1=4,x2=64（不合设）DE=4 不需实行紧急措施五、归纳小结（同学归纳,老师点评）本节课应把握：1圆的有关概念；3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 嘉远训练九年级数学2圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称轴3垂径定理及其推论以及它们的应用六、布置作业1教材 P94 复习巩固 1、2、32车轮为什么是圆的呢？3垂径定理推论的证明4选用课时作业设计4 名师归纳总结 - - - - - -

10、 -第 4 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 嘉远训练九年级数学圆 第 2 课时 教学内容1圆心角的概念2有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中,对的弦也相等3定理的推论：在同圆或等圆中,假如两条弧相等,的弦相等.相等的圆心角所对的弧相等,所.那么它们所对的圆心角相等,所对在同圆或等圆中,假如两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弧也相等教学目标 明白圆心角的概念：把握在同圆或等圆中,圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以 推出其它两个量的相对应的两个值就相等,及其它们在解题中的应用通过复习旋转的学问,产生圆心角的概念,然后用圆心角和旋转的学问探究

11、在同圆或等圆 中,假如两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别 相等,最终应用它解决一些详细问题重难点、关键1重点：定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,推论和它们的应用2难点与关键：探究定理和推导及其应用教学过程一、复习引入（同学活动）请同学们完成下题.所对弦也相等及其两个已知 OAB ,如下列图,作出绕 O 点旋转 30 、 45 、 60 的图形ABO老师点评：绕O 点旋转, O 点就是固定点,旋转30 ,就是旋转角BOB =30 二、探究新知如下列图, AOB 的顶点在圆心,像这样顶点在圆心的角叫做圆心角BAO（同学活动）请同学们按以下要求作

12、图并回答疑题：如下列图的 O 中,分别作相等的圆心角AOB. 和 A.OB. 将圆心角 AOB 绕圆心O 旋转到 A OB 的位置,你能发觉哪些等量关系？为什么？5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 嘉远训练九年级数学B AA.AB = . A B ,AB=A BOB理由：半径OA 与 OA 重合,且 AOB= A OB 半径 OB 与 OB 重合点 A 与点 A 重合,点 B 与点 B 重合.AB 与. A B 重合,弦 AB 与弦 AB 重合.AB =. A B ,AB=A B因此,在同一个圆中,相等的圆心角所

13、对的弧相等,所对的弦相等在等圆中, 相等的圆心角是否也有所对的弧相等,所对的弦相等呢？.请同学们现在动手作一作（同学活动） 老师点评： 如图 1,在 O 和 O 中,.分别作相等的圆心角AOB 和 AOB 得到如图 2,滚动一个圆, 使 O 与 O 重合, 固定圆心, 将其中的一个圆旋转一个角度,使得 OA 与 OA 重合B B BAA OO AO O OO O OB A1 2 你能发觉哪些等量关系？说一说你的理由？我能发觉：.AB =. A B , AB=A/B/现在它的证明方法就转化为前面的说明白,.这就是又回到了我们的数学思想上去呢 化归思想,化未知为已知,因此,我们可以得到下面的定理：

14、在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等同样,仍可以得到：在同圆或等圆中,假如两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,.所对的弦也相等在同圆或等圆中,假如两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,.所对的弧也相等（同学活动）请同学们现在赐予说明一下请三位同学到黑板板书,老师点评例 1如图,在 O 中, AB 、CD 是两条弦, OEAB ,OFCD ,垂足分别为 EF（1）假如 AOB= COD ,那么 OE 与 OF 的大小有什么关系？为什么？6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 嘉远训练九年级数学（2

15、）假如 OE=OF ,那么.AB 与.CD 的大小有什么关系？AB 与 CD 的大小有什么关系？.为什么？ AOB 与 COD 呢？AOCFDEB分析：（1）要说明 OE=OF ,只要在直角三角形AOE 和直角三角形COF 中说明 AE=CF,即说明 AB=CD ,因此,只要运用前面所讲的定理即可（2） OE=OF,在 Rt AOE 和 Rt COF 中,又有 AO=CO 是半径, Rt AOE Rt. COF,AE=CF , AB=CD ,又可运用上面的定理得到 .AB = .CD解：（ 1）假如 AOB= COD,那么 OE=OF 理由是： AOB= COD AB=CD OE AB ,OF

