2022年初中数学全等三角形精讲.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载数学三角形精讲学问点归纳总结1. 三角形的三边之间的关系三角形任意两边之和大于第三边,三角形任意两边之差小于第三边；2. 三角形的内角和三角形三个内角的和等于 180 ；3. 三角形全等的条件（1）三边对应相等的两个三角形相等,简写为“SSS” ；（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等,简写成“ASA ” ；（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等,简写成“AAS ” ；（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,简写成“SAS” ；（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等,简写成“HL ”

2、 ；4. 全等三角形的性质全等三角形的对应角相等,对应边相等；5. 三角形的外角性质三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三、学问点梳理：专题总复习（一）全等三角形、轴对称学问点一：全等三角形的概念能够完全重合的两个三角形叫全等三角形 .学问点二：全等三角形的性质 . （1）全等三角形的对应边相等 . （2）全等三角形的对应角相等 .学问点三：判定两个三角形全等的方法 . （1）SSS （2）SAS （3）ASA （4）AAS （5）HL（只对直角三形来说）学问点四：查找全等三形对应边、对应角的规律 . 全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边 . 全等三角形对应边

3、所对的角是对应角,两个对应边所夹的角是对应角 . 有公共边的,公共边肯定是对应边 . 有公共角的,公共角肯定是对应角 . 有对顶角的,对顶角是对应角 . 全等三角形中的最大边（角）是对应边（角）,最小边（角）是对应边（角）.学问点五：找全等三角形的方法 . （1）一般来说,要证明相等的两条线段（或两个角） ,可以从结论动身,看它们分别落在哪两具可能的全等三角形中 . （常用的方法）（2）可以从已知条件动身,看已知条件可以确定哪两个三角形相等. . 第 1 页,共 10 页（3）可以从已知条件和结论综合考虑,看它们能否一同确定哪两个三角形全等（4）如无法证证明全等时,可考虑作帮助线的方法,构造成

4、全等三角形. 学问点六：角平分线的性质及判定. （1）角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等. 名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载（2）角平分线的判定：在角的内部到角的两边距离相等的点在角平分线上 . （3）三角形三个内角平分线的性质：三角形三条角平分线交于一点,且到三角形三边距离相等 .学问点七：证明线段相等的方法 . （重点）（1）中点性质（中位线、中线、垂直平分线）（3）借助中间线段相等 .学问点八：证明角相等的方法 . （重点）（2）证明两个三角形全等,就对应边相等（1）对顶角相等；（2）同角或等角

5、的余角（或补角）相等；（3）两直线平行,内错角相等、同位角相等；（4）角平分线的定义；（5）垂直的定义；（6）全等三角形的对应角相等；（7）三角形的外角等于与它不相邻的两内角和 .学问点九：全等三角形中几个重要的结论 . （1）全等三角形对应角的平分线相等； （2）全等三角形对应边上的中线相等；（3）全等三角形对应边上的高相等 .学问点十：三角形中常见帮助线的作法 . （重难点）（1）延长中线构造全等三角形（倍长线段法）；（2）引平行线构造全等三角形；（3）作垂直线段（或高） ；（4）取长补短法（截取法）.A【典型例题】例 1. 已知：如图,ABC 中, AB AC,D、E、F 分别在 AB

6、、BC、CA 上,且 BDCE, DEF B,图中是否存在和BDE 全等的三角形？说明理由；解： CEF BDE DF理由： AB AC , B C 又 DEC B BDE DEF CEF B BDE DEF B, CEF BDE BDECEF（已证）BECBDCE（已知）BC（已证） CEF BDE （ASA ）例 2. 已知： AB CD,DEAC ,BFAC ,垂足分别为 解： 理由： DEAC ,BF AC DEC BFA90在 Rt DEC 和 Rt BFA 中CD AB（已知）BF DE（已知）Rt DEC Rt BFA （HL ） DCE BAF E、F,BFDE,就 AB CD

7、 ,为什么？名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载CD AB 例 3. 用两个全等的等边ABC 和 ACD 拼成一个四边形 ABCD ,把一个含 60 角的三角尺与这个四边形叠合,使三角尺的 60 角的顶点与点 A 重合,两边分别与 AB 、AC 重合,将三角尺绕点 A 按逆时针方向旋转,问：当三角尺的两边分别与四边形的两边 BC、CD 相交于 E、F 时,通过观看或测量 BE、CF 的长度,你能得出什么结论？并证明你的结论；解： 结论： BECF 理由：ABC 、 ACD 为等边三角形AB AC

