2022年二项式定理典型例题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载高考数学专题复习二项式定理练习题1. 在二项式x1xn的绽开式中, 前三项的系数成等差数列,求绽开式中全部有理项2 4分析： 此题是典型的特定项问题,涉及到前三项的系数及有理项,可以通过抓通项公式解决解： 二项式的绽开式的通项公式为：T r1Crtxnr21rCr n12n3r11nn1 ,x4nr 24x前三项的r111n ,t3C2 n01, ,2.C得系数为：t1,1t2n2248由已知：22t1t31 8nn1 n1,n8通项公式为16 3 rT r 1 C 8 r 1r x 4 r 0 ,1, 2 8 , T r 1

2、 为有理项,故 16 3 r 是 4 的倍数,2r 0 4, 8, .依次得到有理项为 T 1 x 4, T 5 C 8 4 14 x 35x , T 9 C 88 18 x 2 1x 22 8 2 256说明：此题通过抓特定项满意的条件,利用通项公式求出了 r 的取值,得到了有理项 类似地, 2 33 100的绽开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中 r 的取值, 得到共有n系数和为 3 2.（1）求 1 x 3 1 x 10绽开式中 x 的系数；（2）求 5 x 12 6 绽开式中的常数项x分析： 此题的两小题都不是二项式绽开,但可以转化为二项式绽开的问题,（ 1）可以视为两个二项绽开式

3、相乘；（2）可以经过代数式变形转化为二项式名师归纳总结 1解：（1）1x31x10 绽开式中的5 x 可以看成以下几种方式得到,然后合并同类项：第 1 页,共 11 页用1x3绽开式中的常数项乘以 1x10绽开式中的x5项,可以得到C55 x ；用10x3绽开式中的一次项乘以1x10绽开式中的x 项可得到 43xC4x44 3 C 10x5；10- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 用1x 3中的2 x 乘以 1x 10学习必备欢迎下载3x2C3x33 C3x5；用1x3中的绽开式中的3 x 可得到10103 x 项乘以 1x10绽开式中的2 x 项可得到

4、13x3C2 10x2rC2 10x5,合并同类项得5 x 项为：5 C 10C43 C32 C 10x563x51010C 12 r2 121r（2）x12x12xxx125x112xx由x112绽开式的通项公式T rC 12 rx 6r,可得绽开式xx的常数项为C 12 6924说明： 问题（ 2）中将非二项式通过因式分解转化为二项式解决这时我们仍可以通过合并项转化为二项式绽开的问题来解决3. 求1xxx26绽开式中x 的系数51xx2 1xx2或1xx26不是二项式,我们可以通过分析： 1x2把它看成二项式绽开名师归纳总结 解： 方法一： 1x2 x6 1x 2 x6第 2 页,共 11

5、 页1x66 1x5x215 1x 4x4其中含x 的项为 5C5x56C3x5151 C 4x56x565含5 x 项的系数为6方法二： 1xx261xx2616xx215xx2220xx2315xx246xx25xx26其中含x 的项为 5203 x515 4 x56x56x5x 项的系数为 56方法 3：此题仍可通过把 1xx26看成 6 个1xx2相乘,每个因式各取一项相乘可得到乘积的一项,5 x 项可由以下几种可能得到5 个因式中取x,一个取 1 得到5 5C x - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3 个因式中取x,一个取学习必备欢迎下载C1

6、3 xx22 x ,两个取 1 得到C3631 个因式中取x,两个取12 x ,三个取 1 得到C1 6C2 5xx22合并同类项为C5C3C6C1C2x56x5,x 项的系数为 5663654.求证：（ 1）C12C2n Cnn2n1；nnn（2）C01C11C2n11Cnn112n11 nnnn23分析： 二项式系数的性质实际上是组合数的性质,我们可以用二项式系数的性质来证 明一些组合数的等式或者求一些组合数式子的值解决这两个小题的关键是通过组合数公式 将 等 式 左 边 各 项 变 化 的 等 数 固 定 下 来 , 从 而 使 用 二 项 式 系 数 性 质C0C1C2Cn2nn .n

