2022年从一道高考压轴题引发的思考.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载从一道高考压轴题引发的摸索导读高考大题源于课本,怎样与小题一脉相承？怎样提高解大题的才能？能否让后进生也简洁解大题？x,08 年广东省高考数学（理科）第21 题是压轴题：设,p,q为实数,x2p2q,是方程x2pxq0的两个实根,数列xn满意x1pnpxn1qxn2n3 ,4,；（1）证明：p,q；（2）求数列 xn的通项公式；（3）如p,1 q1,求xn的前 n 项和S ；4第（1）小问用二次函数的二根式简洁解决；第（2）小问要求同学把握由数列相邻三项的线性关系式求其通项公式的方法,留意利用第（1）小问的结论；xn的通项第（

2、3）小问明显是在第（ 2）小问的基础上,由数列公式求其前 n 项和S ；摸索一：试题源于课本,特殊是高考题,那么由数列相邻三项的线性关系式求其通项公式的源头呢？可以发觉新课标必修5（20XX 年版）第 69 页 B 组的第 6 题：已知数列 a n 中,a 1 5 , a 2 2,a n 2 a n 1 3 a n 2 n 3 ,试讨论,能否写出它的通项公式？这是课本上已知数列相邻三项的线性关系式,讨论它的通项公式的问题,其中系数为常数,它就是高考题的源头,并且高考题中的常系数已经字母化了；下面是此题的解答；名师归纳总结 解：可得a n3a n1an13an2,anan13 a n1an2n3

3、,第 1 页,共 8 页即数列a n3a n1是首项为a23a113,公比为 -1 的等比数列,ana n1是首项为a2a 17,公比为 3 的等比数列,an3an1a23a 11 n2131 n1,a nan17n 32,其中n2,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由上二式消去an1得：a学习必备13欢迎下载173n1n2 ,n11 41 n上式满意a 15,an131 n17n 31nN*. 4上面解法中看出两个等式 a n 3 a n 1 a n 1 3 a n 2 和a n a n 1 3 a n 1 a n 2 是关键,必要很强的洞悉力；高考

4、题第（ 2）小问的解法如下；解：（2）x n px n 1 qx n 2 x n 1 x n 2 n 3 ,x n x n 1 x n 1 x n 2 ,x n x n 1 x n 1 x n 2 n 3 ,x n x n 1 x 2 x 1 n 2 2 n 2 n,x n x n 1 x 2 x 1 n 2 nn 2 ,由上二式消去 x n 1 得： x n n 1 n 1n 2 ,n 1 n 1当 时,x n n 2 ,满意 x1 p；当 时,x n x n 1 nn 2 ,得 x nn x nn 11 1 n 2 ,即 x nn 是首项为 1x 2,公差为 1 的等差数列,x nn x

5、1 n 1 1 n 1 n 1 ,nx n n 1 n 1 ,n 1 n 1 , 综上所述,x n n N * . n n 1 , 这种解法的关键也是看出两个等式 x n x n 1 x n 1 x n 2 和x n x n 1 x n 1 x n 2 ,同样须独到的洞悉力；第（3）小问是在 1 时,求数列 nx 的前 n 项和 S ,用错位2相减法就可解决,这是同学熟识的方法,此文不谈；上面二种解答,考察同学的观看力,表现为洞悉条件本质、发觉内在规律的解题才能；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载摸

6、索二：解大题的思想源自何种小题,有没有通性通法？考虑由数列相邻两项递推公式求通项公式的问题；例 1：已知数列an满意a11,an2an11n2,求数列an的通项公式；式an解：an12an122an11 n2,an112n2,知数列a n1是公比为 2 的等比数列,an1an1a 112n122n12n,an2n1nN*. 总结：本解法表达了同学的观看力,由an2an11看出等比数列12a n11是关键,实质是把an2a n11 中的 1 变形,构造等比数列；例 2：已知数列an满意a11,an8an11n2,求数列an的通项公式；分析：观看不出等比数列式,考虑把 a n 8 a n 1 1

7、n 2 中的 1 变形,构造一个 a 加常数的等比数列？所以尝试给 a 加某一个常数；解：a n 8 a n 1 1 8 a n 1 1 ,8由 1得 1 ,a n 18 a n 1 1,8 7 7 7知数列 a n 1 是公比为 8 的等比数列,7n na n 1 a 1 1 8 n 1 8 8 n 1 8,a n 8 1 . 7 7 7 7 7总结：此题由 a n 8 a n 1 1 算出 a n 18 a n 1 1 是关键,实质是把7 7a n 8 a n 1 1 中的 1 拆分给 a 和 a n 1,构造等比数列；例 3：设 a 为常数,且 a n 3 n 12 a n 1（n 为正

