2022年北京四中高考数学总复习知识梳理函数的图象.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载函数的图像【考纲要求】1. 结合二次函数图像,明白函数的零点与方程根的联系,判定一元二次方程根的存在性及根的个数2. 依据详细函数的图像,能够用二分法求相应方程的近似解3. 明白指数函数、对数函数以及幂函数的增长特点知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数 类型增长的含义4. 明白函数模型 如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型 的 广泛应用5. 会作简洁的函数图像并能进行图像变换；6. 结合图像懂得函数、方程、不等式之间的关系；【学问网络】函数的图像二幂二分次指法函对数 函 数图像与性质、图

2、像变换【考点梳理】考点一：一元二次方程的根与函数图像的关系1. 当 xR时,二次方程ax2bxc0（a0）的根的个数可以用判别式b24ac 与 0 的关系进行判定；名师归纳总结 2. 二次方程ax2bxc0（a0）的根1x 、x 与系数的关系：x 1x2c （b,x x 2c；第 1 页,共 7 页aa3. 二次方程ax2bxc0（a0）的根的分布：结合f ax2bxa0）的图像可以得到一系列有关的结论（a0可以转化为a0）：. （1）方程f x 0的两根中一根比r 大,另一根比r 小f r 0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）二次方程f x 0

3、的两根都大于r学习必备欢迎下载0ac0b24 acbr42af r 0b2（3）二次方程f x 0在区间 , p q 内有两根pbpq0,或f 0而另一根在 , p q2a（4）二次方程f x 0在区间 p q , 内只有一根f q 0f 0f q f内,或f q 0而另一根在 , p q 内. q ）f p 0（5）方程f x 0的一根比 p 小且一根比 q 大（ pf q 0考点二：零点1. 函数的零点1 一般地,假如函数yf x 在实数 a 处的值为 0,即f a 0,就 a 叫做这个函数的零点2 对于任意函数,只要它的图像是连续不间断的,其函数的零点具以下性质： 当它通过零点（不是偶次

4、零点）时函数值符号转变； 相邻两个零点之间的全部的函数值保持符号不变；3 函数零点的性质是争论方程根的分布问题的基础,是通过对二次函数的零点的争论而推出的是由特别到一般的思想方法；2. 二分法1 已知函数 y f x 在区间 a ,b 上连续的,且 f a f b 0,通过不断地把函数 y f x 的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步靠近零点,从而得到零点的近似值的方法,叫做二分法；2 二分法定义的基础,是函数零点的性质；二分法定义本身给出了求函数零点近似值的步骤只要按步就班地做下去,就能求出给定精确度的函数零点（3）二分法求函数零点的近似值的步骤,渗透了算法思想与程序化意识此步骤本

5、身就是一个解题程名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载序；这种程序化思想在运算机上得到了广泛的应用考点三：图像变换（一）函数图像 1. 作图方法：以解析式表示的函数作图像的方法有两种,即列表描点法和图像变换法,把握这两种方法是本节的重 点运用描点法作图像应防止描点前的盲目性,也应防止盲目地连点成线要把表列在关键处,要把线连 在恰当处这就要求对所要画图像的存在范畴、大致特点、变化趋势等作一个大致的争论而这个争论要 借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段,是一个难点用图像变换法作函数图像要确定以哪一种函

6、数的图像为基础进行变换,以及确定怎样的变换这也是个难点2. 作函数图像的步骤：确定函数的定义域；化简函数的解析式；争论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）与轴的交点） ；描点连线,画出函数的图像；（二）图像变换 图像变换包括图像的平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换等；（ 1）平移变换（左加右减,上加下减）、特别点（如：零点、极值点、把函数f x 的图像向左平移a a0个 a 单位,得到函数f xa 的图 像,把函数f x 的图像向右平移a a0个 a 单位,得到函数f xa 的图像,把函数个 a 单位,得到函数f x 的图像向上平移a a0f x a 的图像,把函数f

7、x 的图像向下平移a a0个 a 单位,得到函数f x a 的图像；（2）伸缩变换把函数yf x 图像的纵坐标不变,横坐标伸长到原先的1 w倍得yfx 01 把函数yf x 图像的横坐标不变,纵坐标伸长到原先的w 倍得yf x 1 把函数yf x 图像的横坐标不变,纵坐标缩短到原先的w 倍得yf x 01 （3）对称变换：名师归纳总结 函数yf x 和函数yf x 的图像关于 x 轴对称第 3 页,共 7 页函数yf x 和函数yfx 的图像关于 y 轴对称函数yf x 和函数yfx 的图像 关于原点对称函数yf x 和函数yf1 x 的图像关于直线yx 对称简洁地记为：x 轴对称 y 要变,