7、k.nkn1 .k.nCk1nnnn解：（ 1）k Ckkk.n .k.knn1n1 .1 .n左边nC01n1 C n1n Cn1nn1nn 21右边1 右边nC011 C n1Cn1nn1（2）k11Ckk11k.n .k.n .nnk1 .nk.n11kn1 .k.n11Ck1n11 .nn11Cn1左边n11C11n11C21nnn1n11C11C21Cn1n112n1nnn1说明： 此题的两个小题都是通过变换转化成二项式系数之和,再用二项式系数的性质 求解 此外,有些组合数的式子可以直接作为某个二项式的绽开式,但这需要逆用二项式定 理 才 能 完 成 , 所 以 需 仔 细 观 察

8、, 我 们 可 以 看 下 面 的 例 子 ： 求名师归纳总结 29C10 108 2C927C822 C 10108的 结 果 仔 细 观 察 可 以 发 现 该 组 合 数 的 式 与第 3 页,共 11 页10109 C 109 2C1010 212 10的绽开式接近,但要留意：2 2210C0C122 C 101101010121022C229C910 2C10102101012 102 C29 C 1029C101010- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 从而可以得到：1022 C 108 2C学习必备C10欢迎下载1 92913 101010

9、25.利用二项式定理证明：3 2 n 28 n 9 是 64 的倍数分析： 64 是 8 的平方,问题相当于证明 3 2 n 2 8 n 9 是 8 的倍数,为了使问题向二项 2式定理贴近,变形 3 2 n 29 n 1 8 1 n 1,将其绽开后各项含有 8 ,与 k 8 的倍数联系起 2来解： 32n28n91 n18n9n999n18n898n1C1 n18n2Cn n1 182Cn1818nn 811 C n18nCn1828n1 18nn18n1C1 n18nCn182n1 8n1C1 n18nn n1 1C64是 64 的倍数说明： 利用此题的方法和技巧不仅可以用来证明整除问题,而

10、且可以用此方程求一些复杂的指数式除以一个数的余数8.如将xyz10绽开为多项式,经过合并同类项后它的项数为（）绽开,A11B33C55D66 分析：xyz 10看作二项式xyz10 绽开解： 我们把xyz看成xyz,按二项式绽开,共有11“ 项” ,即xyz 10xyz1010Ckxy10kzk10k0这时,由于“ 和” 中各项z 的指数各不相同,因此再将各个二项式xy10k不同的乘积k C 10xy10kzk（k0,1,10）绽开后,都不会显现同类项下面,再分别考虑每一个乘积k C 10xy10kzk（k0,1,10）其中每一个乘积绽开后的项数由xy10 k打算,而且各项中 x 和 y 的指

11、数都不相同,也不会显现同类项故原式绽开后的总项数为11109166,应选 D名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 9.如x12n学习必备欢迎下载的绽开式的常数项为20,求 n xn分 析 ： 题 中 x 0, 当 x 0 时 , 把 三 项 式 x 1 2 转 化 为xn 2 n n 2 nx 1 2 x 1；当 x 0 时,同理 x 1 2 1 nx 1然x x x x后写出通项,令含 x 的幂指数为零,进而解出 n n 2 n解： 当 x 0 时 x 1 2 x 1,其通项为x xr 2 n r 1 r r r 2

12、 n 2 rT r 1 C 2 n x 1 C 2 n x ,x令 2 n 2 r 0,得 n r,绽开式的常数项为 1 nC 2 nn；n 2 n当 x 0 时,x 12 1 nx 1,x x同理可得,绽开式的常数项为 1 nC 2 nn无论哪一种情形,常数项均为 1 nC 2 nn令 1 nC 2 nn 20,以 n 1 , 2 , 3 ,逐个代入,得 n 31010. x 3 1的绽开式的第 3 项小于第 4 项,就 x 的取值范畴是 _x分析： 第一运用通项公式写出绽开式的第3 项和第 4 项,再依据题设列出不等式即可名师归纳总结 解： 使x3110有意义,必需x0；x7313第 5