16、CD AE=1 2AB ,CF=1 2CD AE=CF 又 OA=OC Rt OAE Rt OCF OE=OF （2）假如 OE=OF ,那么 AB=CD ,.AB =.CD , AOB= COD 理由是：OA=OC ,OE=OF Rt OAE Rt OCF AE=CF 又 OEAB ,OFCD AE=1 2AB ,CF=1 2CD AB=2AE ,CD=2CF AB=CD .AB =.CD , AOB= COD 三、巩固练习教材 P89 练习 1 教材 P90 练习 2四、应用拓展例 2如图 3 和图 4,MN 是 O 的直径,弦AB 、CD.相交于 MN. 上的一点 P,.APM=7 名师

17、归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 嘉远训练九年级数学 CPM（1）由以上条件,你认为AB 和 CD 大小关系是什么,请说明理由（2）如交点 P 在 O 的外部,上述结论是否成立？如成立,加以证明；如不成立,请说 明理由AMCPFEEADOBBNPM DFCN3 4 .只要说明它们的一半分析：（1）要说明 AB=CD ,只要证明AB 、CD 所对的圆心角相等,相等上述结论仍旧成立,它的证明思路与上面的题目是一模一样的解：（ 1）AB=CD 理由：过 O 作 OE、OF 分别垂直于AB 、CD,垂足分别为E、F APM=

18、CPM 1=2 OE=OF 连结 OD 、OB 且 OB=OD Rt OFD Rt OEB DF=BE 依据垂径定理可得：AB=CD （2）作 OEAB ,OFCD ,垂足为 E、F APM= CPN 且 OP=OP, PEO=PFO=90Rt OPERt OPF OE=OF 连接 OA 、OB 、OC、 OD 易证 Rt OBE Rt ODF ,Rt OAE Rt OCF 1+2=3+4 AB=CD 五、归纳总结（同学归纳,老师点评）本节课应把握：1圆心角概念2在同圆或等圆中,假如两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,.那么它们所对 应的其余各组量都部分相等,及其它们的应用六、布置作业

19、1教材 P94-95 复习巩固 4、5、6、 7、82选用课时作业设计8 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 嘉远训练九年级数学圆 第 3 课时 教学内容 1圆周角的概念.都等于这条弦所对的 2圆周角定理：在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,圆心角的一半用推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角,90 的圆周角所对的弦是直径及其它们的应教学目标 1明白圆周角的概念.都等于这条弧 2懂得圆周角的定理：在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,所对的圆心角的一半 3懂得圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角

20、是直角,90. 的圆周角所对的弦是直径 4娴熟把握圆周角的定理及其推理的敏捷运用设置情形,给出圆周角概念,探究这些圆周角与圆心角的关系,运用数学分类思想赐予逻辑证明定理,得出推导,让同学活动证明定理推论的正确性,最终运用定理及其推导解决一些实际问题重难点、关键 1重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题 2难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理 3关键：探究圆周角的定理的存在教学过程一、复习引入（同学活动）请同学们口答下面两个问题 1什么叫圆心角？ 2圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？老师点评：（1）我们把顶点在圆心的角叫圆心角（2）在同圆或等圆中,假如两个圆心角、两条弧、两条弦

21、中有一组量相等,.那么它们所对的其余各组量都分别相等刚才讲的,顶点在圆心上的角,有一组等量的关系,假如顶点不在圆心上,它在其它的位置上？如在圆周上,是否仍存在一些等量关系呢？这就是我们今日要探讨,要争论,要解决的问题二、探究新知AEOF问题：如下列图的O,我们在射门嬉戏中,设E、F 是球门, .设球员们只能在.EF 所在的 O其它位置射门,如下列图的A、 B、C点通过观看,我们可以发觉像EAF、 EBF、 ECF这样的角,它们的顶点在圆上, .并且两边都与圆相交的角叫做圆周角现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题 1一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？ 2同弧所对的圆周角的度数是否发生

