2022年人教a版数学必修一《指数函数及其性质》基础知识讲解.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 指数函数及其性质【学习目标】1. 把握指数函数的概念,明白对底数的限制条件的合理性,明确指数函数的定义域；2. 把握指数函数图象：1 能在基本性质的指导下,用列表描点法画出指数函数的图象,能从数形两方面熟识 指数函数的性质；2 把握底数对指数函数图象的影响；3 从图象上体会指数增长与直线上升的区分3. 学会利用指数函数单调性来比较大小,包括较为复杂的含字母争论的类型；4. 通过对指数函数的概念、图象、性质的学习,培育观看、分析归纳的才能,进一步体 会数形结合的思想方法；5. 通过对指数函数的争论,要熟识到数学的应用价值,更善于从现实生活中发觉问

2、题,解决问题【要点梳理】要点一、指数函数的概念：函数 y=axa0 且 a 1 叫做指数函数,其中x 是自变量, a 为常数,函数定义域为R. 要点诠释：y（1）形式上的严格性：只有形如 y=axa0 且 a 1 的函数才是指数函数像y2 3x,12x,yx 31等函数都不是指数函数（2）为什么规定底数a 大于零且不等于1：假如a0,就xx 0 时, a 恒等于0,xx 0 时 ,a 无意义 .假如a0,就对于一些函数,比如y 4x,当x1,x1,时,在实数范畴24内函数值不存在假如a1,就y1 x1 是个常量,就没争论的必要了要点二、指数函数的图象及性质：0a1 时图象图象定义域 R,值域（

3、0,+）名师归纳总结 性质a0=1, 即 x=0 时, y=1,图象都经过 0 ,1 点第 1 页,共 11 页ax=a,即 x=1 时, y 等于底数 a 在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x1 x0 时, 0ax0 时, 0a x0 时, a x1 既不是奇函数,也不是偶函数要点诠释：（ 1）当底数大小不定时,必需分“a 1” 和“0 a 1” 两种情形争论；（ 2）当 0 a 1 时,x , y 0；当 a 1 时 x , y 0；当 a 1 时, a 的值越大,图象越靠近 y 轴,递增速度越快；当 0

4、 a 1 时, a 的值越小,图象越靠近 y 轴,递减的速度越快；x（ 3）指数函数 y a 与 x y 1 的图象关于 y 轴对称；a要点三、指数函数底数变化与图像分布规律（1）yaxybxycxydx就： 0ba 1dc又即： x0,+ 时,bxaxxdxcx（底大幂大） x ,0 时,bxaydxcx（2）特别函数1 2x ,1 3xyx 2 ,yx 3 ,y的图像：要点四、指数式大小比较方法1 单调性法：化为同底数指数式,利用指数函数的单调性进行比较 . 2 中间量法3 分类争论法4 比较法比较法有作差比较与作商比较两种,其原理分别为：如AB0AB ；AB0AB ；AB10AB ；当两

5、个式子均为正值的情形下,可用作商法,判定A,或A1即可BB【典型例题】类型一、指数函数的概念例 1函数y a23 ax 3 a 是指数函数,求a 的值【答案】 2 名师归纳总结 【解析】由y2 a3 a3x a 是指数函数,第 2 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 可得a23 a31, 解得1,a1 或a2,所以a2a0,且aa0 且a1,【总结升华】判定一个函数是否为指数函数：（1）切入点：利用指数函数的定义来判定；（2）关键点：一个函数是指数函数要求系数为1,底数是大于0 且不等于 1 的常数,指数必需是自变量x举一反三：【变式 1

6、】指出以下函数哪些是指数函数？（1）y 4 x；（ 2）y x ；（ 3）4y 4 x；（ 4）y 4 x；（5）y 2 a 1 xa 1 且 a 1；（ 6）y 4 x2【答案】（ 1）（ 5）（ 6）x【解析】（ 1）（ 5）（ 6）为指数函数其中（6）y 4 x =1,符合指数函数的定4义,而（ 2）中底数 x 不是常数,而 4 不是变数；（ 3）是 -1 与指数函数 4 x 的乘积；（ 4）中底数 4 0 ,所以不是指数函数类型二、函数的定义域、值域例 2求以下函数的定义域、值域. ,2 3x11；4ya2x11y13x；2y=4x-2x+1；3x 3x1a 为大于 1 的常数 9【答

