2022年2022年机器人运动学 .pdf

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1、第二章机器人运动学机器人，尤其是其中最为常用的关节型机器人，由若干个关节所联系起来的一种开链，其一端固结在机座上，另一端安装有末端执行器。已知所有关节变量确定机器人末端执行器的位姿或者由末端手的位姿计算出每一个关节变量值是机器人运动学研究的主要内容。本章主要介绍机器人运动学，首先介绍了1.1 齐次坐标与齐次变换在描述刚体（如零件、工具或机械手）间关系时，要用到点、向量、坐标系、平移、旋转以及变换等概念，这些概念可用齐次矩阵来表示。1.1.1 空间点的表示在指定的直角坐标系A中，空间任一点P（图2-1）的位置可用13的列矢量PA表示：zyxApppP（2.1）其中xp，yp，zp为点P的三个坐标

2、分量，PA的上标A代表参考坐标系A，称PA为位置矢量。图 2-1 位置表示1.1.2 空间向量的表示将一个n维空间的点用1n维坐标表示，则该1n维坐标即为n维坐标的齐次坐标，即：TzyxApppP1（2.2）在上式中加入一个比例因子w，点P表示为：TzyxAwcbaP（2.3）其中，wpaxx，wpbyy，wpczz。式 2.2 和 2.3 表示同一个点P。起始于原点，终止于P点的空间向量也可以采用齐次矩阵形式表示：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页

3、- - - - - - - - - TzyxwcbaP（2.4）若比例因子w变化， 向量的大小也会发生变化，w大于 1，向量所有的分量都变大，如果w小于 1，向量所有的分量都变小，w等于 1，各分量的大小保持不变。w等于 0 表示该向量的方向，称为方向向量。如图2-2 中，i、j、k分别表示直角坐标系中X、Y、Z坐标轴的单位矢量，用齐次坐标表示为：TX0001TY0010TZ0100（2.5）图 2-2 中所示的矢量u的方向表示为：Tu0coscoscos（2.6）其中、分别为矢量u与坐标轴的夹角。1.1.3 刚体位姿的表示为了研究机器人的运动，往往不仅要表示空间某个点的位置，而且需要表示刚体

4、的姿态。指定一个坐标系与此刚体固接，再将此坐标系在空间表示出来，该坐标系称为动坐标系。如图 2-3 所示，O为刚体上任一点，ZYXO为固接在刚体上的一个动坐标系，动坐标系的原点与固定坐标系原点之间做一个向量P来表示动坐标系的位置，即为式2.2。动坐标系的姿态可由其坐标轴方向来表示，令n、o、a分别为X、Y、Z坐标轴的单位向量，每个向量都由其所在固定坐标系中的三个分量表示：TzyxTzyxTzyxaaaaoooonnnn000（2.7）动坐标系的位姿可以由三个表示方向的单位向量以及第四个位置向量来表示，式中前三个向量是0w的方向向量，表示该坐标系的三个单位向量n、o和a的方向，而第四个1w的向量

5、表示动坐标系的原点相对于固定坐标系的位置。与单位向量不同，向量P的长度十分重要，因而比例因子为1。1000zzzzyyyyxxxxpaonpaonpaonpaonF（2.8）由于动坐标系一直固接在该刚体上，只要动坐标系在空间表示出来，刚体相对于固定坐名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 标系的位姿也可以采用式2-8 进行描述。空间中的刚体具有沿着X、Y和Z三轴的移动和绕三轴的旋转，因此需要6 条独立的信息描述刚体的位姿

6、。而式2-8 中给出了 12 条信息，其中 9 条为姿态信息，3 条为位置信息。三个单位向量n、o和a两两正交，因而它的9 个元素满足6 个约束条件：0oaanon（2.9）1aon（ 2.10）1.2 齐次变换变换为空间的一个运动，由旋转和平移组成。当空间的一个坐标系相对于固定的参考坐标系运动时， 这一运动可以用类似于表示坐标系的方式来表示。变换本身就是坐标系位姿的变换，分为以下几种形式：1.2.1 平移的齐次变换一个坐标系 （或刚体）在空间中以不变的姿态运动，该变换为平移变换。坐标系的单位向量保持同一方向不变，所有改变只是坐标系原点相对于参考坐标系的变化，如图 2-2 所示。相对于固定参考

