2022年初二数学--勾股定理讲义.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载第一章 勾股定理【学问点归纳】1、已知直角三角形的两边,求第三边勾股定理 2、求直角三角形周长、面积等问题 3、验证勾股定理成立1、勾股数的应用勾股定理勾股定理的逆定理2、判定三角形的外形3、求最大、最小角的问题勾股定理的应用1、面积问题2、求长度问题3、最短距离问题4、航海问题5、网格问题 6、图形问题考点一：勾股定理（1）对于任意的直角三角形, 假如它的两条直角边分别为a、b,斜边为 c,那么肯定有a2b2c2勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；（2）结论：有一个角是 30 的直角三角形, 30 角所对的直

2、角边等于斜边的一半；有一个角是 45 的直角三角形是等腰直角三角形；直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；（3）勾股定理的验证名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载baacbacabcabbacbbaab例题：例 1：已知直角三角形的两边,利用勾股定理求第三边；（1）在 Rt ABC中, C=90如 a=5,b=12,就 c=_；如 a=15,c=25,就 b=_；如 c=61,b=60,就 a=_；如 ab=34,c=10 就 Rt ABC的面积是 =_；（2）假如直角三角形的两直角边长分别为n21,2n

3、（n1）,那么它的斜边长是（） A、2n B、n+1 C、n 21 D、n21（3）在 Rt ABC中, a,b,c 为三边长,就以下关系中正确选项（）A.a2b22 c B. a2c2b2C. c2b22 a D.以上都有可能（4）已知一个直角三角形的两边长分别为3 和 4,就第三边长的平方是（）A、25 B、14 C、7 D、7 或 25 例 2：已知直角三角形的一边以及另外两边的关系利用勾股定理求周长、面积等问题；（1）直角三角形两直角边长分别为5 和 12,就它斜边上的高为 _；（2）已知 Rt ABC中, C=90 ,如 a+b=14cm,c=10cm,就 Rt ABC的面积是（）2

4、 2 2 2 A、24 cm B、36 cm C、48 cm D、60 cm（3）已知 x、y 为正数,且x 2-4 +（y 2-3 ）2=0,假如以 x、y 的长为直角边作一个直角三角形,那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（）A、5 B、25 C、7 D、15 例 3：探究勾股定理的证明名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载有四个斜边为 c、两直角边长为 a,b 的全等三角形,拼成如下列图的五边形,利用这个图形证明勾股定理；EAMFCDBGH考点二：勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理

5、：假如三角形的三边长a,b,c 有关系,a2b2c2,那么这个三角形是直角三角形；（2）常见的勾股数：（3n,4n,5n ）,5n,12n,13n,8n,15n,17n,7n,24n,25n ,9n,40n,41n .（n 为正整数）（3）直角三角形的判定方法：假如三角形的三边长a,b,c 有关系,a2b2c2,那么这个三角形是直角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形；两内角互余的三角形是直角三角形；假如一个三角形一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形；例题：例 1：勾股数的应用（1）以下各组数据中的三个数,可作为三边长构成直角三角形的是（）A. 4 ,5,6 B. 2

6、,3,4 C. 11,12,13 D. 8,15,17 （2）如线段 a,b,c 组成直角三角形,就它们的比为（） A、234 B 、346 C、51213 D、467 例 2：利用勾股定理逆定理判定三角形的外形（1）下面的三角形中： ABC中, C=AB； ABC中, A： B： C=1：2：3； ABC中, a：b：c=3：4：5；名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - ABC中,三边长分别为学习必备欢迎下载8,15,17其中是直角三角形的个数有（）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个（2）如三角形的三边之比为2:1

7、:1,就这个三角形肯定是（）22A. 等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.不等边三角形（3）已知 a,b,c 为 ABC三边,且满意 a2b 2a2+b 2c2 0,就它的外形为（A.直角三角形B. 等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形（4）将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是 ,此A 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形（5）如 ABC的三边长 a,b,c 满意a2b2c220012a16b20c,试判定 ABC的外形；（6） ABC的两边分别为 5,12 ,另一边为奇数,且 a+b+c是 3 的倍数,就 c 应

8、为三角形为；例 3：求最大、最小角的问题（1）如三角形三条边的长分别是7,24,25 ,就这个三角形的最大内角是；度；（2）已知三角形三边的比为1：3 ：2,就其最小角为考点三：勾股定理的应用例题：例 1：面积问题（1）下图是一株漂亮的勾股树,其中全部的四边形都是正方形,全部的三角形都是直角三角形,如正方形 A、B、C、D的边长分别是 3、5、2、3,就最大正方形E的面积是（）A. 13 B. 26 C. 47 D. 94 B名师归纳总结 ABECAS1S2CS1S3第 4 页,共 9 页DS3S2（图 1）（图 2）（图 3）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - -

9、 - - 学习必备 欢迎下载（3）如图, ABC为直角三角形,分别以 圆的面积关系,可得（）AB,BC,AC为直径向外作半圆,用勾股定理说明三个半A. S 1+ S 2 S3 B. S 1+ S 2= S 3 C. S 2+S3 S 1 D. 以上都不是（2）如下列图,分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形,其面积分别是 S1、S2、S3,就它们之间的关系是（）A. S1- S2= S3 B. S 1+ S 2= S 3 C. S2+S3 S1 D. S2- S3=S1 例 2：求长度问题（1）小明想知道学校旗杆的高,他发觉旗杆顶端的绳子垂到地面仍多 1 米,当他把绳子的下端拉开 5 米后,