7、案】（1）R,0 ,1 ；（2） R 3 41 , 20,；（4）- , -1 ；（ 3）1 ,+ 1 , a a ,+ 名师归纳总结 【解析】 1 函数的定义域为R 对一切 xR,3 x -1. ,2x1即 x=-1第 3 页,共 11 页y11x 3 1111x,又 3x0, 1+3x1,3x30111,111x0,x 330111x1, 值域为 0 ,1. 32 定义域为 R,y2x22x12x123, 2x0,242时, y 取最小值3 ,同时 y 可以取一切大于 43 的实数,4值域为 3. 4- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3 要使函数有

8、意义可得到不等式32x110,即32 12 3,又函数yx 3是增函数,9所以 2x122,即x11,即1 , 2,值域是0,. a, 值域为 1 ,24 x11x0 定义域为 - , -1 1 ,+ ,xx1又x1 10 且x1 11,ya2x11且ya2x1x1x1xxa a ,+ . 【总结升华】求值域时有时要用到函数单调性；第3 小题中值域切记不要漏掉y0 的条件,第 4 小题中x11x211 不能遗漏 . x1举一反三：【变式 1】求以下函数的定义域：1y2x 2 -1 2y33-x0,a1, ；0a1 时, -【解析】 1R 2 要使原式有意义,需满意 3-x 0,即 x 3,即

9、-, 3 为使得原函数有意义,需满意 2 x-1 0,即 2 x1,故 x0,即 0,+4 为使得原函数有意义,需满意 1 a x 0,即 a x1,所以 a1 时, -, ；0a1 时,外层函数,上为增函数,内函数, 上为减函数, 在区间 1 +上为增函数, 故函数f x ax2-2x 在区间-, 上为减函数,在区间1 +上为增函数；当 0a1 时,外层函数 y=au在 ,上为减函数, 内函数 u=x2-2x 在区间 , 上为减函数,在区间1 +上为增函数,故函数f x ax2-2x在区间 , 上为增函数,在区间 1,+上为减函数 . 例 4证明函数f x ax1a1在定义域上为增函数. a

10、x1【思路点拨】利用函数的单调性定义去证明；【解析】定义域为xR,任取 x11, x 1x2,ax 1ax 2,ax 1ax 20, fx11 且 x2-x10,ax 2x 11, 1ax2x 10. . 因此,在【总结升华】指数函数是学习了函数的一般性质后,所学的第一个详细函数学习中,尽量体会从一般到特别的过程. 例 5判定以下各数的大小关系：111.8a与 1.8a+1； 2321-20 2.5 22.51-4, 即4 ,3 ,3322.5, 2.50,12.5 4a2与a3 a0,a12【思路点拨】利用指数函数的性质去比较大小；【答案】（1）1.8a1.8a+1 （2）121-2 34（

11、3）12.5 1 时,a2a3,当 0a1 时,a2a3121-2 1 ,所以函数y=1.8x为单调增函数,又由于 aa+1,所以 1.8a1.8a+1. 2因 为4 314, 又y1x是 减 函 数 , 所 以 3333321- 2 34 333 由于22.51,12.51,所以12.50 2.5 1 时,a2a3,当 0a1 时,a2a3【总结升华】1 留意利用单调性解题的规范书写；2 不是同底的尽量化为同底数幂进行比较 由于同底才能用单调性 ；1” . 3 不能化为同底的,借助一个中间量来比较大小 常用的中间量是“0” 和“举一反三：名师归纳总结 【变式 1】比较大小：12 2.1 与

12、2 2.3 23.53与 3.23 30.9-0.3 与 1.1-0.1y=x3,第 7 页,共 11 页40.90.3 与 0.70.4 51.50.212 4, , 3 31. 3【解析】122.1 2 2.323.533.23. 观看两函数值,底数不同,而指数不变不是指数函数,而是它为增函数 . -0.3 , 00.91 , -0.31, -0.10 01.1-0.1 1.1-0.1 ；3 由 0.9 1.114 由指数函数图象相对位置关系数形结合,0.90.30.70.4. 5 1.50.220.2,又函数y 23x为减函数,3x00y1, 120.22 310,33- - - - -

13、 - -精选学习资料 - - - - - - - - - y4x为增函数,x10时, y1,4 3120.22 31. 33333另解： 幂函数y1 431 231 31, 下略 . x 为增函数,就有3【高清课堂：指数函数 369066 例 1】1 1 1【变式 2】利用函数的性质比较 2 2,3 ,6 61 1 1【答案】3 3 2 2 6 61 3 1 1【解析】2 = 2 6 2 3 6 8 61 2 1 13 3 3 6 3 2 6 9 6作出 y 8 , y 9 , y 6 x的图象知x x xy 9 y 8 y 61 1 1所以 3 3 2 2 6 61【变式 3】 比较 1.5