8、 y 轴对称 x 要变,原点对称都要变；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 对于函 数y学习必备欢迎下载xyab的fx xR,fxafbx恒成立 , 就函数f x 的对称轴是2（4）翻折变换：图像上方部分保持不变,下方的图像对称翻折到x 轴上方,得到函数f x 把函数y=fx图像；保留 y 轴右边的图像, 擦去左边的图像,再把右边的图像对称翻折到左边,得到函数yfx的图像；【典型例题】类型一：图像变换例 1写出以下函数作图过程,然后画出以下函数图像的草图. （4）y| 2x1|（1）y2x1（2）yx1x2（ 3）y| lgx|x1【解析】（ 1）y2x

9、12x112x11x1x1先作出函数y1的图像,x再把函数y1的图像向右平移一个单位得到函数yx11的图像,x最终把函数yx11的图像向上平移2 个单位,得到函数y2x11的图像；（ 2）yx1x2xx2xx22x2然后作出函数的图像；2x2（ 3）第一作出函数ylgx的图像,再把函数ylgx的图像 x 轴上方保持不变,把 x 轴下方的图像对称地翻折到x 轴上方,即得函数y| lgx 的图像；（4）第一作出函数yx 2 的图像 ,然后把yx 2 的图像 y 轴右边的保持不变,去掉y 轴左边的图像,再把 y 轴右边的图像对称地翻折到y 轴左边,即得函数y|2x |的图像,最终把函数y2|x |的

10、图像向左平移一个单位,得到函数y| x21|的图像；【总结升华】作函数图像的基本方法有两种：名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1 描点法；学习必备欢迎下载2 图像变换法：利用基本初等函数变换作图,其中把握好 换；举一反三：【变式】作出以下函数的图像1yx2 x1 2ylg x13y2xx1【答案】类型二 ：一元二次方程的根的分布1 平移变换； 2 对称变换； 3 伸缩变例 2已知函数f x x2a21xa2的一个零点比1 大,一个零点比l 小；求实数 a 的取值范畴【解析】方法一： 设方程x2a21xa20的两根分别

11、为1x 、x （x21x ）就x21x 110即x x 1x2x110由韦达定理得：a2a2110即a2a20,解得：2a1方法二： 函数f x x2a21xa2的大致图像如图：就f10即a2a2110解得：2a1【总结升华】 1. 这类题为方程的实根分布问题,解决此类问题肯定要留意结合图像,从判别式、韦达定理、 对称轴、 端点函数值的大小、开口方向等方面去考虑使结论成立的全部条件；函数与方程联系亲密,可把函数问题转化为方程问题解决,也可用数形结合法；2. 函数 y=ax2+bx+c, 当 a 0 时,才是二次函数,详细问题时,切忌忽视争论a=0 的情形；3三个” 二” 次的关系是高考考查的重

12、中之重,把二次方程和二次不等式的问题从二次函数的观点出发运用数形结合思想分析处理是高考应考必需落实的基本思路；举一反三：名师归纳总结 【变式】已知方程mx2m3x10至少有一正根,求实数m 的取值范畴 . m 进行分类争论；第 5 页,共 7 页【答案】从二次函数的观点动身,结合函数图像与x 轴交点的位置解决问题并对令f x mx2m3x1,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 就函数yf学习必备欢迎下载 x 的图像与 x 轴的交点至少有一个在原点的右侧,（1）如m0,就f x 3x1与 x 轴交点1,0,符合题意；3（2）如m0,f01,即函数yf x

13、的图像肯定过点0,1 ,有当m0时,yf x 的图像开口向上,只有下图所示情形符合题意,0即m2 34 m0, 解得 0m1. 0b3m02 a2 m当m0时,y,1f x 的图像开口向下,必定有一个交点在原点右侧,符合题意. 综上可得m类型三：零点的判定例 3. 求方程1x2x33 x的解的个数31x3215的图像,3,3【解析】作出函数y 13和y 21x2xx3324且x3时,y 215,y 12,有y 1y （如图）24由图像可以知道：函数y 13和y 21x2x3的图像的交点的个数为x3名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - -

14、 - - - 学习必备 欢迎下载即方程 1x 3x 23 x 3 0 的解的个数为 3. 3【总结升华】 1. 此题在求解的过程中,只需作出反映函数性状的“ 大致” 图像,结合函数的单调区间便可解决本问题,只要得出极大值为正,微小值为负,便可立刻得到原方程有 3 个根2. 把方程问题转化为函数问题,将方程和函数紧密联系起来,利用数形结合思想解决问题比较便利；通过运算作方程所对应函数的函数值表格或作出函数的图像,用函数值的变化情形分析零点所在的区间,然后再利用单调性确定个数；3. 对于超越方程的根,2无法用代数的方法求得它的详细的解,只能把方程问题转化为函数问题确定它的解的个数 . 例如：x 3x0, lg xx ,10sinxx0等；举一反三：【变式】方程3xx20的实数解的个数为xx20；【答案】作y2 x 和y3x的图像（如图）有一个实数根当x0时,3x2 x ,因此方程3名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页