2022年2022年教案：一元二次不等式 .pdf

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1、一元二次不等式 (1) 教学目标：1.理解一元二次不等式的概念，掌握一元二次不等式的图像解法；2.进一步体会一元二次不等式与一元二次方程和二次函数的关系；3.进一步培养学生的计算技能，在学习一元二次不等式的图像解法的过程中感受数形结合的数学思想方法。教学重点：一元二次不等式的图像解法教学难点 : 指出二次函数图像在x 轴上方或下方所对应的自变量的取值范围。教学过程 : 教学内容学 生 学 习 活 动说明复习引入1、一元二次方程)0(02acbxax的解是aacbbx2422, 12、 二次函数)0(2acbxaxy的图像是一条抛物线， 当oa时开口向上，当0a时开口向下；对称轴是abx2，顶点

2、坐标为abacab4422，与 x 轴的交点为024，aacbb。一元二次方程和二次函数的相关知识是解一元二次不等式的基础，教师引导学生回顾相关知识。概念引入在2.1 的不等式关系问题（ 3）中，我们得到不等式x2-x+60,不等式左边是一个关于x 的二次式。一般地，形如 ax2+bx+c0(0)或 ax2+bx+c0(0)的不等式（期中 a0） ，叫做一元二次不等式。满足一元二次不等式的未知数的取值范围，叫做这个不等式的解集。如何解一元二次不等式呢？引出概念，并提出如何解一元二次不等式呢？实例探究探究：观察二次函数y= x2-x+6 的图像，并回答下列问题：（1）当 y=0 时，x 取什么值

3、？（2） 二次函数 y= x2-x+6 的图像与 x 轴交点的坐标是什么？引 导 学 生根据图像回答问题， 感受数形结合的数学思想方法。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - （3）当 y0 时，x 的取值范围是什么？概括归纳一般地，二次函数)0(2acbxaxy的图像与x 轴 交 点 的 横 坐 标 即 为 一 元 二 次 方 程02cbxax的解。函数)0(2acbxaxy的图像在 x 轴上方（下方）的部分所对应的

4、自变量x的取值范围，即为一元二次不等式ax2+bx+c0(0)的解集。由特殊到一般，归纳出方法， 学会根据二次函数图像在x轴上方或下方所对应的自变量的取值范围来确定不等式的的解集。强调二次函数图像在x 轴上方或下方所对应的自变量的取值范围即为不等式的解集。典例分析例：解不等式 x2-2x-30。解：方程 x2-2x-3=0 的解是 x1=-1,x2=3. 如图，函数 y =x2-2x-3 的图像是开口向上的抛物线，与 x 轴有两个交点（ -1,0）和（3,0） 。观察图像可得，原不等式的解集为x|x3，即（ -，-1）（ 3，+） 。强 调 解 题过程的规范性。方法小结当 a0 时， 解形如

5、ax2+bx+c0(0)或 ax2+bx+c0(0)的一元二次不等式，一般步骤为：确定对应方程02cbxax的解；画出对应函数cbxaxy2的图像；由图形得出不等式的解集。练习： P37 练习 1,2（1）题由 例 题 归 纳 出一般方法和步骤。 然后仿照例题完成针对性练习。思考交流思考交流：不等式 x2-2x-30 的解集是什么？练习：P37 练习 2（2）题1、按例 1 的方法解不等式，注意带等号与不带等号区别。2、从集合的角度，x2-2x-30 的解集是x2-2x-30 的补集。让学生在教师的引导下通过合作交流解决问题。小结1、当 a0 时，解形如 ax2+bx+c0(0)或 ax2+b

6、x+c0(0)的一元二次不等式，一般步骤。y=x2-2x-3-4-33210-1xy名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - 2、你在解一元二次不等式的过程中，感到困难的地方在哪里？你是如何克服的？作业P42 习题第 1 题，第 2 题的第（ 1） 、 （3）小题。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第