13、页,共 11 页x依题意,有T 3T 4,即2 C 10x8123 C 103xx109x109831（x0）21321x解得0x85 6489- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x 的取值范畴是x0x8学习必备欢迎下载5 6489应填：0 x 8 5 6489log 2 x n11.已知 x 1 的绽开式中有连续三项的系数之比为 123,这三项是第几项？如绽开式的倒数其次项为 112,求 x 的值解 ： 设 连 续 三 项 是 第 k 、k 1、k 2 项 （k N 且 k 1）, 就 有C n k 1C n kC n k 1123,即 n .n .n

14、 . 123 k 1 n k 1 . k . n k . k 1 n k 1 .111 123 n k n k 1 k n k k k 1 k n k 1 k 1 n k n k 1 2 n k 1 2k k 1 2 k 1 2k n k 3 n k 3n 14,k 5 所求连续三项为第 5、 6 、 7 三项又由已知,C 14 13x log 2 x 112即 x log 2 x8两边取以 2 为底的对数,log 2 x 2 3,log 2 x 3,3 3x 2,或 x 2说明： 当题目中已知二项绽开式的某些项或某几项之间的关系时,常利用二项式通项,依据已知条件列出某些等式或不等式进行求解1

15、2.12xn的绽开式中第6 项与第 7 项的系数相等,求绽开式中二项式系数最大的项和系数最大的项分析： 依据已知条件可求出n ,再依据 n 的奇偶性；确定二项式系数最大的项名师归纳总结 解：T 6C5 x5,T 76 C n x6,依题意有T 5C42x41120x4第 6 页,共 11 页nC525C626n8n2n 1x 8的绽开式中,二项式系数最大的项为8设第r1项系数最大,就有- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - Crr 2Cr12r15r学习必备欢迎下载688Crr 2Cr12r188r5或r6（r0,1,2,8）6T 61792 x5,T 71

16、792x系娄最大的项为：说明： 1求二项式系数最大的项,依据二项式系数的性质,项式系数最大,n 为偶数时,中间一项的二项式系数最大n 为奇数时中间两项的二2求绽开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的,需依据各项系数的正、负 变化情形,一般采纳列不等式,解不等式的方法求得13.设fx1xm 1x nm,nN,如其绽开式中关于x 的一次项的系数和为11,问m ,n为何值时,含2 x 项的系数取最小值？并求这个最小值分析： 依据已知条件得到 最小值问题2 x 的系数关于 n 的二次表达式,然后利用二次函数性质探讨5 5.解：C1C1nm11m2n21125 ,由于 5、 6 距mnC2C21m

17、2mn2nmn221102mn2 n11 n55 n11 229924nN,6或 5时,2 x 项系数最小,最小值为n5或 6 ,m说明： 二次函数yx11 2299的对称轴方程为x11,即x5 . 542等距离, 且对nN.55最近,所以n11 2299 4的最小值在n5或n6,5 、6 距处取得名师归纳总结 14.如3 x1 7a7x7a 6x6a0aa 1xa0,a2a4a 6第 7 页,共 11 页求1 a 1a2a 7；2 a 13a 5a7； 3 a 0解： 1令x0,就a01,2 7128令x1,就a7a6a 1a 1a2a 7129- - - - - - -精选学习资料 - -

18、 - - - - - - - 2令x1,就a7a 6a5学习必备欢迎下载a 047a4a 3a2a 1由2得：a 15aa3a5a 721128（7 4）825623由2得：6aa1a0）0）a0a2a 41（2a7a6aa4a3（a7a6a5a4a3a2a1a1 1284 781282说明：（ 1）本解法依据问题恒等式特点来用“ 特别值” 法这是一种重要的方法,它适用于恒等式2一般地,对于多项式gxpxq na 0a 1xa 2x2a nxn,gx 的各项的系数和为g 1 ：gx的奇数项的系数和为1g 1g1 2 1gx的偶数项的系数和为g 1g1 ）218.在x23x2 5的绽开式中 x

