2022年人教版初中数学第五章相交线与平行线知识点.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第五章 相交线与平行线5.1 相交线5.1.1 相交线邻补角与对顶角 两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角,它们的概念及性质如下表：对顶角图形2顶点边的关系大小关系1有公共顶点 1 的两边与对顶角相等2 的两边互为反即 1=2向延长线1 与 2邻补角43有公共顶点 3 与 4 有一3+4=180条边公共,另一边互为反向延长3 与 4线.留意点：（1）对顶角是成对显现的,对顶角是具有特别位置关系的两个角；（2）假如 与 是对顶角,那么肯定有 =；反之假如 =,那么 与 不肯定是对顶角；（3）假如 与 互为邻补角, 就肯定有 + =180；

2、反之假如 + =180,就 与 不肯定是邻补角；（4）两直线相交形成的四个角中,每一个角的邻补角有两个,而对顶角只有一个 . 例：如图,三条直线交于一点,任意找出图中的四对对顶角错解：如图,对顶角为：（1） AOC 与 BOD ；（2） AOF 与 BOD ；（3） COF 与 DOE ；（4） AOC 与 BOE 错解分析：错解中把有公共顶点的角误认为是对顶角,导致（2）和（ 4）错误假如对对顶角的概念没有真正懂得和把握,在比较复杂的图形识别中会产生错误对顶角就是：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长 线 正解：（1） AOC 与 BOD ；（2） BOE 与 AOF；（3） COF

3、与 DOE ；（4） COE 与 DOF （答案不唯独：5.1.2 垂线AOE 与 BOF, BOC 与 AOD 也是对顶角）1、定义： 当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线相互垂直,其中的一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足.符号语言记作：AOCB如下列图： AB CD,垂足为 OD名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2、在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 .3、连接直线外一点与直线上各点的全部线段中,垂线段最短.简称：垂线段最短.4、点到直线的距离直线外一点到这

4、条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离5.1.3 同位角、内错角、同旁内角两条直线被第三条直线所截形成八个角,它们构成了同位角、内错角与同旁内角 .如图,直线 a, b 被直线 l 所截2 13 41、 1 与 5 在截线 l 的同侧,同在被截直线 a, b 的上方,叫做同位角（位置相同）6 57 82、 5 与 3 在截线 l 的两旁（交叉） ,在被截直线 a, b 之间（内）,叫做内错角（位置在内且交叉）3、 5 与 4 在截线 l 的同侧,在被截直线 a, b 之间（内）,叫做同旁内角 .例：A D3 42B 1 5 6 7 FC 89E如图,判定以下各对角的位置关系：（1） 1 与

5、2；（2） 1 与 7；（3） 1 与 BAD ；（4） 2 与 6；（5） 5 与 8.解：我们将各对角从图形中抽出来（或者说略去与有关角无关的线）,得到以下各图.如下列图, 不难看出 1 与 2 是同旁内角； 1 与 7 是同位角； 1 与 BAD 是同旁内角； 2 与 6 是内错角；5 与 8 对顶角 .BA5F8B1AE7 CB1AFDBA6D221 AFCBC留意：图中 2 与 9,它们是同位角吗？不是, 2 与 9 的各边分别在四条不同直线上,不是两直线被第三条直线所截而成 .5.2 平行线及其判定5.2.1 平行线1、平行线的概念：在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线,直线a

6、 与直线 b 相互平行,记作a b .第 2 页,共 6 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2、两条直线的位置关系在同一平面内,两条直线的位置关系只有两种：相交；平行 .因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时,就可以确定它们平行；反过来也一样（这里,我们把重合的两直线看成一条直线）判定同一平面内两直线的位置关系时,可以依据它们的公共点的个数来确定：有且只有一个公共点,两直线相交；无公共点,就两直线平行；两个或两个以上公共点,就两直线重合（两点确定一条直线）3、平行公理 平行线的存在性与惟一性经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平

7、行4、平行公理的推论：假如两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也相互平行如左图所示,b a , c a b c留意符号语言书写,前提条件是两直线都平行于第三条直线,才会结论,这两条直线都平行 .例：同一平面内,不相交的两条线是平行线 .错解：对错解分析：平行线是同一平面内两条直线的位置关系,不相交的两条线,说的不明确如是射线或线段有可能不相交.说法是错误的正解：同一平面内,不相交的两条直线是平行线5.2.2 平行线的判定判定方法 1 两条直线被第三条直线所截,假如同位角相等,那么这两条直线平行简称：同位角相等,两直线平行判定方法 2 两条直线被第三条直线所截,假如内错角相等,那么这两条直

8、线平行简称：内错角相等,两直线平行判定方法 3 两条直线被第三条直线所截,假如同旁内角互补,那么这两条直线平行简称：同旁内角互补,两直线平行AF1EDB几何符号语言：3 23 4AB CD （同位角相等,两直线平行）C21 2AB CD （内错角相等,两直线平行）4 2 180AB CD （同旁内角互补,两直线平行）例：判定以下说法是否正确,假如不正确,请赐予改正：（1）不相交的两条直线必定平行线 .（2）在同一平面内不相重合的两条直线,假如它们不平行,那么这两条直线肯定相交 .（3）过一点可以且只可以画一条直线与已知直线平行解：（1）错误 .平行线是在 “ 同一平面内不相交的两条直线” .

