2022年北大版高等数学第四章微分中值定理与泰勒公式答案第四章总练习题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思第四章总练习题名师归纳总结 1. 设 y=fx在 x0-h,x0+hh0 内可导证明存在,0x 时 1|f |a时f l0,其中 l 为常数 . 证明 : 如f a 0,就在区间a af a 内方程lf x 0有唯独实根.证f a 0,af a f a f f a f a lf a 0,lllf在a af a 连续 由连续怀念书函数的中间值定理 ,l在区间a af a 内方程f 0至少有一实根. 如有两个实根,依据lRolle定理,f 将在a af a 有一零点,这与条件f l0 冲突.l14. 设函数f

2、x 在,上可导,且lim xf 0. 现令g x f x1f ,证明lim xg x 0.证lim xg x lim xf x1f x lim xfx010.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思15. 称函数f x 在 , 满意Lipschiz条件 如存在常数L0,使对于任意x x 2 , , 都有 | f x 1 f x 2 | L x 1 x 2 |.1 如 f 在 , 连续 就 f x 在 , 满意 Lipschiz 条件21 中所述事实的逆命题是否成立 .3 举一个在 , 上连续但不满意 Lipschiz 条

3、件的函数 .解 1 f 在 , 连续, 存在常数 L 0, 使得 | f | L x , .依据中值公式 , 对于任意 x x 2 , , a b x 1 x 2 , 存在 c x x 2 , 使得| f x 1 f x 2 | | f c x 1 x 2 | | f | x 2 x 1 L x 2 x 1 .2 否 . 在 , 满意 Lipschiz 条件 , 未必到处可导 , 更谈不到 f 在 , 连续 . 例如 , f x | x | 在 1,1 满意 Lipschiz 条件 , 但在 0不行导 .3 x 在 0,1 连续 但不满意 Lipschiz 条件, 因其导函数f 1 在 0,1

4、 无界 .2 x16. 设 F x 在 , 可导 且其导函数 F f x 在 , 上可积 证明ba f x dx F b F a .n n证 F b F a F x i F x i 1 F i x i x i 1 i 1 i 1n bf i x i x i 1 a f x dx 0.i 1 x i 为 , 的分割 .17. 设多项式 P x a 与 P x b 的全部根都是单实根 , 证明对于任意实数c , , 多项式 P x c 的根也全都是单实根 .证不妨设 a=0,b0,c 0,b, P x 是 次多项式 , 且首项系数为正 .P x 有单实根 x 1 x n , 就这些根把实轴分为 n

5、 1 个区间 每个区间保持固定正负号 且正负相间 . 否就某个根将为极值点 , 导数为零, 此与单实根冲突 . 在两个无穷区间保持正号 , 且严格单调递增或递减 , 在每个名师归纳总结 有穷区间有一个最值点 , 且在其两侧分别递增和递减, 设n2 k 为偶数 ,第 5 页,共 5 页就lim xP x =+. 设b0 且 P x b 有n个单实根x 1x n. 必有x 1x x 2,x 3x x 3,x 2k2,x 2k1x 2k2,x 2k1,x 2kx 2k,P x ib .依据连续函数的中间值定理 对于c0, ,存在c 1,x 1,c 2x 2,x 2,c 3x 3,x 3,c 2k2x 2k2,x 2k2,c 2k1x 2k1,x 2k1,c 2kx 2k,使得P c c P 为 次多项式,c i是Px=c 的全部单实根 . - - - - - - -