2022年二项式定理十大典型问题及例题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学科老师辅导讲义学员编号：年级：高二课 时 数： 3 学员姓名：辅导科目：数学学科老师：教学内容1二项式定理：ab n0 C an1 C an1 bLr C an rbrLn C bnnN,2基本概念：二项式绽开式：右边的多项式叫做abn的二项绽开式；T r1r C an rr b 表示；二项式系数 : 绽开式中各项的系数Crr0,1,2, n . n项数：共 r1项,是关于 a 与 b 的齐次多项式通项：绽开式中的第r1项r C anrr b 叫做二项式绽开式的通项；用3留意关键点：项数：绽开式中总共有 n 1 项；次序：留意正确挑选 a ,

2、 b , 其次序不能更换； a b n与 b a n是不同的；指数： a 的指数从 n 逐项减到 0 ,是降幂排列；b 的指数从 0 逐项减到 n ,是升幂排列；各项的次数和等于 n . 0 1 2 r n系数： 留意正确区分二项式系数与项的系数,二项式系数依次是 C n , C n , C n , , C n , , C n . 项的系数是a与 b 的系数（包括二项式系数） ；4常用的结论：令a1, bx ,1xnC0 n1 C x2 C x2Lr C xrLn C xnnnNN令a1, bx1xnC0 n1 C x2 C x2Lr C xrLn 1n C xn5性质：二项式系数的对称性：与

3、首末两端“ 对距离” 的两个二项式系数相等,即LCrC0 nCn n, Ck nk C n1二项式系数和：令ab1, 就二项式系数的和为C0C1C2Ln nn 2C,nnnn变形式C1C2LCrLCn2n1；nnnn1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 奇数项的二项式系数和 =偶数项的二项式系数和：在二项式定理中,令a1, b1,就C01 C nC2C3Ln 1Cn21 1nn0,nnnn从而得到：C0C2C42 C nrC1C3LC2r11nn 21nnnnnn2奇数项的系数和与偶数项的系数和：La xaxn0 n

4、C a x01 C an1x2 C an2x2Ln 0C a xna0a x1a x2xan0 0C a xn1 C axn12 2C a xn2Ln nC a x0a xnLa x2a x1a0令x1,就a 0a 1a2a 3Lana1n令x1,就a 0a 1a2a 3Lanan 1得,a0a 2a4La na1n2an 1奇数项的系数和得,a 1a 3a 5Lanan 12a1n偶数项的系数和n二项式系数的最大项：假如二项式的幂指数 n 是偶数时,就中间一项的二项式系数 C n 2 取得最大值；n 1 n 1假如二项式的幂指数 n 是奇数时,就中间两项的二项式系数 C n 2 , C n

5、2 同时取得最大值；系数的最大项：求 a bx n绽开式中最大的项,一般采纳待定系数法；设绽开式中各项系数分别A r 1 A r为 A 1 , A 2 , , A n 1,设第 r 1 项系数最大,应有,从而解出 r 来；A r 1 A r 2专题一题型一：二项式定理的逆用；例：C1C26C362LCn n6n163L1 n .nnnC3 n解：16nC0C16C262Cn6n与已知的有一些差距,nnnn练：C1 nC2 n6C3 n2 6LCn n6n11 6 C6C2 n62LCn nn 6 1C01 C n6C262n 6116n117n1LCn n1nn666Cn n .C13 C29

6、 C3L3n1nnn2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解：设S nC13 C29C3L3n1Cn,就nnnn3S nC13C22 3C33 3LCn3nC0C13C22 3C333LCnn 3113n1nnnnnnnnnS n13n14n133,由题型二：利用通项公式求n x 的系数；例：在二项式413x2n的绽开式中倒数第3 项的系数为 45 ,求含有3 x 的项的系数？x解：由条件知Cn245,即C245,2 nn900,解得n9舍去 或n10nnrT1r C 10x1 410 rx2rr C x10r2r,

7、由题意10r2r3,解得r6,343r343就含有3 x 的项是第 7 项T 6 16 C x32103 x , 系数为 210 ；练：求x219绽开式中9 x 的系数？2x解：rT1Crx29r1rr 18 2C xr1rxrCr1r18 3 xr,令 183 r9, 就992x22故9 x 的系数为C31321；922题型三：利用通项公式求常数项；例：求二项式x221x10的绽开式中的常数项？,得r08,所以T 98 C 101 2845C320解：rT1r C 10x210r21xrCr1rx205r,令205r021022256练：求二项式2x16的绽开式中的常数项？2r,得r3,所以

8、T 43 12x解：rT1Cr2 6rr 1 1r 1rCr26r1rx62r,令 66662x2练：如x21n的二项绽开式中第5项为常数项,就n_. x解：T 5C4x2n4144 C x2n12,令 2n120,得n6nx题型四：利用通项公式,再争论而确定有理数项；例：求二项式x3x9绽开式中的有理项？3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解：rT1Crx19rx1rr 1r C x27r,令27 6rZ , 0r9 得r3 或r9,2369所以当r3时,27 6r4,T 43 13 C x4844 x ,n 2

9、 ,当r9时,276r3,T 103 19 C x33 x ；题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；例：如x2312n绽开式中偶数项系数和为256,求 n . x解：设x2312n绽开式中各项系数依次设为a0,a 1,a n,x令x1, 就有a 0a 1an0,令x1, 就有a0a 1a2a3 1nan将 - 得：2a 1a 3a5n 2 ,a 1a3a52n1,有题意得,2n125628,n9；练：如3151n的绽开式中,全部的奇数项的系数和为1024,求它的中间项；xx2n11解：QC02 C nC4C2rC1C3LC2r1n 21,2n11024,解得nnnnnn所以中间两

10、个项分别为n6,n7,T 5 1C5316 515462x4,T 6 146261x15nx2x题型六：最大系数,最大项；例：已知12 n,如绽开式中第5项,第 6 项与第 7 项的二项式系数成等差数列,求绽开式中二项式系数最大项2的系数是多少？4 6 5 2解：Q C n C n 2 C n , n 21 n 98 0, 解出 n 7 或 n 14,当 n 7 时,绽开式中二项式系数最大的项是T 4 和 T 5 T 4 的系数 C 7 3 1 2 4 3 35 ,T 5 的系数 C 7 4 2 1 3 470, 当 n 14 时,绽开式中二项式系数最大2 2 2的项是 T ,T 的系数 C

11、14 7 1 2 7 73432；22 n练：在 a b 的绽开式中,二项式系数最大的项是多少？解：二项式的幂指数是偶数 2n,就中间一项的二项式系数最大,即 T 2 n 1 T n 1,也就是第 n 1 项；2x 1 n练：在 2 3x 的绽开式中,只有第 5项的二项式最大,就绽开式中的常数项是多少？4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解：只有第 5项的二项式最大,就n15,即n8, 所以绽开式中常数项为第七项等于C61278227练：写出在 a b 的绽开式中,系数最大的项？系数最小的项？解：由于二项式的幂指数

12、 7 是奇数,所以中间两项 第 4,5 项 的二项式系数相等,且同时取得最大值,从而有3 4 3 4 3 4T 4 C a b 的系数最小,T 5 C a b 系数最大；练：如绽开式前三项的二项式系数和等于 79,求 12 n的绽开式中系数最大的项？2解：由 C n 0C 1n C n 279, 解出 n 12 , 假设 rT 1 项最大,Q 12 12 1 121 4 122 2r r r 1 r 1AA rr 11 AA rr 2 CC 1212 r 44 r CC 1212 r 1 44 r 1,化简得到 9.4 r 10.4,又 Q 0 r 12,r 10,绽开式中系数最大的项为 T

13、11 ,有 T 11 1 12C 12 104 10x 1016896 x 10210练：在 1 2 的绽开式中系数最大的项是多少？r r r解：假设 rT 1 项最大,Q rT 1 C 102 xr r r 1 r 1A r 1 A r C 10 2 C 10 2 211 r rA r 1 A r 2 C 10 r2 rC 10 r 12 r 1, 解得r 1 210 r ,化简得到 6.3 k 7.3,又 Q 0 r 10,7 7 7 7r 7,绽开式中系数最大的项为 T 8 C 102 x 15360 x .题型七：含有三项变两项；2 5例：求当 x 3 x 2 的绽开式中 x 的一次项

14、的系数？2 5 2 5 r 2 5 r r解法： x 3 x 2 x 2 3 ,rT 1 C 5 x 2 3 ,当且仅当 r 1 时,rT 1 的绽开式中才有 x1 2 4 1 4 4的一次项,此时 rT 1 T 2 C 5 x 2 3 x ,所以 x 得一次项为 C C 42 3 x1 4 4它的系数为 C C 42 3 240；2 5 5 5 0 5 1 4 5 0 5 1 4 5 5解法： x 3 x 2 x 1 x 2 C x C x C 5 C x C x 2 C 5 2 故绽开式中含 x 的项为 C xC 45 52 5C x 42 4240 x ,故绽开式中 x 的系数为 240

15、.练：求式子 x 12 3的常数项？x解： x 12 3 x 1 6,设第 r 1 项为常数项,就 rT 1 C 6 r 1 rx 6 r 1 r 1 6C 6 rx 6 2 r,得x x x5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 62 r0,r3, T 3 13 1C320.6题型八：两个二项式相乘；例：求13 2 1x 4绽开式中x2 的系数 . 解：Q12 3 的绽开式的通项是m C 32 mm C 32mxm,1x4的绽开式的通项是CnxnCnn 1xn,其中m0,1,2,3,n0,1,2,3, 4,44令mn

16、2,就m0 且n2,m1 且n1,m2且n0, 因此13 2 1x 4的绽开式中x2 的系数等于C020C2 12C11 2C11 1C222C00 16343434练：求13x6 1110 绽开式中的常数项.4x解：13x6 14110绽开式的通项为m C xmn C xnCm 6n C 10x4m3n3412x其中m0,1,2,6,n0,1,2,10, 当且仅当4 m3 , 即m0,或m3, 或4,m6,n0,nn8,时得绽开式中的常数项为C00 C 10C34 C 10C68 C 104246. 666练：已知1xx2x1n的绽开式中没有常数项,nN*且2n8,就n_.x3解：x1n绽开

17、式的通项为Crxn rx3 rCrxn4r,通项分别与前面的三项相乘可得x3nnCrxn4r,Crxn4 r1,Crxn4r2, Q 绽开式中不含常数项, 2n8nnnn4r且n4r1 且n4 r2,即n4,8且n3,7且n2,6,n5.题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和；例：在x22006 的二项绽开式中,含 的奇次幂的项之和为S ,当x2 时,S_.解：设x22006= a 01 a x 1a x 223 a x 3La 20062006 x-x22006= a 01 a x 1a x 22a x 33La 2006x2006-得2 a x 1a x 335 a x 5La 2005x

18、2005x22006x22006x22006绽开式的奇次幂项之和为S x 1x22006x2200626 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3 2006当x2 时,S 21222006222006222300822题型十：赋值法；例：设二项式33x1n的绽开式的各项系数的和为p ,全部二项式系数的和为6s , 如17舍去,xps272, 就 n 等于多少？C0Cn2n,解：如33x1na0a xa x2a xn,有Pa 0a 1a ,Snnx令x1得P4 n,又ps272, 即 4n2n2722n172n160解得