7、系的新的坐标系的位置可以用原来坐标系的原点位置向量加上表示位移的向量求得。变换矩阵为：1000100010001zyxdddT（2.9）其中xd，yd和zd是纯平移向量d相对于参考坐标系x，y和z轴的三个向量， 矩阵T的前三列等同于单位矩阵，表示没有旋转运动，最后一列表示平移运动。若坐标系平移前的位姿矩阵为：1000zyxoldPazoznzPayoynyPaxoxnxF（2.9）则，坐标系平移后的位姿矩阵为：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - -

8、 - - - - - - - 10001000100010001zzyyxxoldzyxnewdPazoznzdPayoynydPaxoxnxFdddF（2.9）也可表示为：oldzyxnewFdddTransF),(（2.9）对比式子2.9 和 2.9，坐标系平移变换前后的位姿矩阵维数相同，方向向量保持不变，仅是位置向量发生变换，即为d和P相加的结果。1.2.2 旋转的齐次变换空间某点P，坐标为),(zyxPPP，当它绕x轴旋转角后至P点，坐标为),(zyxPPP，P点和P点的坐标关系为：cossinsincoszyzzyyxxPPPPPPPP（2.9）写成矩阵形式为：zyxzyxPPPPP

9、Pc o ss i n0s i nc o s0001（2.9）也可表示为：PxRotP),(（2.9）),(xRot表示齐次坐标变换时绕x轴的旋转变换矩阵，第一列表示相对于x轴的位置，其值为 1，0，0，它表示沿着x轴的坐标没有改变。习惯上采用符号C表示cos，S表示sin，因此旋转矩阵表示为：CSSCxRot00001),(（2.9）将上式矩阵写成44的齐次变换矩阵为：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - 10000

10、0000001),(CSSCxRot（2.9）同理，绕y轴和z轴的旋转矩阵分别为：100000001000),(CSSCyRot100001000000),(CSSCzRot（2.9）1.2.3 复合变换复合变换是由固定参考坐标系或当前运动坐标系的一系列沿轴平移和绕轴旋转变换所组成的。 任何变换都可以分解为按一定顺序的一组平移和旋转变换，将两种变换组合在一个齐次变换中，称为复合变换。在计算变换矩阵时，要考虑算子左、右乘规则：如果相对于固定坐标系进行变换，则算子左乘；如果相对于动坐标系进行变换，则算子右乘。动坐标系aon,相对于参考坐标系zyx,依次进行下面三种变换： （1） 绕x轴旋转度； （

11、2）接着沿x轴平移1l，沿z轴平移3l； （3）最后，绕y轴旋转度。点P固连在动坐标系上，动坐标系与固定坐标系重合，随着动坐标系aon,相对于固定坐标系旋转或平移时，坐标系中的P点相对于固定坐标系也跟着改变，第一步变换后，P点相对于固定坐标系的坐标为：PxRotPxyz),(, 1；（2.9）第二步变换后，P点相对于固定坐标系的坐标为：PxRotllTransPllTransPxyzxyz),(), 0,(),0,(31, 131,2；（2.9）第三步变换后，P点相对于固定坐标系的坐标为：PxRotllTransyRotPyRotPxyzxyz),(), 0,(),(),(31,2,3； （2

12、.9）每一步变换都是用变换矩阵左乘P点的坐标得到该点相对于固定坐标系的坐标，矩阵的书写顺序和进行变换的顺序正好相反，变换的顺序很重要，如果颠倒了变换的顺序，结果将完全不同。1.2.4 相对于动坐标系的变换上述介绍的变换是相对于固定坐标系进行的，所有的平移距离和旋转角度都是相对于参名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 考坐标系轴来测量的。在实际应用中， 也有可能相对于动坐标系或当前坐标系的轴变换。点P固连在动坐标系aon

13、,上，依次进行下面三种变换：（1）绕a轴旋转度； （2）接着沿n轴平移1l，沿a轴平移3l； （3）最后，绕o轴旋转度。为了计算当前坐标系中点的坐标相对于参考坐标系的变化，这时需要右乘变换矩阵而不是左乘。第一步变换后，P点相对于固定坐标系的坐标为：PaRotPxyz),(, 1；（2.9）第二步变换后，P点相对于固定坐标系的坐标为：PllTransaRotPxyz),0,(),(31,2；（2.9）第三步变换后，P点相对于固定坐标系的坐标为：PRotllTransaRotPxyz),(),0 ,(),(31, 3；（2.9）1.3 机器人位姿分析1.3.1 杆件坐标系的建立名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -