2022年二次函数基础知识点总结.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 课题二次函数学习好资料欢迎下载教学目标重 点难 点一、全面懂得二次函数的定义（1）二次函数有四种表达形式二次一项式型：形如 y=ax 2（a 是常数,且 a 0）,x 取任意实数；二次二项式型：形如 y=ax 2+bx（a 是常数,且 a 0,b 是常数, b 0）,x 取任意实数；二次二项式型：形如 y=ax 2+c（a 是常数,且 a 0,c 是常数, c 0）,x 取任意实数；二次三项式型：形如 y=ax 2+bx +c （a 是常数,且 a 0,b 是常数, b 0,c 是常数, c 0）,x取任意实数；（2）不论是哪一种表示形式, 都

2、必需规定 a 0,否就,就没有了二次项, 二次函数就没有意义了 ；（3）二次函数解析式的三种形式（1）一般式：yax2bxc说明：当已知抛物线上任意三点或三组（a,b,c 为常数, a 0）x,y 的对应值时时, 通常设函数解析式为（2）顶点式：ya xh 2k一般式；当已知抛物线顶点坐标或对称轴,（a 0）函数最值等及第三点时,设二次函数（3）交点式：ya xx 1xx 2ya xh2k ,求解；（a 0）已知抛物线与x 轴的交点或交点的横坐标时,通常设为交点式作业名师归纳总结 二、把握二次函数的图像和性质第 1 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - -

3、- - - 学习好资料 欢迎下载y=ax 2（a 是常数,且 a 0）的图像和性质y=ax 2+bx（a 是常数,且 a 0,b 是常数, b 0）的图像和性质y=ax 2+c（a 是常数,且 a 0,c 是常数, c 0）的图像和性质名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载y=ax 2+bx +c（a 是常数,且 a 0,b 是常数, b 0,c 是常数, c 0）的性质 a0 时 ,开口向上； a0 时,开口向下顶点坐标是（ -b,4acab2）,对称轴是直线 x=-b；4acb2；2a42 a当

4、a0 时 ,函数有最小值, y=4acab2；a0 时,函数有最大值, y=44 a性质,当 a0 时,在对称轴的左边, y 随 x 的增大而减小,在对称轴的右边,的增大而增大；当 a0 时,在对称轴的左边, y 随 x 的增大而增大,在对称轴的右边,y 随 x y 随 x的增大而减小 . 三、会结合图像确定y=ax +bx +c （a 是常数,且a 0,b是常数, b 0,c 是常数, c 0）的四种符号a 的符号：看抛物线的开口方向：开口向上, a0；开口向下 a0; b 的符号：有对称轴的位置和的a 符号确定：对称轴是 y 轴, b=0；对称轴在原点的左侧：b0,2a对称轴在原点的右侧,

5、b0；2ac 的符号：看抛物线与 y 轴交点的位置：名师归纳总结 交点在原点, c=0；第 3 页,共 9 页交点在原点以上, co；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载交点在原点以下, c0；b 24ac 的符号：看抛物线与 x 轴交点的个数：抛物线与 x 轴有两个交点 b b24ac0；抛物线与 x 轴有一个交点 b24ac=0,抛物线与 x 轴没有交点24ac0,四、把握确定二次函数关系式的基本条件确定二次函数的关系式,要具备的基本条件是：对于表达式是 y=ax 2（a 0）的 , 要确定出待定字母 a 的值的基本条件是：知道图

6、像上一个点的坐标；对于表达式是 y=ax 2+bx（a 0）的, 要确定出待定字母 a、b 的值的基本条件是：知道图像上两个点的坐标；对于表达式是 y=ax 2+c（a 0）的, 要确定出待定字母 a、c 的值的基本条件是：知道图像上两个点的坐标；对于表达式是 y=ax-h 2（a 0）的, 要确定出待定字母a、h 的值的基本条件是：知道图像上两个点的坐标；a、h、k 的值的基本条对于表达式是 y=ax-h2+ka 0）的, 要确定出待定字母件是：知道图像上三个点的坐标；特别条件：知道抛物线的顶点和图像上的一个点的坐标 对于表达式是 y=ax 2+bx+c（a 0）中, 要确定出待定字母 件是

7、：知道图像上三个点的坐标；这是最基本的懂得；五、确定二次函数关系式的基此题型4.1 二次函数关系式设为： y=ax 2（a 0）a、b、c 的值的基本条例 1、有一座抛物线形拱桥,正常水位时,AB宽为 20 米,水位上升 3 米就达到戒备水位线 CD,这时水面的宽度为 中,求出二次函数的解析式；10 米；请你在如图 1 所示的平面直角坐标系解：依据图象,知道抛物线的对称轴是 标为原点,y 轴,顶点坐 2（a 0）,所以,不妨设二次函数的解析式：y=ax由于, AB=20,所以, FA=FB=10,由于, CD=10,所以, EC=ED=5 所以,点 A的坐标为（ -10 ,y ）,所以,1y

8、）,点 C的坐标为（ -5 ,名师归纳总结 y = a （ -5 ）2=25a,第 4 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1y = a （-10 ）2=100a,学习好资料欢迎下载由于, EF=3,所以,y -1y =3,所以, 25a -100a=3 ,解得： a=-1 ,所以,所求函数的解析式：25y=-1 x 252；小结：当知道抛物线的顶点坐标为原点,且对称轴是通常的解题思路如下：y=ax2（a 0）设二次函数的解析式为：y 轴时,要求二次函数的解析式,把已知点的坐标代入所设的解析式中,转化成关于 解方程,求得 a 值；a 的一元

9、一次方程；把 a 的值代入所设的解析式中,得二次函数的解析式；4.2 二次函数关系式设为： y=ax 2+bx（a 0）例 2、（2022 年巴中市）王强在一次高尔夫球的练习中,在某处击球,其飞行路线满意抛物线 y 1x 2 8 x ,其中 y （m）是球的飞行高度,5 5的水平距离,结果球离球洞的水平距离仍有 2m,如图 2 所示；x （m）是球飞出（1）请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴（2）恳求出球飞行的最大水平距离（3）如王强再一次从今处击球,要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞,就球飞行路线应满意怎样的抛物线,求出其解析式解：名师归纳总结 （1）y1x28xx4；第 5 页,

10、共 9 页551x421655所以,抛物线y1x28x 的开口向下,顶点为4,165,对称轴为直线55（2）令y0,得：1x28x0,5510m 解得：x 10,x 28,所以,球飞行的最大水平距离是8m（3）要让球刚好进洞而飞行最大高度不变,就球飞行的最大水平距离为- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载所以,抛物线的对称轴为 x 5,顶点为（ 5,16 ）,5 设此时对应的抛物线解析式为：y=ax 2+bx（a 0）,由于,抛物线经过点（ 10,0）,所以, 100a+10b=0,即 10a+b=0,由于,抛物线经过点（ 5,16 ）

11、,516x232x ；所以, 25a+5b= 16 ,即 5a+b= 16 ,5 25解得：a16,b=32 ,25125所以,二次函数的解析式是：y12525小结 ： 当知道抛物线经过原点,且抛物线与x 轴相交,要求二次函数的解析式,通常的解题思路如下：y=ax2+bx（a 0）设二次函数的解析式为：把点的坐标代入所设的解析式中,转化成关于a、b 的二元一次方程组；解方程组,求得 a、b 值；把 a、b 的值代入所设的解析式中,得二次函数的 解析式；4.3 二次函数关系式设为： y=ax 2+c（a 0）例 3、桂林红桥位于桃花江上,是桂林两江四湖的一道亮丽的风景线,该桥的部 分横截面如图

12、3 所示,上方可看作是一个经过、三点的抛物线,以桥面 的水平线为轴, 经过抛物线的顶点与轴垂直的直线为轴,建立直角坐标系,已知此桥垂直于桥面的相邻两柱之间距离为米（图中用线段、等表示桥柱）米,米（1）求经过、三点的抛物线的解析式；（2）求柱子的高度；解：由于,抛物线的对称轴是 y 轴,所以,设二次函数解析式为：y=ax 2+c（a 0）,由于,二次函数图象过点 C（0,1）,所以, c=1,由于,此桥垂直于桥面的相邻两柱之间距离为米（图中用线段、等表示桥柱）,且米,所以,点 F 的坐标是（ -4 ,2）,所以, 16a+1=2,名师归纳总结 解得： a=1 ,16y=1 x 162+1；第 6

13、 页,共 9 页所以,二次函数的关系式是：（2）,由于, OD=8米,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载设点 A 的坐标是（ -8 ,y）,所以, y=1 （ -8 ）162+1=5,5 米；因此,柱子的高为小结：当知道抛物线的顶点在y 轴上,和抛物线上的一个点A（x1,y1）时,要求二次函数的解析式,通常的解题思路如下：设二次函数的解析式为：y=ax2+c（a 0）把点的坐标代入所设的解析式中,转化成关于 解方程组,求得 a、c 值；a,c 的二元一次方程组；把 a、c 的值代入所设的解析式中,得二次函数的解析式；4.4 二次函数