19、2n16或2nn4. ,就绽开式的常数项为练：如3x1n的绽开式中各项系数之和为64 ,就绽开式的常数项为多少？x解：令x1,就3x1n的绽开式中各项系数之和为2n64,所以nxC3 63x313540. a2022的值为x练：如12 2022a0a x 11a x 22a x 33La 2022x2022xR ,就a 1a222222022解：令x1 , 2可得a0a 1a2a 20220,a 1a 2a2022a 02222022 222222022_.在令x0 可得a01, 因而a 1a 2a20221.22 222022练：如x25a x5a x4a x3a x21 a xa0,就a

20、1a2a 3a4a5解：令x0得a032,令x1 得a 0a 1a2a 3a4a51,a 1a2a 3a 4a531.题型十一：整除性；例：证明：32n28n9nnN*能被 64 整除18n9C01n 81C118nCn1821证：2 3n28n99n18981n18n9C018nC118nCn182Cn11 8Cnn1n2 3n2n1nn1C018nC118nn C n12 88n118 n9nn1nnn18n9nN* 能被由于各项均能被64 整除64整除7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1、x 1 11绽开式

21、中 x 的偶次项系数之和是1、设 fx=x-1311, 偶次项系数之和是f 1 f1 211/2102422、C01 3 C n2C23nCn 2、nnn项2、4n20的绽开式中的有理项是绽开式的第3、35153、3,9,15,21 4、2x-1 5绽开式中各项系数肯定值之和是4、2x-1 5绽开式中各项系数系数肯定值之和实为 2x+1 5绽开式系数之和,故令 x=1,就所求和为 3 55、求 1+x+x 21-x 10绽开式中 x 4的系数5、 1 x x 2 1 x 10 1 x 3 1 x 9, 要得到含 x 4 的项, 必需第一个因式中的 1 与 1-x 9 绽开式中的项 C 9 4

22、x 4作积,第一个因式中的x 3与1-x 9绽开式中的项 C 19 x 作积,故 x 4的系数是 C 19 C 9 4 1356、求 1+x+1+x 2+ +1+x 10绽开式中 x 3 的系数10 116、 1 x 1 x 2（1 x）10 1 x 1 1 x = x 1 x 1 ,原式中 x 3 实为这分子中的 x 4,就所1 1 x x求系数为 C 11 77、如 f x 1 x m 1 x n m n N 绽开式中, x 的系数为 21,问 m、n 为何值时, x 2的系数最小？7、由条件得 m+n=21, x 2 的项为 C 2m x 2C 2n x 2,就 C 2m C 2n n

23、21 2 399. 因 nN,故当 n=10 或 11 时上式有2 4最小值,也就是 m=11和 n=10,或 m=10和 n=11 时, x 2的系数最小8、自然数 n 为偶数时,求证：121 C nC22C30C4 nn n2 Cn1Cn32n1Cn n1k2n2n132.n1nnnn8、原式 =0 C n1 C nC2 nC1Cn n1 C nC3 n5 C n9、求8011被 9 除的余数81 111 C 1181 10C10 1181181 k1 Z, 9、8011811 11C118 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - -

24、 - - - kZ, 9k-1 Z,11 81被 9 除余 810、在 x2+3x+25的绽开式中,求x 的系数C124x80x10、x23x2 5x1 5x25在x+15 绽开式中, 常数项为 1,含 x 的项为C15x,在2+x5 绽开式中, 常数项为 2 5=32,含 x 的项为55绽开式中含x 的项为180x5x32240x,此绽开式中x 的系数为 24011、求 2x+112 绽开式中系数最大的项11、设 Tr+1 的系数最大,就Tr+1 的系数不小于Tr 与 Tr+2 的系数,即有r C 12r C 1212 212 2rr C 12r C 12113 r 211 12rr C 12r 2 C 12r 2 C 12r C 121r1131r41,r433绽开式中系数最大项为第5 项, T5=16C4x47920x4129 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页