2022年北师大版初三二次函数知识点及练习.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载二次函数学问回忆一、二次函数概念：21二次函数的概念：一般地,形如 y ax bx c （ a, , 是常数,a 0）的函数,叫做二次函数；这里需要强调：和一元二次方程类似,二次项系数 a 0,而 b, 可以为零二次函数的定义域是全体实数22. 二次函数 y ax bx c 的结构特点： 等号左边是函数,右边是关于自变量 x 的二次式,x 的最高次数是 2 a, , 是常数, a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项2例 1（基础） .二次函数 y 3 x 6 x 5 的图像的顶点坐标是（） A（ -1, 8） B.

2、（ 1,8） C （-1, 2） D （1,-4）习题精练1、二次函数 yax 2bxc 的图象如下列图,反比例函数ya x与正比例函数y（ bc）x 在同一坐标系中的大致图象可能是（）就 b 、 k 的值分别为（）2、如二次函数yx2bx5配方后为yx2 2kA .0 5 B .0. 1 C.- 4. 5 D.- 4. 1 3、图（ 1）是一个横断面为抛物线外形的拱桥,当水面在l 时,拱顶（拱桥洞的最高名师归纳总结 点）离水面2m ,水面宽 4m 如图（ 2）建立平面直角坐标系,就抛物线的关系式第 1 页,共 20 页是（） Ay2x2By2x2Cy1x2Dy1x222- - - - - -

3、 -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载图（ 1）图（ 2）4、已知二次函数的图象如下列图,就这个二次函数的表达式为（）Ayx22x3 B yx22x3Cyx22x3 D yx22x35. 如yax2bxc,就由表格中信息可知y 与 x 之间的函数关系式是（名师归纳总结 x101第 2 页,共 20 页2 ax1ax2bxc83yx24x3yx23 x4yx23x3yx24x86、巴人广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉,其中一支高为1 米的喷水管喷水最大高度为3 米,此时喷水水平距离为1米,在如图4 所示的坐标系中,这支2喷泉满意的函数关系式是（）A）yx

4、123（B）y3x121（22- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - C）y8x123（ D）学习必备123欢迎下载y8x22二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：y2 ax 的性质：a 的肯定值越大,抛物线的开口越小；a 的符号开口方顶点坐对称性质向标轴a0向上0,0y 轴x0时, y 随 x 的增大而增大；x0时,y 随 x 的增大而减小；x0时, y 有最小值 0 a0向下0,0y 轴x0时, y 随 x 的增大而减小；x0时,y 随 x 的增大而增大；x0时, y 有最大值 0 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 20 页

5、精选学习资料 - - - - - - - - - 2. yax2c 的性质：学习必备欢迎下载上加下减；a 的符号开口方顶点坐对称性质向标轴a0向上0,cy 轴x0时, y 随 x 的增大而增大；x0时,y 随 x 的增大而减小；x0时, y 有最小值 c a0向下0,cy 轴x0时, y 随 x 的增大而减小；x0时,y 随 x 的增大而增大；x0时, y 有最大值 c 3. ya xh2的性质：左加右减；名师归纳总结 a 的符号开口方顶点坐对称性质第 4 页,共 20 页向标轴a0向上h ,0X=hxh 时, y 随 x 的增大而增大；xh 时,y 随 x 的增大而减小；xh 时, y 有最

6、小- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载值 0 a0向下h ,0X=hxh 时, y 随 x 的增大而减小；xh 时,y 随 x 的增大而增大；xh 时, y 有最大值 0 4. ya xh2k 的性质：a 的符号开口方顶点坐对称性质向标轴a0向上h,kX=hxh 时, y 随 x 的增大而增大；xh 时,y 随 x 的增大而减小；xh 时, y 有最小值 k a0向下h,kX=hxh 时, y 随 x 的增大而减小；xh 时,y 随 x 的增大而增大；xh 时, y 有最大值 k 三、二次函数图象的平移名师归纳总结 1. 平移步骤：h2

7、k ,确定其顶点坐标第 5 页,共 20 页方法一：将抛物线解析式转化成顶点式ya xh,k；h,k处,详细平移方法如下： 保持抛物线y2 ax 的外形不变,将其顶点平移到- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - y=ax2学习必备欢迎下载y=ax2+k向上 k0【或向下 k0【或左 h0【或左 h0【或左 h0【或下 k0【或下 k0】平移 |k|个单位平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移；k 值正上移,负下移” 概括成八个字“ 左加右减,上加下减” 方法二：yax2bxcc沿 y 轴平移 : 向上（下）平移m 个单位,yyax2bxcc变成yy