7、 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - 一元二次不等式 (2) 教学目标：1.掌握一元二次不等式的图像解法，并归纳出一般地一元二次不等式的求解步骤；2.进一步体会一元二次不等式与一元二次方程和二次函数的关系；3.进一步培养学生的计算技能，在学习一元二次不等式的图像解法的过程中感受数形结合的数学思想方法。教学重点：一元二次不等式的图像解法及一元二次不等式解集情况的一般规律。教学难点指出二次函数图像在x 轴上方或下方所对应的自变量的取值范围和0 时的解集。教学过程教学内容学 生 学 习 活 动说明复习引入当 a0 时，解形如 ax2+bx+c0(0)或 ax2+bx+c0(0)

8、的一元二次不等式，一般步骤为：确定对应方程 ax2+bx+c=0 的解；画出对应函数 y=ax2+bx+c 的图像；由图形得出不等式的解集。典例分析例：解不等式 9x2-6x+10。解：因为 =（-6）2-491=0，所以方程有两个相等的实数解：3121xx函数 y=9x2-6x+1 的图像是开口向上的抛物线，与 x 轴只有一个交点（ 1/3,0） 。观察图像可得，原不等式的解集为。，即313131xx注意引导学生理解本题解集的区间表示，可借助数轴直观表示。思考交流思考：不等式 9x2-6x+10 的解集是什么？9x2-6x+10 的解集是9x2-6x+10 的解集的补集的角度思考。引导学生类

9、比前一节课的 “思考交流”加以解决。典例：解不等式 x2-2x+20. 进一步强名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - 例分析解：因为 =（-2）2-421=-40，所以方程 x2-2x+2=0 无实数解。函数 y= x2-2x+2 的图像是开口向上的抛物线，与 x 轴没有交点，如右图。观察图像可得，原不等式的解集为R。调解题过程的规范性。归纳总结一般地，当 a0 时，解形如 ax2+bx+c0 或 ax2+bx+c0

10、 的一元二次不等式，有如下结论：判别式=b2-4ac 0 =0 0 一元二次方程ax2+bx+c 的根有两个相异的实数解x1，x2（x1x2）有两个相等的实数解x1=x2=-b/2a 无实数解二次函数y=ax2+bx+c 的图像一 元 二 次 不 等 式ax2+bx+c0 的解集（-，x1） （x2，+）（ -， -b/2a） （-b/2a，+）R 一 元 二 次 不 等 式ax2+bx+c0 的解集（x1，x2）练习P39 练习 1 独立完成问题解决1、自变量 x 分别取什么值时， 下列函数值大于0、等于 0、小于 0？（1）y=x2+6x+10 (2)y=25-x2 用一根长10m 的绳子

11、，能围成面积大于6m2的矩形吗？能围成面积大于7m2的矩形吗？在教 师的 引导 下运用一元二次不等式知识解决实际问题， 感受数学的实用性， 增强学习的主动性。学 以 致用，增强学生学 习 的 主 动性。小1、当 a0 时， 解形如 ax2+bx+c0 或 ax2+bx+c0 的一元二次不等式，yxx20 x1=yxx20 x1yx0名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - 结解集的情况如何？2、谈谈你对一元二次不等式与一

12、元二次方程和二次函数的关系的理解。作业名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - 一元二次不等式 (3) 教学目标：1.掌握一元二次不等式的图像解法，能将二次项系数为负数的不等式转化为二次项为正数的一元二次不等式加以解决；2.进一步培养学生的计算技能；3.在解一元二次不等式的图像解法的过程中进一步感受数形结合的数学思想方法。教学重点：能将二次项系数为负数的不等式转化为二次项为正数的一元二次不等式加以解决。教学难点解带参数的

