2022年初三数学圆知识点复习专题经典.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载圆章节学问点复习 一、圆的概念集合形式的概念：1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆；（补充 ）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；

2、5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线；二、点与圆的位置关系1、点在圆内dr点 C 在圆内；ABrddO2、点在圆上dr点 B 在圆上；3、点在圆外dr点 A 在圆外；C三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离dr无交点 ；rd2、直线与圆相切有一个交点；dr3、直线与圆相交dr有两个交点；rdd=r四、圆与圆的位置关系名师归纳总结 外离（图1）无交点dRr ；第 1 页,共 11 页外切（图2）有一个交点dRr ；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 相交（图3）有两个交点Rr学习必备欢迎下载ddRr；内切

3、（图4）有一个交点dRr；内含（图5）无交点dRr ；ddR图 1rdRrR图 2rdrRr图 3R图4 图 5五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧；推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧以上共 4 个定理,简称2 推 3 定理：此定理中共5 个结论中,只要知道其中2 个即可推出其它3 个结论,即： AB 是直径 ABCD CEDE弧 BC弧 BD弧 AC弧CAODAD中任意 2 个条件推出其他3 个结论；推论 2

4、：圆的两条平行弦所夹的弧相等；CODBE即：在 O 中, AB CDAB弧AC弧 BD例题 1、 基本概念 1下面四个命题中正确的一个是（）A 平分一条直径的弦必垂直于这条直径B平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载C弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心2以下命题中,正确选项（）A 过弦的中点的直线平分弦所对的弧 C弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦,且过圆心例题 2、垂径定理B过弦的中点的直线必过圆心 D弦的垂线平分

5、弦所对的弧1、 在直径为 52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后,截面如下列图, 假如油的最大深度为 16cm,那么油面宽度 AB 是_cm. 2、在直径为 52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后,假如油面宽度是 48cm,那么油的最大深度为 _cm. 3、如图,已知在O中,弦 AB CD,且 AB CD,垂足为 H ,OE AB 于 E ,OF CD 于 F . （ 1）求证：四边形 OEHF 是正方形 . （ 2）如 CH 3,DH 9,求圆心 O 到弦 AB 和 CD 的距离 . 4、已知：ABC 内接于 O,AB=AC ,半径 OB=5cm ,圆心 O 到 BC 的距离为 3cm,求 AB

6、 的长5、如图, F 是以 O 为圆心, BC 为直径的半圆上任意一点,A 是的中点, AD BC 于 D,求证： AD=1BF. . 2AFE例题 3、度数问题BDOC1、已知：在 O 中,弦AB12 cm, O点到 AB 的距离等于AB 的一半,求：AOB的度数和圆的半径2、已知： O 的半径OA1,弦 AB、AC 的长分别是2 、3 .求BAC 的度数；例题 4、相交问题如图,已知 O 的直径 AB 和弦 CD 相交于点 E,AE=6cm ,EB=2cm , BED=30 ,求 CD 的长 . C 例题 5、平行问题A O E B D 在直径为50cm 的 O 中,弦 AB=40cm ,

7、弦 CD=48cm ,且 AB CD ,求： AB 与 CD 之间的距离 . 例题 6、同心圆问题名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 如图,在两个同心圆中,大圆的弦a学习必备欢迎下载半AB,交小圆于 C、D 两点,设大圆和小圆的径分别为a,b.求证：ADBD2b2. 例题 7、平行与相像已知：如图, AB 是 O 的直径, CD 是弦,AECD于E,BFCD于 F .求证：ECFD. 六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等；AO此定理也称1推 3 定理,即上述四个结

8、论中,E只要知道其中的1 个相等,就可以推出其它的3 个结论,F即：AOBDOE ； ABDE ；CD OCOF； 弧BA弧 BDB七、圆周角定理C1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一BOA半；即：AOB 和ACB 是弧 AB 所对的圆心角和圆周角AOB2ACB2、圆周角定理的推论：D C推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧；BBOOAA是半圆,所对的即：在 O中,C 、D 都是所对的圆周角 CDC推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧弦是直径；第 4 页,共 11 页即：在 O中, AB 是直径或C90名师归

9、纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载BOCA直角三角形；C90AB 是直径推论 3：如三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是即：在 ABC 中,OCOAOBABC 是直角三角形或C90注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理；【例 1】用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形,依据图形3-3-19 所表示的情形,四个工件哪一个确定是半圆环形？【例 2】如图,已知O中, AB为直径, AB=10cm,弦 AC=6cm, ACB的平分线交 O 于 D,求 BC、 AD和 BD

10、的长【例 3】如下列图,已知 AB为 O的直径, AC为弦, OD BC,交 AC于 D,BC=4cm（ 1）求证： ACOD；（2）求 OD的长；（3）如 2sinA 1=0,求 O的直径【例 4】四边形 ABCD中, AB DC, BC=b,AB=AC=AD=a,如图,求 BD的长【例 5】如图 1,AB是半 O的直径,过A、B 两点作半 O 的弦,当两弦交点恰好落在半O 上 C 点时,就有ACACBCBC=AB 2BD=AB 2 是否成立？请说明理由（ 1）如图 2,如两弦交于点P 在半 O内,就 APACBP（ 2）如图 3,如两弦 AC、BD的延长线交于P 点,就 AB 2= 参照（

