2022年北京四中---高中数学高考综合复习二项式定理.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高中数学高考综合复习专题三十一二项式定理一、学问网络二、高考考点1、对二项式定理的把握与应用：以二项绽开式（或多项绽开式）中某一项（或某一项的系数）的问题为主打试题；2、对二项绽开式的性质的把握与应用：二项绽开式中二项式系数的和与各项系数的和；组合多项式的求和等问题；三、学问要点1、定义,这一公式表示的定理叫做二项式定理,其中（1）公式右边的多项式叫做 的二项绽开式；上述二项绽开式中各项的系数 叫做二项式系数,第 r+1 项叫做二项绽开式的通项,用 表示；（ 2）叫做二项绽开式的通项公式；2.认知（ 1）二项绽开式的特点与功能（）二项绽开式的特

2、点名师归纳总结 项数：二项绽开式共n+1（二项式的指数+1）项；第 1 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 指数：二项绽开式各项的第一字母 a 依次降幂（其幂指数等于相应二项式系数的下标与上标的差）,其次字母 b依次升幂（其幂指数等于二项式系数的上标）,并且每一项中两个字母的系数之和均等于二项式的指数 n；系数：各项的二项式系数下标等于二项式指数；上标等于该项的项数减去 1（或等于其次字母 b 的幂指数；（）二项绽开式的功能留意到二项绽开式的各项均含有不同的组合数,如给予a, b 不同的取值,就二项式绽开式演化成一个组合恒等式；因此,揭示

3、二项式定理的恒等式为组合恒等式的“母函数 ” ,它是解决组合多项式问题的原始依据；又留意到在 的二项绽开式中,如将各项中组合数以外的因子视为这一组合数的系数,就易见绽开式中各组合数的系数依次成等比数列；因此,解决组合数的系数依次成等比数列的求值或证明问题,二项式公式也是不行或缺的理论依据；（ 2）二项式系数的性质（）对称性：在二项绽开式中,与首末两项“等距离 ” 的两项的二项式系数相等；（）单调性：二项式系数（数列）在前半部分逐步增大,在后半部分逐步减小,在中间（项）取得最大值；其中,当 n 为偶数时,二项绽开式中间一项的二项式系数最大；当 n 为奇数时,二项绽开式中间两项的二项式系数,相等,

4、且最大；（）组合总数公式：即二项绽开式中各项的二项式系数之和等于（） “ 一分为二” 的考察：二项绽开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和,即四、典型例题例 1、 已知二项式 绽开式中,末三项的系数依次成等差数列,求此绽开式中全部的有理项；解：二项绽开式的通项公式为由此得二项绽开式中末三项的系数分别为,依题意得名师归纳总结 留意到这里,故得 n=8 第 2 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 设第 r+1 项为有理项,就有x 的幂指数为整数, r=0 ,4,8, 这里 T1,T5,T9 为有理项,又由通项公式得：, 所

5、求二项绽开式中的有理项分别为,点评： 二项绽开式中关于某些项或某些项的系数问题,一般都要运用通项公式；如（ 为相对常数, x 为变量）,就当gn,r 为自然数时为整式项；当gn,r 为整数时为有理项；512,试求：例 2、 已知的绽开式中奇数项的二项式系数之和等于（ 1）二项式系数最大的项；（ 2）系数的肯定值最大的项；（ 3）系数最大的项；解：由题意得 n=10 二项绽开式的通项公式为（ 1） n=10,二项绽开式共 11 项二项绽开式的中间一项即第六项的二项式系数最大又所求二项式系数最大的项为名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 16 页精选学习资料 - - - - -

6、- - - - （ 2）设第 r+1 项系数的肯定值 最大,就有解之得,留意到,故得 r=3 第 4 项系数的肯定值最大 所求系数肯定值最大的项为（ 3）由通项公式的特点可知,系数最大的项应在项数为奇数的项内,即在 r 取偶数的各项内 又 r 取偶数 0,2,4,6,8,10 时,相应的各项系数分别为即分别为,1,由此可知,系数最大的项为第 5 项r=4 ,即点评：（ 1）解决二项式问题要留意区分两种系数：一种是某一项的系数,按通常的多项式系数去懂得、认定；一种是某项 的二项式系数,仅指这一项中所含的那个组合数；二者在特殊情形下方为同一数值；（ 2）这里绽开式中系数肯定值最大的项,实际上是绽开

7、式中系数最大的项,必要时可适时转化；（ 3）此题解法 “一题两制 ” ：对于（ 2）,我们运用一般方法进行推导；对于（法导出目标；当指数n 数值较小时,（3）的解法颇为有用；3）,我们运用认知、列举、比较的方名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 3、 已知 a0,b0,2m+n=0 ,且在的绽开式中系数最大的项是常数项,求的取值范畴；解：设二项绽开式中 为常数项, 依题意令代入得就将已知式留意到这里,由得 r=4 绽开式中系数最大的项是于是有因此可知,所求 的取值范畴为例 4、 求证：（ 1）能被整除；（ 2）证明