13、一元二次不等式。教学过程教学内容学 生 学 习 活 动说明复习引入当 a0 时，解形如 ax2+bx+c0(0)或 ax2+bx+c0(0)的一元二次不等式，一般步骤为：确定对应方程ax2+bx+c=0 的解；画出对应函数y=ax2+bx+c 的图像；由图形得出不等式的解集。探究学习思考：如何解二次项系数为负数的一元二次不等式？例：解不等式 -x2-2x+30。解：在不等号两边同时乘以 -1， 得 x2+2x-30，方程 x2+2x-3=0 的解为 x1=1,x2=-3 如图，函数 y = x2+2x-3 的图像是开口向上的抛物线，与 x 轴有两个交点（1,0）和（-3,0） 。观察图像可得，

14、原不等式的解集为（-3,1） 。回顾基本方法，交流、合作解答本题。强调不等式两边同乘 -1 时，不等号要改变方向。典例分析例：解不等式19x-63x2。解：将不等式变形得： 3x2-19x+60. 解题步骤：1、将 不 等 式 变 形 为进一步强调解题过程的规范性。yx-30-31-4名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - 方程 3x2-19x+6=0 的解为6,3121xx. 所以原不等式的解集为6,31。练习： P

15、40 练习 1、2 二次项系数为正数的一般形式。2、解一元二次方程。3、得出不等式解集。能力提升例： 解关于 x的不等式 x2- （2m+1） x+m2+m0. 解：方程 x2- （2m+1）x+m2+m=0 的解为：x1=m, x2=m+1 因为 mm+1，所以原不等式的解集为：（-，m）（ m+1,+）独立计算学生板演重在提高学生的运算能力。问题解决1、x2+2x-30（x-3）(x+1) 0,根据实数乘法的符号法则说明该不等式的解集。2、设集合 M=x x2+2x-150,集合N=x (1+x)(6-x)0,求 MN，MN。小结1、解形如 ax2+bx+c0 或 ax2+bx+c0 的一

16、元二次不等式的一般方法和步骤。2、形如 ax2+bx+c0或 ax2+bx+c0 的一元二次不等式， 解集的情况如何？作业名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - 一元二次不等式 (4) 教学目标：1.能熟练的解一元二次不等式，进一步培养学生的计算技能；2.能根据实际问题列出一元二次不等式解决实际问题。3.激发学生热情，体会事物之间普遍联系的辩证思想。教学重点：根据实际问题列出一元二次不等式解决实际问题。教学难点 : 根

17、据实际问题列出一元二次不等式解决实际问题。教学过程 : 教学内容学 生 学 习 活 动说明情境引入解下列不等式 : 1、x2+2x-80 2、x2+4x+40 3、-3x2-2x+80 4、x2+2x+30 回顾解题方法， 开展解题竞赛， 看谁解的既准确有快速。旨 在培 养 学 生的 计 算 技能。典例分析例：实数 m 在什么范围内取值，一元二次不等式x2+(m-3)x+m=0 有实数解？解：一元二次方程有实数解必须0，即（m-3）2-4m0,整理，得： m2-10m+90 解得： m1 或 m9，所以当 m1 或 m9 时，方程 x2+(m-3)x+m=0 有实数解。练习： P41 练习 1

18、 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - 学以致用例：某商场一天内销售某型号电视机的数量x（台）与利润 y（元）之间满足 y=-10 x2+500 x。如果这家商家计划在一天内通过销售该型号电视机产生 60000 元以上的利润，那么一天内大约应销售多少台该型号的电视机？解：根据题意得： -10 x2+500 x6000 移项、整理，得： x2-50 x+6000 解得： 20 x30 因为 x 只能取正整数，所以当这家商场在一天内销售该型号电视机的数量在 21 台到 29 台之间时，能获得6000 元以上的利润。问题解决问题：用 10 m 长的篱笆围一块矩形菜地，当菜地的一边长x m 满足什么条件时，矩形菜地面积最大? 小结谈谈你认为根据实际问题列出一元二次不等式解决实际问题关键是什么？作业P42 习题第 4、5 题名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - -