2022年九年级数学垂径定理圆心角弧弦弦心距间的关系人教版知识精讲.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 学习必备欢迎下载第 1 页,共 4 页九年级数学垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系人教版 AOB90【本讲训练信息 】由 AOE是等腰直角三角形一. 教学内容：OA6 2,AE6垂径定理、圆心角、弧、弦、弦心距间的关系即 O的半径为 6 2cm学习目标点拨： 作出弦（ AB）的弦心距（ OE）,构成垂径定理的基本图形是解决此题的关键； 1. 懂得由圆的轴对称性推出垂径定理,概括懂得垂径定理及推论为“ 知二推三”；（1）过例 2. 如下列图,在两个同心圆中,大圆的弦AB,交小圆于C、D圆心,（2）垂直于弦, （3）平分弦,（4

2、）平分劣弧,（5）平分优弧；已知其中两项,可推出两点,设大圆和小圆的半径分别为2a, b；AC E D B 求证： ADBDa2b其余三项；留意：当知（1）（3）推（ 2）（4）（5）时,即“ 平分弦的直径不能推出垂直于弦,证明： 作 OEAB,垂足为 E,连 OA、OC O 平分两弧；” 而应强调附加“ 平分弦（非直径）的直径,垂直于弦且平分弦所对的两弧”；就 OAa,OCb 2. 深化懂得垂径定理及推论,为五点共线,即圆心O,垂足 M,弦中C 在 Rt AOE 中, AE2OA2OE2点 M,劣弧中点D,优弧中点C,五点共线； （M点是两点重合的一点,在 Rt COE 中, CE2OC2O

3、E2代表两层意义）O AE2CE2OA2OE2OC2OE2 3. 应用以上定理主要是解直角三角形AOM,在 Rt AOM中,AO为圆AM B 半径, OM为弦 AB的弦心距, AM为弦 AB的一半,三者把解直角形的知D OA2OC2识,借用过来解决了圆中半径、弦、弦心距等问题；无该Rt AOM时,留意巧添弦心距,或即 AECEa2b2a2b2半径,构建直角三角形；AECE 4. 弓形的高：弧的中点到弦的距离,明确由定义知只要是弓形的高,就具备了前述的（4）CEED,ACBD（2）或（ 5）（ 2）可推（ 1）（3）（5）或（ 1）（3）（ 4）,实际可用垂径定理及推论解决弓形高AECEAEED

4、AD的有关问题；AECEAC 2 aBD 2 b 5. 圆心角、弧、弦、弦心距四者关系定理,懂得为：（1）圆心角相等, （2）所对弧相等,即ADBD（3）所对弦相等, （ 4）所对弦的弦心距相等；四项“ 知一推三”,一项相等,其余三项皆相点拨： 此题应用垂径定理,构造直角三角形,再由勾股定懂得题,很奇妙；等；源于圆的旋转不变性；即：圆绕其圆心旋转任意角度,所得图形与原图象完全重合；例 3. O的直径为 12cm,弦 AB垂直平分半径OC,那么弦 AB的长为（） A. 3 3cmB. 6cm C. 6 3cmD. 12 3cm 6. 应用关系定理及推论,证角等,线段等,弧等,等等,留意构造圆心角

5、或弦心距作为辅（20XX 年辽宁）解： 圆的半径为6cm,半径 OC的一半为 3cm,故弦的长度为助线；2 62322 322216 3cm 7. 圆心角的 度数 与弧的 度数 等,而不是角等于弧；二. 重点、难点：应选 C；垂径定理及其推论,圆心角,弧,弦,弦心距关系定理及推论的应用；例 4. 如下列图,以O为圆心, AOB120 ,弓形高ND4cm,D 【典型例题】矩形 EFGH的两顶点 E、F 在弦 AB上, H、G在 AB 上,且 EF4HE,H M G 例 1. 已知：在 O中,弦 AB12cm,O点到 AB的距离等于AB的一半,求： AOB的度数求 HE的长；AE N F B 和圆

6、的半径；解： 连结 AD、OG 点悟： 本例的关键在于正确懂得什么是O点到 AB的距离；AOD1AOB112060O 解： 作 OEAB,垂足为 E,就 OE的长为 O点到 AB的距离, 如下列图：AO B 22OE1AB1126 cm OAOD 22E AOD为等边三角形由垂径定理知：AEBE6cmODAN AOE、 BOE为等腰直角三角形NOND4cm - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载）ODOG8cm COAOcosAOC1015cm 设 HEx ,就 MG2x,MOx4cm2在 Rt OMG 中,由 MG2OM2OG2 得：应选

7、 A；x422x28点拨： 此题考察弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系,要正确构造三角形,敏捷运用；例 8. 等腰 ABC的顶角 A 120 ,腰 ABAC10, ABC的外接圆半径等于（解得： x112,x 24（舍去） A. 20 B. 15 C. 10 D. 5 A C 5解： 如下列图,连结OA、 OB HE的长为12 5cm ABAC10 B D O ABAC点拨： 借助几何图形的性质,找出等量关系,列出方程求解,这是解决几何运算题的常用方法；由垂径定理的推论,得OA垂直平分 BC,垂足为 D 例 5. 已知, AB是 O的弦,半径OCAB于点 D,且 AB8 cm,OC5 cm,就