9、“在同一平面内 ”是一项重要条件,不能遗漏.（2）正确（3）错误 .正确的说法是 “ 过直线外一点 ”而不是 “ 过一点 ” .假如这一点不在已知直线上,是作不出这条直线的平行线的 .名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例：如图,由条件2 B,1 D,3 F180,可以判定哪两条直线平行,并说明判定的依据是什么？AD1BE2 3CF解：（1）由 2 B 可判定 AB DE,依据是同位角相等,两直线平行；（2）由 1 D 可判定 AC DF,依据是内错角相等,两直线平行；（3）由 3 F180可判定 AC DF,依据同旁

10、内角互补,两直线平行 .5.3 平行线的性质5.3.1 平行线的性质性质 1：两直线平行,同位角相等；性质 2：两直线平行,内错角相等；性质 3：两直线平行,同旁内角互补 .EA13 4B几何符号语言：AB CD 1 2（两直线平行,内错角相等）CF2DAB CD 3 2（两直线平行,同位角相等）AB CD 4 2180（两直线平行,同旁内角互补）例：已知 1 B,求证： 2 C A证明： 1 B（已知）DE BC（同位角相等,两直线平行）BD12E 2 C（两直线平行,同位角相等）例：如图, AB DF,DE BC, 165C求 2、 3 的度数AD 32EF 1B解： DE BCC 2 1

11、 65（两直线平行,内错角相等）AB DF 3 2 180（两直线平行,同旁内角互补） 3180 218065115名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例：如图,直线AB,CD 分别和直线MN 相交于点 E,F,EG 平分 BEN,FH 平分 DFN如 AB CD ,你能说明EG 和 FH 也平行吗 . 错解： EG 平分 BEN, BEG =1 2同理, FH 平分 DFN , DFH =1 2BENDFN 又 AB CD, BEN =DFN ；从而 BEG =DFH EG FH 错解分析： 在复杂的图形中正确地找出

12、同位角、内错角或同旁内角,是运用平行线的判定或性质的前提认清一对同位角、内错角或同旁内角的关键是弄清截线和被截线,截线就是它们的公共边,其余两条边就是被截线而BEG 和 DFH 不是直线 EG,FH 被某条直线所截得的同位角,由 BEG=DFH 不能判定 EG FH 正解： EG 平分 BEN, BEG =GEN =1BEN,2同理, FH 平分 DFN , DFH =HFN =1DFN ,2又 AB CD , BEN = DFN,从而 GEN =HFN 而 GEN, HFN 是直线 EG,FH 被直线 MN 所截得的同位角,EG FH 例：如图,ABC 中,已知 1+2=180 , 3=B,

13、 试判定 DE 与 BC 的位置关系,并说明理由错解： 1+2=180 , EF AB 3+BDE =180 3=B, B+BDE =180 DE BC错解分析：由1 2=180 ,不能得到EF AB虽然 1 和 2 是由直线 EF 和 AB 被直线 DC 所截得的角,但由于它们不是同旁内角,尽管 1 2=180 , 也不能得到EF AB正解： 1=4, 1 2=180 , 2+4=180 EF DB同旁内角互补,两直线平行 3+BDE =180 两直线平行,同旁内角互补 3=B, B+BDE=180 DE BC 同旁内角互补,两直线平行 5.3.2 命题、定理、证明1、命题的概念：判定一件事

14、情的语句,叫做命题 .2、命题的组成每个命题都是题设、结论两部分组成.题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项.第 5 页,共 6 页3、假如题设成立,那么结论肯定成立,这样的命题叫真命题.假如题设成立,不能保证结论肯定成立,这样的命题叫做假命题.名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4、经过推理证明而得到的真命题叫做定理 .5、在许多情形下,一个命题的正确性需要经过推理才能作出判定,这个推理过程叫做证明 .5.4 平移1、平移变换把一个图形整体沿某一方向移动,会得到一个新的图形,新图形与原图形的外形和大小完全相同 .新图形的每一点,都是由

15、原图形中的某一点移动后得到的,这两个点是对应点连接各组对应点的线段平行且相等2、平移的特点：经过平移之后的图形与原先的图形的对应线段平行（或在同始终线上）且相等,对应角相等,图形的外形与大小都没有发生变化 .经过平移后,对应点所连的线段平行（或在同始终线上）且相等 .例：如图,ABC 经过平移之后成为DEF,那么：（1）点 A 的对应点是点；（2）点 B 的对应点是点.A DB E C F（3）点的对应点是点 F；（4）线段 AB 的对应线段是线段；（5）线段 BC 的对应线段是线段；（6） A 的对应角是.（7）的对应角是F.解：（1）D；（ 2）E；（3）C；（4） DE；（5） EF；（ 6） D；（7） ACB.名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页