8、整数）,证明：对任意 n 1,a n 1 3 n 1 n 12 n 1 n2 na 05分析：能否把递推公式中的变数 3 n 适当拆分给 a 和 a n 1,构造一个新的等比数列呢？名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解：an3n12an1n学习必备欢迎下载N*anm3n3n12 an1m3n,N*由2an11 13m 3n112an113m3n1（m 为常数）2m3m得m,an3n2an1n 31nN*2555即数列a n3n是公比为 -2 的等比数列,首项为a03055an3n302 na012n,na0555an

9、3n2n2 na013n1 n12n1 n2na 0555把已知条件中相邻二项的关系式换成相邻三项的关系式就是必 修 5（20XX 年版）第 69 页 B 组的第 6 题了；分析：考虑能否把其中的2an1适当拆分给a 和an2,构造一个新的等比数列？解：an2an13an2n3 n22m a n13man2（m 为常数）,an3aman12m an12由m3m得m22m30,解得m31,或m22,n3 ,ananan13 anan3an1an13 an21接下来的过程同前解答；总结：上面的等式是算出来的,而不是观看到的,可见,没有火 眼金睛,也能解决这一类问题,解决高考压轴题；上面例题的解法一

10、脉相承,本质同宗,这就是通性通法；摸索三：怎样有效提高同学解大题的才能？大题的解题思想来自小题, 把握了小题的解法, 就可以升华到解 大题；小题只涉及学问的简洁应用,在熟识基础学问、基本方法与技 能的基础上,每个人都可以把握；把握某个学问的小题的解法,就相名师归纳总结 当于头脑中种下了一棵小树苗；把这个简洁小题的条件作个变式,复第 4 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载杂化,小树就长大了,如能解决复杂化的问题,就相当于把小树培育成了大树；把条件 a n 2 a n 1 n 2 作个变化,增加常数项成为a n 2 a n

11、1 1 n 2 ,变数替换常数项成为 a n 3 n 12 a n 1 n 2,数列的项替换变数成为 a n 2 a n 1 3 a n 2 n 3 ,再进一步,常系数字母化成为x n px n 1 qx n 2 n 3,4, L ,小题就成了大题；等比数列的相关学问,从简洁应用开头,一步步深化,变成了高考压轴题,这是一棵小树苗的成长过程； 简洁训练题到深化训练题的一步步递进,逐层的解答就在头脑中就把小树培育成了大树；通性通法的大树多了, 解大题的能力自然就有了,怎样培育这样的大树呢？1、加强基础学问的巩固和提高 课本是考试内容的载体, 是高考命题的依据, 也是同学智能的生 长点,是最有参考价

12、值的资料； 有相当多的高考试题是课本中基此题 目稍作变形得来的, 其用意就是引导同学重视基础,切实抓好三基基础学问、基本技能和基本方法；“ 三基” 是解题才能的源头,在肯定意义上说,所谓解题才能,就是基础学问、基本技能和基本方法的娴熟化；“ 三基” 的缺陷对于解题而言是致命的, 是解题才能不强的主要成因, 也是提升解题才能 的最主要障碍；在解题时“ 三基” 的缺陷主要表现为：（1）曲解题意A例 4. 已知集合Ay|y2 x1,Bx y |x2y2 10,就B或 C,B（）；A B 0, 1C 1 D 1,此题虽然简洁,但是有同学会掉入陷阱,挑选错误选项是同学对集合的“ 代表元素” 这个概念未懂

13、得到位；正确解答是集合名师归纳总结 A 和 B 中的元素不同,没有公共元素,选A；第 5 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（2）表达错误f x 例 5. 函数f x 的定义域为 R,已知f x1为奇函数,当 x1 时,2x2x1,求f x 的表达式；如同学对“ 奇偶性、解析式和分段函数” 三个概念中有一个懂得模糊,在解答时就会显现表达不完整甚至错误；2、强化变换训练,留意迁移教学解题才能生成的主要平台是问题解决过程；假如解题训练的教学驴拉磨原地绕圈, 缺少思维的递进或变换, 那将直接影响同学的 解题才能向纵深或横向进展