8、DC的长又 BAC120为（）B. 2.5cm C. 2cm D. 1cm A. 3cm （ 20XX年北京东城区）解： OD552423DC32 cm 应选 C；常见错误：将DC错算为 OD,即算出 OD就不再运算DC了, 从而错选 A；这种错误非常常见,肯定要留意谨慎的运算完全；例 6. 在 O中, AB2AC,那么（） ABC ACB30 BAO60又 OAOB AOB是等边三角形半径 OAOBAB10 应选 C；点拨： 垂径定理及其推论是很重要的性质,主要解题思路是构造特别的三角形,然后应用定懂得题；例 9. 点 P 为半径是 5 的 O内一点,且 OP3,在过点 P的全部弦中,长度为

9、整数的弦一共有（） A. ABACB. AB2AC C. AB2ACD. AB2ACC B B A. 2条B. 3 条C. 4 条D. 5 条解： 如下列图,连结BC；（20XX 年山东）AB2ACA解： 选 C；O 点拨： 圆是中心对称图形,故与P 点对称的点,关于中点对称有一个,关于轴对称有2ACBC个；因此,长度为整数弦一共有4 条；ACBC例 10. 如下列图, M、N分别是 O的弦 AB、CD的中点, ABCD；AC 在 ABC中, ABACBC 求证： AMN CNM M N AB2AC 点悟： 由弦 ABCD,想到利用弧,圆心角、弦、弦心距之间的关B O D 应选 D；系定理,又

10、M、N 分别为 AB、CD的中点,如连结OM、ON,就有 OM点拨： 此题考察弦、弧、圆心角之间的关系,要正确懂得三者之间的关系定理；ON,OMAB,ON CD,故易得结论；例 7. 已知 O的半径是 10cm, AB 是 120 ,那么弦AB的弦心距是（）证明： 连结 OM、ON A. 5cm B. 5 3cmC. 10 3cm D. 53cmAC O为圆心, M、N分别为弦 AB、CD的中点2OMAB,ONCD 解： 如下列图, OA10 cm, AOB120O ABCD AOC1AOBOMON 602 OMN ONM 在 Rt ACO中, AMN90 OMN CNM90 ONM 名师归纳

11、总结 - - - - - - -第 2 页,共 4 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 AMN CNM 点拨： 有弦中点,常用弦心距利用垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理来 证题；欢迎下载 8. 如一个圆经梯形ABCD四个顶点,就这个梯形是_梯形； 9. 弦 AB把 O分 3：7,就 AOB_ ； 10. 如 O半径是 4,P 在 O内,PO2,就过 P点的最短的弦所对劣弧是_度；例 11. 在 O1 与 O2 中,分别有40 的 MN 和 M N 11,那么： 11. O中,弦 AB垂直直径 CD于点 P,半径 OA4cm,OP2cm,就 AOB_, AD

12、C_, BD 度数为 _, ADC周长为 _ cm ；三 . 解答题；（1） MN 与 M N 11相等吗？ 12. 如图, O的两弦 AB,CD相互垂直于H, AH4, BH6,AC B （2） MO N 1与 M O N 1 21相等吗？H CH3,DH8,求 O半径；错解：（ 1）由于 MN 与 M N 11都是 40 的弧O D 所以 MN M N 11（2） MN 与 M N 11相等,所以 M O N 1 1M O N 1 21常见错误：（ 1）误以为弧的度数相等弧亦相等,两弧相等必需是在同圆或等圆的前提下,看它们是否“ 重合”；（ 2）应当知道圆心角是角,它的大小是可以用度数来衡

13、量的,度数相同的角就相等；可见它不受所对的弧相等与否来制约；正解：（ 1）不肯定相等； （2）相等；【模拟试题】（答题时间： 30 分钟）一. 挑选题； 1. 以下命题中,正确的命题是（） 13. 已知：如图, C为 O直径 AB上一点,过C点作弦 DE,使 CDCO,如 AD 度数D A A. 平分一条弦的直径,垂直平分这条弧所对的弦为 50 ,求 BE 的度数； B. 平分弦的直径垂直于弦,并平分弦所对的弧B O C C. 在 O中, AB、CD是弦,如 ACBD,就 AB CD D. 圆是轴对称图形,对称轴是圆的每一条直径E 2. 已知 P为 O内一点,且 OP3cm,假如 O的半径是

14、4cm,那么过 P点的最短弦等于 （ A. 2cm B. 3cm C. 7 cm D. 27 cm 3. 弓形弦长 24,弓形高为8,就弓形所在圆的直径是（） A. 10 B. 26 C. 13 D. 5 4. 在直径是 10cm 的 O中, AB 为 60 ,就弦 AB的弦心距是（） A. 10 3cmB. 15 23cmC. 5 3cmD. 5 23cm 5. AB、CD分别为大小不同圆的弦,共ABCD,那么 AB、CD的关系是（） A. ABCDB. ABCD C. ABCDD. 不确定二. 填空题；名师归纳总结 6. 已知 AB为 O直径, AC为弦, OD BC交 AC于 D,AC

15、6cm,就 DC_；第 3 页,共 4 页 7. 直角三角形外接圆的圆心在_,它的半径为 _一半；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载试题答案一. 挑选题； 1. A 2. D 3. B 4. D 5. D 二. 填空题； 6. 3cm 7. 斜边中点,斜边长 8. 等腰 9. 108 10. 120 11. 120 , 30 或 60 , 60 或 120 , 12 4 3三. 解答题； 12. 过 O分别作 OMAB于 M,ONCD于 N,就得到矩形MHNO 5MOHNCNCH1CDCH1CHHDCH 13. 222又MB1AB1AHBH522Rt BOM中, BOMO2MB2552连结 OD、 AE 就 DOA 50 , DEA 25由 OCCD,有 D DOA 50 BCE D DOA 100 A BCE AED 100 25 75就 BE度数为 75名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 4 页