22、变化？ 3同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？（同学分组争论）提问二、三位同学代表发言9 B C名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 嘉远训练九年级数学老师点评： 1一个弧上所对的圆周角的个数有很多多个 2通过度量,我们可以发觉,同弧所对的圆周角是没有变化的 3通过度量,我们可以得出,同弧上的圆周角是圆心角的一半“ 同弧所对的圆周角的度数没有变化,.并且它的度数恰好 下面,我们通过规律证明来说明 等于这条弧所对的圆心角的度数的一半”（1）设圆周角 ABC的一边 BC是 O的直径,如下列图 AOC是 ABO的外角 AOC=

23、ABO+BAO ACA DOA=OB ABO=BAO AOC=ABO O ABC=1 2AOC B（2）如图,圆周角ABC的两边 AB、AC在一条直径OD的两侧,那么 ABC=1 2 AOC吗？请同学们独立完成这道题的说明过程老师点评： 连结 BO交 O于 D同理 AOD是 ABO的外角, COD是 BOC的外角, .那么就有 AOD=2ABO, DOC=2CBO,因此 AOC=2 ABCBOC（3）如图,圆周角ABC的两边 AB、AC在一条直径OD的同侧,那ACD么 ABC=1 2 AOC吗？请同学们独立完成证明老师点评：连结OA、OC,连结 BO并延长交 O 于 D,那么 AOD=2O B

24、 ABD, COD=2CBO,而 ABC=ABD-CBO=1 2 AOD-1 2COD=1 2AOC 现在,我假如在画一个任意的圆周角ABC,.同样可证得它等于同弧上圆心角一半,因此,同弧上的圆周角是相等的从（ 1）、（2）、（3）,我们可以总结归纳出圆周角定理：在同圆或等圆中,同弧等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半进一步,我们仍可以得到下面的推导：半圆（或直径）所对的圆周角是直角,90 的圆周角所对的弦是直径下面,我们通过这个定理和推论来解一些题目例 1如图, AB是 O的直径, BD是 O的弦,延长 BD到 C,使 AC=AB,BD与 CD的大小有什么关系？为什么？分析：

25、 BD=CD,由于 AB=AC,所以这个ABC是等腰,要证明D是 BC的中点, .只要连结 AD证明 AD是高或是 BAC的平分线即可名师归纳总结 解： BD=CD 10 A第 10 页,共 11 页理由是：如图24-30 ,连接 AD OCAB是 O的直径 ADB=90 即 ADBC 又 AC=AB DBD=CD B- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 嘉远训练九年级数学三、巩固练习 1教材 P92 摸索题 2教材 P93 练习四、应用拓展例 2如图,已知ABC内接于 O, A、 B、 C的对边分别设为 a,b,c,O半径为R,求证：a = b = c

26、=2Rsin A sin B sin Ca b c a b c分析：要证明 = = =2R,只要证明 =2R,=2R,=2R,即sin A sin B sin C sin A sin B sin CsinA= a, sinB= b,sinC= c,因此,非常明显要在直角三角形中进行2 R 2 R 2 R证明：连接 CO并延长交 O于 D,连接 DB CD是直径 D DBC=90O A又 A=D 在 Rt DBC中, sinD=BC,即 2R= aDC sin A B Cb c 同理可证：=2R,=2R sin B sin Ca = b = c =2R sin A sin B sin C五、归纳小结（同学归纳,老师点评）本节课应把握： 1圆周角的概念；.都相等这条弧所对 2圆周角的定理：在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,的圆心角的一半； 3半圆（或直径）所对的圆周角是直角,90 的圆周角所对的弦是直径 4应用圆周角的定理及其推导解决一些详细问题六、布置作业 1教材 P95 综合运用 9、10、11 拓广探究 12、132选用课时作业设计11 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 11 页