8、, B ACF60 , BAC 60又 1 EAC60 , 2 EAC 60 1 2 1 （ 已证）2C E D A BA C（已证）BA CF（ 已证） ABE ACF（ASA ）BECF A B 例 4. 如图, AD 是 ABC 的角平分线, AE 是 BC 边上的高, B20 ,C40 ,求 DAE 的度数；解： BAC B C180又 B20 , C 40 BAC 180 20 40 120AD 平分 BAC D D C DA C 1 2BA C 1 2120 o 60 o C E F AE BC, AEC 90又 C40E EAC90 40 50A A F B B DAE DAC

9、EAC 60 50 10AC BD ,EA 、EB 分别平分 CAB 、 DBA , CD 过点 E,且 AC3cm,BD 5cm,你能利 例 5. 如图,已知 用全等三角形有关学问测出 AB 的长吗？A D解： 如下列图,在 AB 上截取 AFAC ,连结 EF 1 2 F AE 是 CAB 平分线 CAE BAE B E CACAF,AE AE ACE AFE C EFA AC BD, C D180 AFE EFB 180 D EFB BE 平分 DBA , DBE FBE BEBE, DBE FBE A BFBD AB ACBD AC3cm,BD5cm AB 8cmB D E C 全等三

10、角形的有关证明（提高篇）名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 关键 ：三角形全等的证明及其运用关键点在于优秀学习资料欢迎下载” ,去说明 “ 相等的边（角）“ 把相等的边（角）放入正确的三角形中所在 的三角形全等 ” ,利用三角形全等来说明两个角相等（两条边相等）是中学里面一个非经常见而又重要的方法；要说明两边相等,两角相等,最常用的方法就是说明三角形全等直角三角形的全等问题：直角三角形的讨论是整个中学几何图形部分里的重点！直角三角形有关的全等问题中,除了特用的HL 定理之外,在条件的查找上第一就有了一组直角相等；而多

11、个直角,多个垂直的图形组合在一块时,就很简洁利用“ 同（等）角的余角相等” 来得到其他的角相等；例一： 图 1,已知 DOBC, OC=OA,OB=OD,问 CD=AB 吗？分析 ：此图形可看作绕 O 点旋转得到,由垂直得到一组直角,把结合其他两组边,很简洁找到他们所在的三角形；变形 1：请说明BCE 是直角三角形；（利用全等三角形的对应角相等,以及直角三角形的两个锐角互余这两个性质进行代换和转换）CEDA图 1 B解：易得AOB COD （此过程较简洁,略过不描述）O B=D（全等三角形的对应角相等）又 OAB= DAE （对顶角相等）而在 Rt AOB 中, OAB+ B=90 （直角三角

12、形的两个锐角互余） DAE+ D=90 （等量代换）FD B 在 ADE 中, DEA=180 （ DAE+ D）=90 （三角形内角和定理） BEC=90 （补角性质）故 BCE 是直角三角形变形 2：把两个含有45角的直角三角板如图1 放置,点 D 在 BC 上,E C A 连结 BE, AD ,AD 的延长线交BE 于点 F求证： AF BE分析 ：此图中要说明AFBE,与上题中BCE 是直角三角形是一样的意思,只需要说明 BFD=90 即可变形 3：两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置,图 2是由它抽象出的几何图形,B, ,E在同一条直线上,连结CD （彩图为提示）第 4

13、页,共 10 页（1）请找出图2 中的全等三角形,并赐予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）证明： CDBE 优秀学习资料欢迎下载DADA图 1 B图 2 CEBA CE变形 4、如图 2,在 ABC 中,高 AD 与 BE 相交于点 H,且 AD=BD ,问 BHD ACD ,为什么？H E DBD分析 ：此题实际上就是变形 1的反问,已经存在一组直角（由垂直得到）,B D 图 2 C 一组相等的边（已知） ,再利用“ 同（等）角的余角相等” 来得到其次组角相等！E 变形 5：如图 3, 已