8、ax22bxc）cax2bx变成m（或yax2bxcmaxbx沿轴平移：向左（右）平移m 个单位,m2xm c（或yaxm 2bxm yaxb）考点 1. 二次函数的平移小试牛刀例 2 已知,在同始终角坐标系中,反比例函数y5与二次函数yx22xc 的x图像交于点A 1,m （1）求 m 、 c 的值；名师归纳总结 （2）求二次函数图像的对称轴和顶点坐标. 第 6 页,共 20 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 3 把抛物线 y=3x学习必备欢迎下载）2 向上平移 2 个单位,得到的抛物线是（A.y=3 （x+2 ）2 B.y=3 （x-2 ）2

9、 C.y=3x2+2 D.y=3x2-2 专题练习一1.对于抛物线y=1x2+10 3x16,以下说法正确选项（）33A.开口向下,顶点坐标为（5, 3） B. 开口向上,顶点坐标为（5,3）C.开口向下,顶点坐标为（-5,3） D. 开口向上,顶点坐标为（-5,3）2.如抛物线 y=x2-2x+c 与 y 轴的交点为（ 0,-3）,就以下说法不正确选项（A.抛物线开口向上B.抛物线的对称轴是 x=1 C.当 x=1 时, y 的最大值为 -4 D.抛物线与 x 轴交点为（ -1,0）,（ 3,0）3.将二次函数y=x2 的图象向左平移1 个单位长度,再向210yx12x下平移 2 个单位长度

10、后,所得图象的函数表达式是_. 4.小明从图 2 所示的二次函数yax2bxc 的图象中,图31观看得出了下面五条信息：c0；abc0；abc0； 2a3 b0；c4 b0,你认为其中正确信息的个数有 _. （填序号）考点 2. 依据抛物线上点的坐标确定二次函数表达式名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载2+bx+c （a 0）；1.如已知抛物线上三点的坐标,就可用一般式：y=ax2.如已知抛物线的顶点坐标或最大（小）值及抛物线上另一个点的坐标,就可用顶点式： y=a （x-h ）2+k （a 0）；3

11、.如已知抛物线与 x 轴的两个交点坐标及另一个点,就可用交点式：y=a （x-x 1）（x-x 2）（ a 0）. 例 2 已知抛物线的图象以A（-1,4）为顶点,且过点B（2,-5）,求该抛物线的表达式 . 例 3 已知一抛物线与x 轴的交点是A（-2, 0）、 B（ 1,0）,且经过点C（ 2,8）. （1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标 . 专项练习二名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载1. 由于世界金融危机的不断扩散,世界经济受到严峻冲击.为了盘活资金,削减损失,某电器商场打

12、算对某种电视机连续进行两次降价.如设平均每次降价的百分率是x,图 2 降价后的价格为y 元,原价为a 元,就 y 与 x 之间的函数表达式为（）A.y=2a （x-1） B.y=2a （1-x） C.y=a （1-x2） D.y=a （1-x ）22. 如图 2,在平而直角坐标系xOy 中,抛物线y=x2+bx+c与 x 轴交于 A、B 两点,点 A 在 x 轴负半轴,点B 在 x 轴正半轴,与y 轴交于点C,且 tan ACO=1 2,CO=BO ,AB=3 ,就这条抛物线的函数解析式是3.对称轴平行于y 轴的抛物线与y 轴交于点（ 0,-2 ）,且 x=1 时, y=3；x=-1 时y=1

13、,求此抛物线的关系式. A0,3,B2,3,C 1 0, 4. 推理运算：二次函数的图象经过点（1）求此二次函数的关系式；（2）求此二次函数图象的顶点坐标；（3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少 平移 的顶点在原点个单位,使得该图象名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 四、二次函数ya xh2学习必备bx欢迎下载k 与yax2c的比较从解析式上看,ya xh2k 与yax2bxc 是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即ya xb24ac2 b,其中hb,k4 acb22 a4a2a4 a五、二次函数y

14、ax2bxc 图象的画法2 2五点绘图法：利用配方法将二次函数 y ax bx c 化为顶点式 y a x h k ,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图 . 一般我们选取的五点为：顶点、与 y 轴的交点 0,c、以及 0,c 关于对称轴对称的点2h,c、与 x 轴的交点 x ,0,x ,0（如与 x 轴没有交点,就取两组关于对称轴对称的点） . 画草图时应抓住以下几点：开口方向,对称轴,顶点,与 x 轴的交点,与 y轴的交点 . 2六、二次函数 y ax bx c 的性质2 1. 当 a 0 时,抛物线开口向上,对称轴为 x b,顶点坐标为 b,4 ac b