10、发觉下端刚好接触地面,求旗杆的高度；（2）在一棵树 10m高的 B 处,有两只猴子,一只爬下树走到离树20m处的池塘 A处；.另外一只爬到树顶 D处后直接跃到 A 外,距离以直线运算, 假如两只猴子所经过的距离相等,试问这棵树有多高？DBC A例 3：最短路程问题（1）如图 1,已知圆柱体底面圆的半径为2 ,高为 2,AB,CD分别是两底面的直径, AD,BC是母线,如一只小虫从A 点动身,从侧面爬行到C 点,就小虫爬行的最短路线的长度是；（结果保留根式）D CA B（图 1）名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必

11、备 欢迎下载（2）如图 2,有一个长、宽、高为 3 米的封闭的正方体纸盒,一只昆虫从顶点 A 要爬到顶点 B,那么这只昆虫爬行的最短距离为；AB（图 2）例 4：航海问题（1）一轮船以 16 海里/ 时的速度从 A 港向东北方向航行,另一艘船同时以 12 海里 / 时的速度从 A港向西北方向航行,经过 1.5 小时后,它们相距 _海里（2）如图 1,某货船以 24 海里时的速度将一批重要物资从 A 处运往正东方向的 M处,在点 A 处测得某岛 C在北偏东 60 的方向上； 该货船航行 30 分钟到达 B 处,此时又测得该岛在北偏东 30的方向上,已知在 C岛四周 9 海里的区域内有暗礁, 如连

12、续向正东方向航行, 该货船有无暗礁危急？试说明理由；北CACD6030M东ABDB（图 1）（图 2）（3）如图 2,某沿海开放城市A 接到台风警报,在该市正南方向260km的 B 处有一台风中心,沿BC方向以 15km/h 的速度向 D移动,已知城市 A 到 BC的距离 AD=100km,那么台风中心经过多长时间从 B 点移到 D点？假如在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危急,正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危急？名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载例 5

13、：网格问题（1）如图,正方形网格中,每个小正方形的边长为 1,就网格上的三角形 ABC中,边长为无理数的边数是（）A0 B1 C2 D3 （2）如图,正方形网格中的ABC,如小方格边长为 1,就 ABC是 （）A.直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上答案都不对（3）如图,小方格都是边长为 1 的正方形 , 就四边形 ABCD的面积是 A 25 B. 12.5 C. 9 D. 8.5 DABCCA（图 2）BABC（图 1）（图 3）例 6：图形问题（1）如图 1,求该四边形的面积（2）（2022 四川宜宾） 如图 2,已知,在ABC中, A= 45 ,AC= 2,AB=

14、3+1,就边 BC的长为（图 2）D12C3B134A（图 1）（3）某公司的大门如下列图 , 其中四边形是长方形 , 上部是以为直径的半圆 , 其中 =2.3 , =2, 现有一辆装满货物的卡车 ,高为 2.5 , 宽为 1.6 , 问这辆卡车能否通过公司的大门 . .并说明你的理由名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（4）将一根长 24 的筷子置于地面直径为5 ,高为 12 的圆柱形水杯中,设筷子露在杯子外面的长为 h ,就 h 的取值范畴；【培优提高】1. 如图是一张直角三角形的纸片,两直角边A

15、C6 cm、BC8 cm,现将 ABC折叠,使点 B 与点 A 重合,折痕为 DE,就 BE的长为（A）4 cm （B）5 cm （C）6 cm （D）10 cm B A D C 2如下列图,在 Rt ABC中, C90 , A30 , BD是ABC的平分线, CD5 ,求 AB的长33. 如图,正方形网格中的每个小正方形边长都是 按以下要求画三角形：1,每个小格的顶点叫格点,以格点为顶点分别使三角形的三边长分别为3、8 、5 （在图甲中画一个即可） ；使三角形为钝角三角形且面积为4（在图乙中画一个即可） 甲乙第 8 页,共 9 页4以下四组线段中,可以构成直角三角形的是（）A.1,2,3 B

16、.2,3,4 C.3,4,5 D.4,5,6 5在 ABC中, AB=6,AC=8,BC=10,就该三角形为（）A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D等腰直角三角形名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载Rt6. 已知 ABC是边长为 1 的等腰直角三角形,以Rt ABC的斜边 AC为直角边,画其次个等腰ACD,再以 Rt ACD的斜边 AD为直角边,画第三个等腰 直角三角形的斜边长是E F DCBAGRt ADE, ,依此类推,第 n 个等腰7. 如图,每个小正方形的边长为1,ABC的三边a ,b ,c的大小关系式：cba

17、bc（C）cab（D）（A）acb（B）a8（此题满分 10 分） 问题情境 勾股定理是一条古老的数学定理,它有许多种证明方法,我国汉代数学家赵爽依据弦图,利用面积法进行证明,闻名数学家华罗庚曾提出把“ 数形关系”作为地球人与其他星球“ 人” 进行第一次“ 谈话” 的语言； 定理表述 （勾股定理）带到其他星球,请你依据图 1 中的直角三角形表达勾股定理（用文字及符号语言表达）；（3 分） 尝试证明 以图 1 中的直角三角形为基础,可以构造出以a、b 为底,以ab为高的直角梯形（如图2）,请你利用图 2,验证勾股定理；（4 分）名师归纳总结 学问拓展 利用图 2 中的直角梯形,我们可以证明acb2.其证明步骤如下：.第 9 页,共 9 页BCab ,AD= ；,acb2又在直角梯形ABCD中有 BC AD （填大小关系）,即- - - - - - -