14、关系式设为： y=ax-h 2（a 0）例 4、在直角坐标平面内, 二次函数图象的顶点为 求该二次函数的解析式；解：设二次函数解析式为：y=a（x-1 ）2,由于,二次函数图象过点B（3,4）,所以, 4a=4,A（1,0）,且过点 B（3,4）解得： a=1, 所以,二次函数解析式为：y=（x-1 ）2,即 y=x2-2x+1 ；小结：当知道抛物线的顶点坐标：M（h,0）和抛物线上的一个点A（x1,y1）时,要求二次函数的解析式,通常的解题思路如下：设二次函数的解析式为：y=a（x-h ）2a 0）把点 A 的坐标代入所设的解析式中,转化成关于a 的一元一次方程；解方程,求得 a 值；把 a

15、 的值代入所设的解析式中,得二次函数的解析式；4.5 二次函数关系式设为： y=ax-h 2+ka 0）例 5、在直角坐标平面内, 二次函数图象的顶点为 求该二次函数的解析式；解：设二次函数解析式为：y=a（x-1 ）2-4 ,由于,二次函数图象过点B（3,0）,所以, 4a-4=0,A（1,-4 ）,且过点 B（3,0）解得： a=1, 所以,二次函数解析式为：y=（x-1 ）2-4 ,即 y=x 2-2x-3 ；六、把握求抛物线 y=ax2+bx +c（a 是常数,且 a 0,）顶点坐标的两种方法1、配方法求顶点坐标名师归纳总结 基本步骤是：1,各系数提取 a,得：第 7 页,共 9 页把

16、二次项的系数化成- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载y=a（x 2 bx c ,a a在括号里现加上一次项系数一半的平方,接着再减去一次项系数一半的平方,得：y=a（x2bxc=a【x22b axb2b2c】,aa2a2aa配方,并整理,得：x222】,b axbbcy=a（x2bxc=a【aa2a2aa= a 【xb24acab】,2a42去掉括号,得：y=a（x2b ax2c=a【x2bxb2b2c】,aa2a2aa= a 【xb4acb2】,2a4a2=axb24acb22a4a写出函数的坐标：所以,抛物线的顶点坐标是： （-b

17、,4acb2）；2a4 a2、公式法求顶点坐标y=ax2+bx +c （a 是常数,且a 0,）的顶点坐标是（ -b,4acab2）,在求顶2 a4点坐标时, 同学们就可以熟记这个式子, 把它作为求函数顶点坐标的一个公式来用；用的基本步骤是：依据 y=ax 2+bx +c （a 是常数,且 a 0）,确定 a、b、c 的值,代入 x=-b 中,求顶点坐标的横坐标,2 a2代入 x= 4 ac b 中,求顶点坐标的纵坐标,4 a横坐标,纵坐标合起来,写出顶点的坐标；七、娴熟应用待定系数法求二次函数的解析式求二次函数的解析式, 主要有三种方式, 同学们要娴熟把握其条件特点和挑选的求解模式；（1）

18、设解析式是一般式名师归纳总结 条件特点：已知抛物线上任意的三个点的坐标,求解析式第 8 页,共 9 页当知道抛物线上一般的三个点的坐标：A（x1,y1）、B（x2,y2）、C（x3,y3）时,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载a、b、c 的三元一要求二次函数的解析式,通常的解题思路如下：设二次函数的一般形式：y=ax2+bx+c（a 0）把点 A、B、C的坐标分别代入所设的解析式中,转化成关于 次方程组；解方程组,求得a、b、c 的值；把 a、b、c 的值分别代入所设的解析式中,得二次函数的解析式；（2） 设解析式是顶点式条件特点：已

19、知抛物线的顶点坐标,和某一个点的坐标,求解析式当知道抛物线的顶点坐标：M（h,k）和抛物线上的一个点A（x1,y1）时,要求二次函数的解析式,通常的解题思路如下：设二次函数的解析式为：y=a（x-h ）2+k（a 0）把点 C的坐标代入所设的解析式中,转化成关于a 的一元一次方程；解方程,求得 a 值；把 a 的值代入所设的解析式中,得二次函数的解析式；（3）设解析式是交点式条件特点：已知抛物线与 x 轴的交点坐标,和某一个点的坐标,求解析式 当抛物线与 x 轴的交点坐标： A（x1,0）、B（x2,0）、C（x3,y3）时,要求二次函数的解析式,通常的解题思路如下：设二次函数的解析式为：y=a（x-x1）（x-x2）（a 0）把点 C的坐标代入所设的解析式中,转化成关于 a 的一元一次方程；解方程,求得 a 值；把 a 的值代入所设的解析式中,得二次函数的解析式；名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页