15、2 a 2 a 4 a当 x b 时, y随 x 的增大而减小；当 x b 时, y 随 x 的增大而增大；当2 a 2 a2x b 时, y 有最小值 4 ac b2 a 4 a 2. 当 a 0 时,抛物线开口向下,对称轴为 x b,顶点坐标为2 a2b,4 ac b当 x b 时, y 随 x 的增大而增大；当 x b 时, y 随 x 的增大而2 a 4 a 2 a 2 a2减小；当 x b 时, y 有最大值 4 ac b2 a 4 a七、二次函数解析式的表示方法名师归纳总结 1. 一般式：yax2bxc （ a , b , c 为常数,a0）；x 轴两交点的横坐标）. 第 10 页

16、,共 20 页2. 顶点式：ya xh 2k （ a , h , k 为常数,a0）；3. 两根式：ya xx 1xx2（a0,1x ,2x 是抛物线与- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载留意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非全部的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与x 轴有交点,即b24ac0时,抛物线的解析式. 才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化专项练习三1. 抛物线 y=kx2-7x-7 的图象和 x 轴有交点,就k 的取值范畴是 _. y13x2. 已知二次函数yx22xm的部分图象如图2

17、 所示,就关于 x 的一元O二次方程x22xm0的解为图 2 ax23. 已知函数yax2bxc的图象如图3 所示,那么关于x的方程0y图 3 xbxc2B.有两个相等实数0的根的情形是（）A. 无实数根根3C.有两个异号实数根D.有两个同号不等实数根名师归纳总结 4. 二次函数yax2bxc a0的图象如图4 所示,依据图象解答以下问题：第 11 页,共 20 页（1）写出方程ax2bxc0的两个根（2）写出不等式ax2bxc0的解集（3）写出 y 随 x 的增大而减小的自变量x 的取值范畴- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （4）如方程ax2bxc学

18、习必备欢迎下载k 的取值范畴k 有两个不相等的实数根,求八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情形,可以用一般式或顶点式表达 1. 关于 x 轴对称 2. yax2bxc关于 x 轴对称后,得到的解析式是yax2bxc ；22 nkya xh2k 关于 x 轴对称后,得到的解析式是ya xh2k ；关于 y 轴对称 3. yax2bxc关于 y 轴对称后,得到的解析式是yax2bxc ；ya xh2k 关于 y 轴对称后,得到的解析式是ya xh2k ；关于原点对称 4. yax2bxc关于原点对称后,得到的解析式是yax2bxc ；ya xh2k 关于原点对称后,得到的解析式是y

19、a xh2k ；关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180 ） 5. yax2bxc关于顶点对称后,得到的解析式是y2 axbxcb2；2aya xh2k 关于顶点对称后,得到的解析式是ya xh2k 关于点m,n对称ya xh2k 关于点m,n对称后,得到的解析式是ya xh2m依据对称的性质,明显无论作何种对称变换,抛物线的外形肯定不会发生变化,因此 a 永久不变求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或便利运算的原就,挑选合适的形式,习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 20 页精选学习资料 - - - - -

20、- - - - 学习必备 欢迎下载标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与ax2x 轴交点情形）：y0时的特别情形 . 一元二次方程ax2bxc0是二次函数ybxc 当函数值图象与 x 轴的交点个数： 当b24 ac0时,图象与x 轴交于两点A x 1,0,B x2,0x 1x2,其中的y0；x 1,x2是一元二次方程ax2bxc0a0的两根这两点间的距离ABx2x 1b2a4ac. 当0 时,图象与x 轴只有一个交点； 当0 时,图象与x 轴没有交点 . 1 当a0时,图象落

21、在x 轴的上方,无论x 为任何实数,都有2 当a0时,图象落在x 轴的下方,无论x 为任何实数,都有y02. 抛物线yax2bxc 的图象与 y 轴肯定相交,交点坐标为0 ,c ；3. 二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标,需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 依据图象的位置判定二次函数yax2bxc 中 a , b , c 的符号,或由二次函数中 a , b , c 的符号判定图象的位置,要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与 x 轴的一个交点坐标,可由

22、对称性求出另一个交点坐标 . 2 与二次函数有关的仍有二次三项式,二次三项式 ax bx c a 0 本身就是所含字母 x 的二次函数；下面以 a 0 时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 0抛物线与x 轴有学习必备欢迎下载二 次 三 项 式 的 值 可一元二次方程有两个不相等实根0两个交点正、可零、可负抛物线与x 轴只二次三项式的值为非一元二次方程有两个相等的实数根0有一个交点负抛物线与x 轴无二次三项式的值恒为一元二次方程无实数根.交点正二次函数图像参