14、知 EDAB,EF BC,BD=EF,问 BM =ME 吗？说明理由；M F C 变形 6：如图 4,AD 是一段斜坡, AB 是水平线,现为了测斜坡上一点D 的竖直高度DBB D A 的长度,欢欢在D 处立上一竹竿CD ,并保证 CDAD ,然后在竿顶C 处垂下一根绳CE,与斜图 3 坡 的交点为点 E,他调整好绳子CE 的长度,使得CE=AD ,此时他测得DE=2 米,于是他认定DB 的高 度也为 2 米,你觉得对吗.请说明理由；ACDE=90 ,问 BD=AB+ED 吗 .C例二： 如图1,已知, AC CE , AC=CE , ABC= 分析 ：（1）凡是题中的垂直往往意味着会有一组9

15、0 角,E得到一组等量关系；EA（2）显现 3 个垂直,往往意味着要运用同（等）角的余角相BCDA图 4 等,得到另一组等量关系；图 5 （3）由全等得到边相等之后,仍要连续往下面想,这几组相等的边能否组合在一起：O如如图 6,除了得到三组对应边相等之外,仍可以得到AC=BD ；AB图 6 CE解答过程：得到ABC CDE 之后,可得到BC=DE , AB=CD BC+CD=DE+AB （等式性质）即： BD=AB+DE 变形 1：如图 7, 假如ABC CDE ,请说明 AC 与 CE 的关系；BCD留意 ：两条线段的关系包括：大小关系（相等,一半,两倍之类）图 7 名师归纳总结 - - -

16、 - - - -第 5 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载位置关系（垂直,平行之类）变形 2：如图, E 是正方形 ABCD 的边 DC 上的一点,过点A 作 FAAE 交 CB 的延长线于点F,D求证： DE=BF A分析 ：留意图形中有多个直角,利用同角的余角相等或等式性质可到一组锐角相等；BE变形 3：如图 8,在 ABC 中, BAC=90 , AB=AC ,AE 是过点 A 的直线, BDFCAE,CE AE ,假如 CE=3 ,BD=7 ,请你求出DE 的长度；ADC分析 ：说明相等的边所在的三角形全等,题中“AB=AC ”,发

17、觉： AB 在 Rt ABD 中, AC 在 Rt CAE 中,所以尝试着去找条件,去说明它们所在的两个Rt 全等（如图9）图 8 E于是：已经存在了两组等量关系：AB=AC ,直角 =直角,B再由多个垂直利用同角的余角相等,得到第三组等量关系；解：由题意可得：在Rt ABD 中, 1+ABD=90 （直角三角形的两个锐角互余）又 BAC=90 （已知）,即 1+CAE=90 AD ABD= CAE （等角的余角相等）1 故在 ABD 与 CAE 中,BDA= AEC=90 （垂直定义）ABD= CAE （已求）B图 9 ECAB=AC （已知） ABD CAE（AAS ） DE=AEAD =

18、73=4 AE=BD=7 ,AD=EC=3 （全等三角形的对应边相等）变形 4：在 ABC 中, ACB= 90 0,AC=BC ,直线 MN 经过点 C,且 AD MN 于 D,BEMN 于 E；（1）当直线 MN 绕点 C 旋转到图 9 的位置时,ADC CEB,且 DE=AD+BE ；你能说出其中的道理吗？（2）当直线 MN 绕点 C 旋转到图 10 的位置时,DE =AD-BE ；说说你的理由；（3）当直线 MN 绕点 C 旋转到图 11 的位置时,试问名师归纳总结 - - - - - - -DE,AD ,BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系；第 6 页,共 10 页精选学习资

19、料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载MEDBMMDCCCB等EN腰D三角形、E1 2 ABA图 11 EBAD图 12 必备学问 ：图 10 等 边 三 角 形 的 全等问题 ：CNAN如右图, 由 1= 2,可得 CBE= DBA ；反之,也成立；例三： 已知在ABC 中, AB=AC ,在 ADE 中, AD=AE ,且 1=2,请问 BD=CE 吗？分析 这类题目的难点在于,需要将原来就存在于同一个三角形中的一组相等的边,分别放入两个三角形中,看成是一组三角形的对应边, 题目中所给的ABC 与 ADE 是用来干扰你的思路的,应当去想如何把两组相等的边联系到一起,A

20、DE加上所求的 “ BD=CE ” ,你会发觉BD 在 ABD 中, CE 在 ACE 中,这样一来,“ AB=AC ” 可以懂得为：AB 在 ABD 中, AC 在 ACE 中,它们是一组对应边；“ AD=AE ” 可以懂得为：AD 在 ABD 中, AE 在 ACE 中,它们是一组对应边；所以只需要说明它们的夹角相等即可；C关键仍是在于：说明 “相等的边（角）所在 的三角形全等 ”解： 1=2（已知）2 1+CAD= 2+CAD （等式性质）B图 13 1 即： BAD= CAE 在 ABD 与 ACE 中,AB=AC （已知）BAD= CAE （已求）AD=AE ABD ACE （SAS