14、-0.2 , 1.3 0.7, 2 3 的大小 . 31【答案】 2 3 1 . 5 0 . 21 . 3 .0 731 1【解析】先比较 1 . 5 0 . 2 3 .0 2 2 5 与 2 3 的大小 . 由于底数 20 , 1 ,2 3 3 31 1y 2 x在 R上是减函数, 1 10, 0 2 3 2 5 2 01,再考虑指数3 3 5 3 3 3函 数 y=1.3 x ,由 于 1.31 ,所 以 y=1.3 x 在 R 上 为 增 函 数 1.3 0.71.3 0=1 ,1 2 3 1 5. 0 2.1 . 3 0 7. 3【总结升华】 在进行数的大小比较时,如底数相同, 就可依

15、据指数函数的性质得出结果,如底数不相同, 就第一考虑能否化成同底数,然后依据指数函数的性质得出结果；不能化成同底数的, 要考虑引进第三个数 如 0,1 等 分别与之比较, 从而得出结果 . 总之比较时要尽量转化成底的形式,依据指数函数单调性进行判定 . 4 2例 6. 分类争论指数函数的单调性化简：a3- 2 aa 3【思路点拨】先把被开方数变形成完全平方式的形式,然后对 对值；a 进行分类争论,去掉绝名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【解析】a4-2aa2a2-a12a2-a1a2-a1,a13333333312

16、a3-a3,0a1举一反三：【变式 1】假如a2x1ax5（a0,且a1）,求 x 的取值范畴x6【答案】当 0a1时,x6；当a1时,x6【解析】（ 1）当 0a1时,由于a2x1ax5,2x1x5,解得x6（2）当a1时,由于a2x1ax5,2x1x5,解得x6综上所述, x 的取值范畴是：当0a1时,x6；当a1时,类型四、判定函数的奇偶性例 7判定以下函数的奇偶性：fx 2x111x x 为奇函数 2【答案】偶函数【解析】 fx定义域关于原点对称 x 定义域关于原点对称,且2fx 的定义域是111,就 定义域除掉0这个元素,令gxx2gx211112xx12x2x121x2222x1

17、11121112111gx2x12x2x2 x 的奇偶性,然 gx为奇函数,又 x 为奇函数, fx为偶函数 . 【总结升华】求f x g x x 的奇偶性,可以先判定g x 与后在依据奇 奇=偶,偶 偶 =偶,奇 偶 =奇,得出f x 的奇偶性举一反三：名师归纳总结 【变式 1】判定函数的奇偶性：f 2x1x 2. 111f x,第 9 页,共 11 页x【答案】偶函数【解析】定义域x|xR且 x 0 ,1 2x 22x又fxx2111x 1x 2xx221x21x2xx1111x12111x2x22x22- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - f-x=f

18、x,就 fx偶函数 . 类型五、指数函数的图象问题例 8如图的曲线C1、C2、C3、C4 是指数函数ya 的图象, 而 xa1,2,3,22就图象 C1、C2、C3、C4 对应的函数的底数依次是【答案】21322_、_、_、_【解析】由底数变化引起指数函数图象的变化规律可知,C2 的底数 C1 的底数 C4的底数 C3 的底数【总结升华】利用底数与指数函数图象之间的关系可以快速地解答像此题这样的有关问题,同时仍可以解决有关不同底的幂的大小比较的问题,因此我们必需娴熟把握这一性质,这一性质可简洁地记作：在 y 轴的右边“ 底大图高”,在 y 轴的左边“ 底大图低”举一反三：【变式 1】 设f x

19、 |3x1|,cba 且f c Df a cf b ,就以下关系式中肯定成立的是（）c 33 b C 3ca 32 33a2A 3 c3 b B【答案】 D 【变式 2】为了得到函数y9 3x5的图象,可以把函数yx 3的图象 5 个单位长度A向左平移9 个单位长度,再向上平移B向右平移9 个单位长度,再向下平移5 个单位长度C向左平移2 个单位长度,再向上平移5 个单位长度D向右平移2 个单位长度,再向下平移5 个单位长度【答案】 C 【解析】留意先将函数yx 9 35转化为yx 325,再利用图象的平移规律进行判定y9 3x5x 325,把函数yx 3的图象向左平移2 个单位长度,再向上平yx 9 3移 5 个单位长度,可得到函数5的图象,应选C【总结升华】用函数图象解决问题是中学数学的重要方法,利用其直观性实现数形结合解题,所以要熟识基本函数的图象,并把握图象的变化规律,比如：平移、伸缩、对称等名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料,你值得拥有！名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 11 页