11、 1）填写相应结论,并证明你填写结论的正确性名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角；即：在 O 中,CD四边形 ABCD 是内接四边形CBAD180BD180BAEDAEC例 1、如图 7-107 , O中,两弦 AB CD,M是 AB的中点,过九、切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径,二者缺一不行即：MN OA且MN过半径OA外端M点作弦 DE求证：

12、 E,M,O,C四点共圆MN 是 O的切线MON（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）A推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点；推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载以上三个定理及推论也称二推肯定理：即：过圆心；过切点；垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最终一个；十、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角；即：PA 、 PB 是的两条切线PBAOPAPBPO平分BPA利用切线性

13、质运算线段的长度例 1：如图,已知： AB是 O的直径, P 为延长线上的一点,半径为 3求： OD的长利用切线性质运算角的度数PC切 O于 C,CDAB于 D,又 PC=4, O的例 2： 如图,已知： AB是 O的直径, CD切 O于 C,AECD于 E,BC的延长线与AE的延长线交于F,且AF=BF求： A的度数利用切线性质证明角相等例 3： 如图,已知： AB为 O的直径,过A 作弦 AC、AD,并延长与过B 的切线交于M、N求证： MCN=MDN名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载利用切线

14、性质证线段相等例 4： 如图,已知： AB是 O直径, COAB,CD切 O于 D,AD交 CO于 E求证： CD=CE利用切线性质证两直线垂直例 5： 如图,已知：ABC中, AB=AC,以 AB为直径作 O,交 BC于 D,DE切 O于 D,交 AC于 E求证：DEAC十一、圆幂定理（1）相交弦定理 ：圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘积相等；BCOECD的两条线段的即：在 O中,弦 AB 、 CD 相交于点 P ,PAPA PBPC PD（2）推论：假如弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成比例中项；BODA第 8 页,共 11 页即：在 O中,直径 ABCD ,CE2AE BE

15、名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载线长是这点到割（如上图）；（ 3）切割线定理 ：从圆外一点引圆的切线和割线,切A线与圆交点的两条线段长的比例中项；PDOE即：在 O中,PA 是切线, PB是割线CBPA2PC PB（4）割线定理 ：从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等即：在 O中,PB 、 PE 是割线PC PBPD PEO,过 A 作半圆切线,切点为F,交 CD例1. 如图 1,正方形 ABCD的边长为 1,以 BC为直径；在正方形内作半圆于 E,求 DE：AE的值；例2. O 中的

16、两条弦 AB与 CD相交于 E,如 AE6cm,BE2cm,CD7cm,那么 CE_cm；图2 例3. 如图 3,P 是O 外一点, PC切O 于点 C,PAB是O 的割线,交O于 A、B 两点,假如PA：PB1：4,PC12cm,O 的半径为 10cm,就圆心 O到 AB的距离是 _cm；图3 例4. 如图 4,AB为O 的直径,过B点作O 的切线 BC,OC交O 于点 E,AE的延长线交BC于点 D,（1）求证：；（2）如 ABBC2厘米,求 CE、CD的长；图4 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢

17、迎下载例5. 如图 5,PA、PC切O 于 A、C,PDB为割线；求证： AD BCCD AB图5 例6. 如图 6,在直角三角形ABC中, A90 ,以AB边为直径作 O,交斜边BC于点 D,过 D点作O 的切线交 AC于 E；图6 求证： BC 2OE；十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦；CAO1BAO2如图：O O 垂直平分 AB ；B即：O 、O 相交于 A、 B 两点 1 O O 垂直平分 AB十三、圆的公切线O1O2 两圆公切线长的运算公式：（1）公切线长：Rt O O C 中,2 AB2 CO 1O O 22CO 22；CA第 10 页

18、,共 11 页（2）外公切线长：CO 是半径之差；内公切线长：CO 是半径之和十四、 圆内正多边形的运算（1）正三角形BO在 O 中 ABC 是正三角形,有关运算在Rt BOD中进行：DOD:BD:OB1 :3 : 2；BOC（2）正四边形同理,四边形的有关运算在Rt OAE 中进行,OE:AE OA1:1:2：AED名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（3）正六边形同理,六边形的有关运算在Rt OAB 中进行,AB OB OA1:3 : 2.OOAlD1B十五、扇形、圆柱和圆锥的相关运算公式A1、扇形：（1）弧长公式：ln R；1 2lRS ：扇形面积SB180（2）扇形面积公式：Sn R2360n ：圆心角R：扇形多对应的圆的半径l ：扇形弧长2、圆柱：DA（1）圆柱侧面绽开图BC底面圆周长母线长S 表S 侧2S 底=2rh2r2C1（2）圆柱的体积：V2 r hB13 . 圆锥侧面绽开图（1） S 表S 侧S 底=Rrr2AOCrRB第 11 页,共 11 页（2）圆锥的体积：V12 r h3名师归纳总结 - - - - - - -