14、； 教学设计要留意思维的纵向梯度与横向 跨度,尽可能符合同学的认知规律,给同学留下思维、探究的空间；变换训练有以下两层主要含义：（1）变换形式,纵向迁移同一学问点的练习设计要留意表达“ 较易 中较难” 的思维和方法层次, 甚至更多层次； 习题训练肯定要留意学问的整体连贯 性,防止“ 跳动式” 或“ 蜻蜒点水式” 的随便做题；习题教学坚持走“ 起点低、落点高” 的成长路子,步步为营,稳扎稳打,在变换训练 中实现才能的稳步迁移；例 6下面对有关“ 函数的值域” 的习题设计就较好地表达了这 种层次性：求函数ylgx21的值域；a 的值域为 1, ,求实数 a 的取值范畴；已知函数x2ylg已知函数y

15、lgx2a 的值域为 R,求实数 a 的取值范畴；已知函数ylgax2ax1的值域为 R,求实数 a 的取值范畴；如是直接提问第小题,会难倒一大片,即使会解,也会是对知名师归纳总结 识断层式的懂得；第小题仍可以与下题“ 已知函数ylgax2ax1第 6 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载的定义域为 R,求实数 a 的取值范畴；” 作横向比较；（2）变换思维,横向迁移同一学问点要从多角度加以注视,即如何在不同的情境中懂得和运用学问； 解数学题要着重讨论解题的思维过程,弄清基本数学学问和基本数学思想在解题中的意义和作用,讨论

16、运用不同的思维方法,解决同一数学问题的多条途径,在分析解决问题的过程中, 构建学问的横向联系,养成多角度摸索问题的习惯；例 7如函数f x ax33a1x26x 0x2在 x=0 处取得最大值,求实数 a 的取值范畴；此题可从两个角度来摸索,看作求函数在闭区间上的最值问题；看作f x f00x2恒成立的问题； 实施起来第一种方法很难,其次种方法比第一种方法更可行；摸索四：有效提高后进生解大题才能的可行性？按上面的教学原就, 虽然都强调低起点, 但接下来思维的梯度与 跨度不肯定会适合每个人, 特殊是同学水平有明显差异的班级；思维 的梯级有高低,有的同学踮起脚仍会跳不上；可见梯级高了,就有部 分同

17、学跟不上学习, 即使是小部分, 在接下来的时间那也是茫然无所 事事；现代的训练是个性化训练, 要让每个同学在教学过程中真正完 全的体验、感悟,有所生成、制造,当然不能放过每一个同学；看来 只有降低梯级的高度, 让后进生也学得上； 但一个梯级分成多个梯级 的教学是要成倍增加教学时间的,上层同学就会有老牛拉慢车的感 觉,显现冷场；对同学有明显差异、非“ 橄榄形” 的班级教学,总免不了显现下 层生“ 吃不了” 或上层生“ 吃不饱” 的现象,这就有分层分班教学的必要；按数学水平把上下层同学平均分开,就能把同学的差异缩小一名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 8 页精选学习资料 - -

18、 - - - - - - - 学习必备 欢迎下载半；针对下层生的认知基础与才能,在教学设计中,降低思维跳动的高度,给同学更多的时间去感悟与发觉；举个例子,在基本不等式的变式应用中, 可由“ 求函数 y x 1 的x值域” 直接跳动到“ 求函数 y 2 3 x 3 的值域” ；也可多梯级递进,x 5 x 5 2由“ 求函数 y x 1 的值域” “ 求函数 y x 1 的值域” “ 求2 x 2 x函数 y x 3 x 1 的值域” “ 求函数 y x 5 x 5 的值域” “ 求x x 1函数 y 2 x 1 的值域”“ 求函数 y 2 3 x 3 的值域” ,一大步x 5 x 5 x 5 x

19、 5碎成了五小步；在低梯级的教学中,以时间换难度,后进生能在更长时间的探究与体验中达到教学目标,就从分班前课堂的陪衬成了分班后课堂的主体； 相对于先进生, 后进生的学问大树生长得只是慢一点 而已；降低梯级延长时间的教学,势必影响教学进度；这好像是一个难题,但数学教学就是课堂上真正留意思维的教学 , 课堂教学不肯定强调进度,而是要关注同学是否真正解决了问题；对下层生的教学,有必要增加授课时间,再留意教学进度,肯定可以完成教学任务；另外针对上层生的教学设计,可以提高要求,增加学问的深度、广度与难度, 给同学更大的想象空间和进展空间,和创新才能,同学的学问大树会长得更快、更多；重点培育探究才能成本文2022.6.22 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页