19、的系数为（A160B240C 360D 800 分析： 此题考查二项式定理的通项公式的运用应想方法将三项式转化为二项式求解名师归纳总结 解法 1：由x23x2 5x23x2 5,10 x2kr,x 的系数为4 C ,第 8 页,共 11 页得T k1Ckx23x 5k2kk3r5Ck2kx23x5k5再一次使用通项公式得,T r1k C 52kr C 5这里0k5,0r5k4 52 43240令102kr1,即2 kr9所以r1,k4,由此得到 x 的系数为C解法 2：由x23x2 5x1 5x2 5,知x1 5的绽开式中- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - -

20、- 常数项为 1,x2 5学习必备欢迎下载4,常数项为5 2 的绽开式中 x 的系数为C4 52因此原式中 x 的系数为C4 525C4 5242404240解法 3：将x23x2 5看作 5个三项式相乘,绽开式中 x 的系数就是从其中一个三项式中取3 的系数 3 ,从另外 4 个三项式中取常数项相乘所得的积,即C13C4254应选 B19.已知ax9的绽开式中3 x 的系数为9 ,常数 a 的值为 _4x2分析： 利用二项式的通项公式名师归纳总结 解： 在ax9的绽开式中,第 9 页,共 11 页x2通项公式为Tr1Cra9rxrCr1ra9r1rx3r92299x22依据题设,3 r 29

21、3,所以r8代入通项公式,得T 99 ax 316依据题意,9 a16应填： 4 9,所以a4420.如nN,求证明：2 3n324n37能被 64整除分析： 考虑先将2 3n3拆成与 8 的倍数有关的和式,再用二项式定理绽开解：32n324n37332n224n3739n124n37381 n124n373C018n1C118nC218n1Cn18Cn124n37nnnnn138n1C118nC n 218n1n181 24n37n38n1C118n2 C n18n1Cn12 88n9 24n37nn1382n 81C118n22 C n18n3Cn138n9 24n37nn1- - - -

22、 - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 364 n 81C118n2C21学习必备欢迎下载8n364,nn8n1,C1 n18n2,C2 n18n3, 均为自然数,先将某项凑成与除数有关的上式各项均为64的整数倍原式能被 64 整除说明： 用二项式定理证明整除问题,大体上就是这一模式,和式,再绽开证之该类题也可用数学归纳法证明,但不如用二项式定理证明简捷21.已知x23x2n的绽开式各项系数和比它的二项式系数和大99231求绽开式中二项式系数最大的项；2求绽开式中系数最大的项分析： 先由条件列方程求出 n 1需考虑二项式系数的性质；2需列不等式确定 r n 2 n解： 令

23、 x 1 得绽开式的各项系数之和为 1 3 2,而绽开式的二项式系数的和为0 1 2 n nC n C n C n C n 2,有 2 2 n 2 n 992n 51n 5,故绽开式共有 6 ,其中二项式系数最大的项为第三、第四两项2T 3 C 5 2 x 3 3 3 x 2 290 x 6,2 22T 4 C 5 3 x 3 2 3 x 2 3270 x 32设绽开式中第 r 1 项的系数最大2 10 4 rT r 1 C 5 r x 3 5 r 3 x 2 rC 5 r3 rx 3,r r r 1 r 1C 5 3 C 5 3故有r r r 1 r 1C 5 3 C 5 33 1,即 r

24、6 r1 3 .5 r r 1解得 7 r 9r N,2 2r 4,即绽开式中第 5项的系数最大2 26T 5 C 5 4 x 3 1 3 x 2 4405 x 3说明：绽开式中二项式系数最大的项与系数最大的项是两个不同的概念,因此其求法亦不同 前者用二项式系数的性质直接得出,后者要列不等式组；解不等式组时可能会求出几个 r ,这时仍必需算出相应项的系数后再比较大小名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载22. 求二项式 a2b4 的绽开式 . 解：依据二项式定理得 a2b4=C04a4+C14a3 2b+C24a22b2+C34a 2b3+C4 42b4 =a48a3b+24a2b232ab3+16b4. . 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 11 页