2022年勾股定理及其逆定理复习典型例题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载勾股定理及其逆定理复习典型例题1. 勾股定理： 直角三角形两直角边 a、b 的平方和等于斜边 c 的平方；（即： a 2+b 2=c 2）勾股定理的逆定理：假如三角形的三边长：a、b、c 有关系 a2+b 2=c 2,那么这个三角形是直角三角形；2. 勾股定理与勾股定理逆定理的区分与联系区分：勾股定理是直角三角形的性质定理,而其逆定理是判定定理联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反,都与直角三角形有关；3. 假如用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形（1）第一确定最大边（如：C,但 不要认为最大边肯定是 C）（

2、2）验证 c 2与 a 2+b 2是否具有相等关系,如 c 2=a 2+b 2,就 ABC 是以 C 为直角的三角形；（如 c2a 2+b 2 就ABC 是以 C 为钝角的三角形,如 c2a 2+b 2 就 ABC是以 C 为锐角三角形）二、例题分析例 1、 如直角三角形两直角边的比是 3：4,斜边长是 20,求此直角三角形的面积；解：设此直角三角形两直角边分别是 3x, 4x,依据题意得：（ 3x）2+（4x）2=20 2化简得x2=16 ；直角三角形的面积=1 3x 4x=6x 22=96 注：直角三角形边的有关运算中,经常要设未知数,然后用勾股定理列方程（组）求解；例 2、等边三角形的边

3、长为2,求它的面积；BAC解：如图,等边ABC ,作 AD BC 于 D 就： BD=1 BC（等腰三角形底边上的高与底边上的中线相互重合）D2AB=AC=BC=2（等边三角形各边都相等）BD=1 名师归纳总结 在直角三角形ABD 中 AB2=AD2+BD2,即： AD 2=AB2BD 2=41=3 第 1 页,共 5 页AD=3SABC =1 BC AD=32- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载3 a注：等边三角形面积公式：如等边三角形边长为a,就其面积为4例3、直角三角形周长为12cm,斜边长为5cm,求直角三角形的面积；x,y,依据

4、题意得：解：设此直角三角形两直角边分别是xy512 1x2y22 52 由（ 1）得： x+y=7,（ x+y）2=49 , x 2+2xy+y 2=49 3 3 2 ,得： xy=12 直角三角形的面积是 1 xy= 1 12=6 （cm 2）2 2例 4、在锐角ABC 中,已知其两边 a=1,b=3,求第三边的变化范畴；分析 ：明显第三边 b acb+a,但这只是能保证三条边能组成一个三角形,却不能保证它肯定是一个锐角三角形,为此,先求ABC 为直角三角形时第三边的值；b ,A3A解：设第三边为c,并设ABC 是直角三角形3当 第三边是斜边时,c2=b2+a2, c=10当 第 三 边 不

5、 是 斜 边 时 , 就 斜 边 一 定 是B1Cb2=a2+c2, c=22（即8） ABC 为锐角三角形所以点A 应当围着点B 旋转,使ABC 成22AC10为锐角（如图） ,但当移动到点A 2 位置时 ACB成为直角；故点A 应当在A 1和 A2 间移动,此时注：此题易忽视或中一种情形,由于假设中并没有明确第三边是否直角边,所以有两种情形要考虑；例 5、 以以下各组数为边长,能组成直角三角形的是（）A、 8,15, 17 B 、4,5,6 C、5,8,10 D、 8, 39, 40 此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判定,对数据较大的可以用 c2=a 2+b 2 的变形：b2=c 2 a

6、2=（ca）（c+a）来判定；例如：对于挑选支 D, 8 2 （ 40+39 ）（4039）,以 8,39, 40 为边长不能组成直角三角形；答案： A 名师归纳总结 例 6、四边形 ABCD 中, B=90 ,AB=3 ,BC=4 ,CD=12 ,AD=13 ,求四边形ABCD第 2 页,共 5 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载的面积；解 ：连结 AC B=90 , AB=3 , BC=4 AC 2=AB2+BC2=25 （勾股定理）BACD AC=5 AC2+CD2=169 , AD2=169 1 AC CD=36 AC2+C

7、D2=AD2 ACD=90（勾股定理逆定理） S四边形 ABCD =S ABC +S ACD =1 AB BC+ 22此题是一个典型的勾股定理及其逆定理的应用题；例 7、 如直角三角形的三边长分别是 分析：第一要确定斜边（最长的边）长n+1, n+2,n+3,求 n；n+3,然后利用勾股定理列方程求解；解 ：此直角三角形的斜边长为 n+3,由勾股定理可得：（n+1）2+（n+2）2=（ n+3）2化简得： n2=4 n= 2,但当 n= 2 时, n+1= 10 , n=2 三、练习题1、等腰三角形的两边长为 4 和 2,就底边上的高是 _ ,面积是 _ ；2、一个直角三角形的三边长为连续偶数

8、,就它的各边长为 _ ；3、一个直角三角形一条直角边为 16cm,它所对的角为 60,就斜边上的高为 _ ；4、四个三角形的边长分别是 3,4,5 4, 7,8 1 7,24,25 3 1 ,4 1 ,5 1 其中是直角2 2 2 2三角形的是（）A、 B、 C、 D、5、假如线段 a、 b、c 能组成直角三角形,就它们的比可以是（）A、 1：2：4 B、！： 3： 5 C、 3： 4： 7 D、 5： 12： 13 6、已知：如图,四边形 ABCD 中, AB=20 ,BC=15 ,CD=7 ,AD=24 , B=90 ,求证： A+ C=180 ；DCA B名师归纳总结 - - - - -

9、 - -第 3 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载7、已知直角三角形中,两边的长为 3、 4,求第三边长；8、 ABC 中, C=90 ,a=5, cb=1,求 b,c 的长；9、如图：ABC 中, AD 是角平分线,AD=BD , AB=2AC ；求证：ACB 是直角三角形；ADBC三、练习题解答1、15,152、6,8, 10 3、8cm4、D ADC第 4 页,共 5 页5、D 6、此题类似于例6,需连结AC 证出ACD 也是直角三角形,B从而 1+ 2=90 , 3+ 4=90 , DAB+ DCB=180名师归纳总结 - - - - -

10、 - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载2 32,即 x=725c137、解：设第三边长为x, 当 第三边是斜边时：x2=32+42=25 ,即 x=5 当 第三边不是斜边时,就斜边长为4： x 2=48、此题类似于例3 25cb解：依据题意得：a2c2b2cb cb cb1b12cb19、证明：作DE AB 于 E AD=BD,DE AB 2AE=AB （等腰三角形底边上的中线和底边上的高相互重合） DEA=90 （垂直的定义）又 AB=2AC AE AE=AC AD 是角平分线 1=2 在ACD 和AED 中CDBACAE12ADADACD AED （SAS） C= AED=90 （全等三角形对应角相等）名师归纳总结 ACB 是直角三角形第 5 页,共 5 页- - - - - - -