21、）1 DA2 EBD=CE （全等三角形的对应边相等）变形 1：如图 13,已知 BAC= DAE , 1=2,BD=CE ,名师归纳总结 第 7 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载请说明ABD ACE. 吗？为什么？分析 ：例三是两组边相等,放入一组三角形中,利用 SAS 说明全等,此题是两组角相等,那么该如何做呢 . 变形 2：过点 A 分别作两个大小不一样的等边三角形,连接BD ,CE ,请说明它们相等；分析 ：此题实际上是例三的变形,只不过将等腰三角形换成了等边三角形,只要你依据所求问题,把 BD 看成在

22、ABD 的一边, CE 看成 ACE 的一边 ,自然就得到了证明的方向；C解：ABC 与 ADE 是等边三角形,D AB=AC , AD=AE BAC= DAE=60 B图 15 AE BAC+ CAD= DAE+ CAD （等式性质）即：BAD= CAE 接下来的过程与例三完全一样,不予描述！变形 3： 如图 16 18,仍是刚才的条件,把右侧小等边三角形的位置稍加变化,连接 BD ,CE,请说明它们相等CAEDCAED这里仅以图17 进行说明解： ABC 与 ADE 是等边三角形,B图 16 E AB=AC , AD=AE BEBAC= DAE=60 C BACCAD= DAECAD 【仅

23、这步有差别】即： BAD= BAD= CAE CBDA在 ABD 与 ACE 中,AAB=AC （已知）DBAD= CAE （已求）B图 17 AD=AE CC ABD ACE （SAS）BD=CE （全等三角形的对应边相等）名师归纳总结 ABEA 第 8 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载图 16,图 18 的类型,请同学们自己去完成变形 4：如图,四边形 ABCD 、DEFG 都是正方形, 连接 AE 、CG,AE 与 CG 相交于点 M ,CG 与 AD 相交于点 N求证：AECG；60 换成直角了,思路一样

24、BAGDF分析 ：和上面相比,只不过等边三角形换成正方形,EC例四： 如图,ABC 中, C=90 ,AB=2AC ,M 是 AB 的中点,点N 在 BC 上, MN AB. 求证： AN 平分 BAC. AMN CAN ,MA 分析 ：要说明 AN 平分 BAC ,必需说明两角相等,可以说明而题中已有了一组直角相等,一组公共边（斜边）结合题目中条件,比较简洁找到一边直角边相等,从而利用HL 定理得到全等；BNC变形 1：在 Rt ABC 中,已知 A=90 , DEBC 于 E 点,假如 AD=DE ,BD=CD ,求 C 的度数CED名师归纳总结 BA第 9 页,共 10 页- - - -

25、 - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载4 根长度的A1DB【模拟试题】（答题时间： 30 分钟）一. 挑选题；1. 已知等腰三角形的两边长是4cm 和 9cm,就此三角形的周长是（）CA. 17cm B. 13cm C. 22cm D. 17cm 或 22cm 2. 两根木条的长分别是20cm 和 30cm,要钉成一个三角形的木架,就在下面木条中应选取（）A. 10cm B. 20cm C. 50cm D. 60cm 3. 如下列图, ACB 90 , CD AB ,就 1 与 A 的关系是（）A. 互余B. 互补C. 相等D. 不确定4. 如下列图

26、, A B C D E F 的和为（）A. 180 B. 360C. 540D. 7205. 在两个三角形中,以下条件能判定两个三角形全等的是（）A. 有两条边对应相等B. 有两角及其中一个角的对边对应相等C. 有三个角对应相等D. 有两边及一角对应相等6. 在具备以下条件的ABC 中,不是直角三角形的是（）A. A B C B. A 3C, B2C C. A B2C D. AB1C2二. 已知：如下列图,ABC 中, BD 是 ABC 的角平分线, DE BC,交 AB 于 E, A60 , BDC 95 ,求 BDE 各内角的度数；三. 已知：如下列图,ACBC,AD BD, M 、N 分别是 AC、BC 的中点,就DM DN ,为什么？四. 已知：如下列图,AB BC,AD DC,垂足分别是B、D,要想得到AB AD的结论,你认为需要补充什么条件？请说明你的理由；名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 10 页