23、考：y=2x2y=3x+42y=3x2y=3x-22y=x2y=x2y=2x2y=2x-422y=2x-42-3y=2 x2+2y=2 x2y=2 x2-4y= -x2 2名师归纳总结 y= -x2y=-2x+32y=-2x2y=-2x-32y=-2x2第 14 页,共 20 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载课后巩固练习：21、把抛物线 y x 向右平移 1 个单位,所得抛物线的函数表达式为（）A y x 21 B y x 1 2 C y x 21 D y x 1 22、在平面直角坐标系中,将二次函数 y 2x 2的图象向上平移

24、2 个单位,所得图象的解析式为 Ay 2 x 22 B y 2 x 22 C y 2 x 2 2 D y 2 x 2 223、把抛物线 y x 向左平移 1 个单位,然后向上平移 3 个单位 ,就平移后抛物线的解析式为（）.2 2Ay x 1 3 B y x 1 3Cy x 1 23 D y x 1 2324、抛物线 y x 2 3 的顶点坐标是（）A2 3 B 2 3 D2,3 D 2,35、二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象如下列图,如点 A1,y 1、B2,y 2是它图象上的两点,就 y1 与 y2 的大小关系是（）A y 1y2 B y 1=y 2 C y 1y2 D 不能确定名

25、师归纳总结 6、函数 y= ax1 与 y= ax 2 bx1（a 0）的图象可能是（）第 15 页,共 20 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 7、依据下表中的二次函数y学习必备欢迎下载ax2bxc的自变量 x 与函数y的对应值,可判定该二次函数的图象与x 轴（） A 只有一个交点 B 有两个交点,且它们分别在 y 轴两侧 C有两个交点,且它们均在 y 轴同侧 D 无交点28、已知二次函数 y ax bx c 的 y 与 x 的部分对应值如下表：名师归纳总结 x1013；第 16 页,共 20 页y3131就以下判定中正确选项（）A抛物线开口向上

26、B抛物线与y轴交于负半轴C当x4 时,y0 D方程ax2bxc0的正根在 3 与 4 之间9、已知二次函数yax2bxc a0的图象如下列图,就以下结论：ac0 方程ax2bxc0的两根之和大于0；y随 x 的增大而增大；abc0,其中正确的个数（）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A4 个学习必备欢迎下载D1 个B3 个C2 个10、已知二次函数yax 2bxca 0的图象如下列图,给出以下结论：1 或x3时,a 0.该函数的图象关于直线x1对称 . 当x函数 y 的值都等于0.其中正确结论的个数是（） A3 B 2 C 1 D 0 11、二次函数y

27、ax2bxc的图象如下列图,就以下关系式不正确选项（ 0 ）. A a 0 B. abc 0 C.abc0 D.b 24 ac12、已知二次函数y=ax2+bx+c （a 0）的图象如下列图,以下结论：abc0 2a+b 0 4a2b+c 0 a+c 0,其中正确结论的个数为（）A、4 个 B 、 3 个 C 、2 个 D 、1 个二、填空题名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载21、当 x _ 时,二次函数 y x 2 x 2 有最小值2 22、如把代数式 x 2 x 3 化为 x m k 的形式

28、,其中 m k 为常数,就 m k = . 3、函数 y x 23 x取得最大值时,x _ 4、请写出符合以下三个条件的一个函数的解析式过点 31, ；当 x 0 时, y 随 x 的增大而减小；当自变量的值为 2 时,函数值小于 225、已知二次函数 y ax bx c 的图象如下列图,就点 P a,bc 在第 _ 象限三、解答题 1 1、如图,已知二次函数y1x2bxc的图象经过A（ 2,0）、 B（0, 6）两点；2（1）求这个二次函数的解析式名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（2）设该二

29、次函数的对称轴与x 轴交于点 C,连结 BA、BC,求 ABC的面积；y O A C B 2、一座拱桥的轮廓是抛物线型（如左图所示）,拱高 6m ,跨度 20m ,相邻两支柱间的距离均为 5m （1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如右图所示）,求抛物线的解析式；（2）求支柱 EF 的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽 2m 的隔离带）,其中的一条行车道能否并排行驶宽 2m、高 3m 的三辆汽车（汽车间的间隔忽视不计）？请说明你的理由3、王强在一次高尔夫球的练习中,在某处击球,其飞行路线满意抛物线y1x28x ,其中 y （m）是球的飞行高度,x （m）是球飞出的水平距离,55结果球离球洞的水平距离仍有2mx 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（1）请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴（2）恳求出球飞行的最大水平距离（3）如王强再一次从今处击球,要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞,就球飞行路线应满意怎样的抛物线,求出其解析式名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页,共 20 页