8、：（ 1）为利用二项式定理,对中的底数n 变形为两数之和（或差）；,且, 于是有（ ）名师归纳总结 留意到,且,故整除；,第 5 页,共 16 页因此由（ ）式知能被- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （ 2）证法一（倒序相加法）：设 留意到二项式系数的性质：将式右边各项倒序排列： +得=即证法二（分项求和法）：留意到左边各项的相同结构,且各项的通项：据此变形左边各项得右边= 右边原等式成立点评： 证明组合恒等式,除去利用二项公式这一组合的母函数外,上述两种方法（特殊是证法二）是基本证明方法；例 5、 设,求绽开式中各二项式系数的和；绽开式中各项系数的和

9、； 的值 的值名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 的值解：令留意到这里 n=200 ,故绽开式中各二项式系数的和绽开式中各项系数的和 留意到仿得又解法一（直面原式）：又再由二项式的绽开式知,点评： 对于二项绽开式中各奇数项系数的和或各偶数项系数的和或其它有关多项式中系数的和,一般可依据问题的详细情形,对未知数x 给予适当的数值,运用特取法求出和式的值；第 7 页,共 16 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 6、 化简以下各式（ 1）；（ 2）分析：留意到二

10、项绽开式中各项的特点：,其中b 的方幂与组合数上标相同；为利用二项式公式求解,依次对原式实施凑因子和凑项,即使各项中有关因子的方幂等于组合数上标,又使以原式为基础凑出的式子符合二项展开式的特点；解：（ 1）令 x=,就,即故得（ 2）令 x=,就由得故得即点评： 对于组合数系数成等比数列的组合式求和,一般是在适当作以凑因子或凑项的构造之后,运用二项式公式本身化简或求值；例 7、 试求以下二项绽开式中指定项的系数：名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - （ 1）的绽开式中项的系数；（ 2）的绽开式中项的系数；（ 3）的绽开

11、式中项的系数；（ 4）的绽开式中x 项的系数；（ 5）的绽开式中项的系数；解：（ 1）借助 “ 配方转化 ”：原式原绽开式中 项的系数,即 绽开式中 项的系数又 绽开式的通项公式为令 得 r=3 绽开式中 所求原绽开式中 项的系数为 -960；（ 2）留意到 的幂指数 3 较小,借助 “局部绽开 ”：原式 绽开式中 的系数为=-590 （ 3）解法一（求和转化）：原式名师归纳总结 所求原绽开式中项的系数即为绽开式中项的系数,第 9 页,共 16 页 所求绽开式中项的系数为- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解法二（集零为整）：考察左式各部,绽开式中 项的

12、系数为（ 4）解法一（两次利用二项式定理）：设绽开式中第r+1 项为含有x 的项,又 要使 x 的幂指数为1,必需且只需r=1 即而绽开式中的常数项为,故得原绽开式中x 的系数为解法二（利用求解组合应用题的思路）：留意到 欲求绽开式中x 的一次项, 只要从上式右边5 个因式中有1 个因式取3x,其余四个因式都取常数2 即可； 原绽开式中 x 的一次项为 所求原绽开式中 x 的系数为 240；（ 5）解法一（两次利用二项绽开式的通项公式）：留意到名师归纳总结 其绽开式的通项的绽开式的通项第 10 页,共 16 页又依题意,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - -

13、 由此解得, 由、得所求绽开式中 项的系数为解法二（利用因式分解转化）： 所求即为绽开式中的系数,于是利用 “局部绽开 ”可得其绽开式中 的系数为=-168 小结： 多项绽开式中某一项系数的主要求法（ 1）等价转化：配方转化；求和转化；分解转化；化整为零；（ 2）局部绽开；（ 3）两次利用二项式定理或两次利用二项绽开式的通项公式；（ 4）借助求解组合应用题的思想例 8、 已知数列的通项是二项式与的绽开式中全部x 的次数相同的各项的系数之和,求数列的通项公式及前n 项和公式；解：将与的绽开式按升幂形式写出由可知,只有的绽开式中显现的偶数次幂时,才能与的绽开式中x 的次数相同； 由、得名师归纳总结

14、 - - - - - - -第 11 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 所求数列的通项公式为；其前 n 项和公式为五、高考真题（一）挑选题1.（2005 全国卷III ）在的绽开式中的系数是（）A. 14B. 14C. 28D. 28 分 析 ： 对 于 多 项 展 开 式 中 某 一 项 的 总 数 的 寻 求 , “ 化 整 为 零 ” 为 基 本 方 法 之 一 , 原绽开式中的系数为,又的绽开式中的系数为,的系数为,应选 B；2.（2005 江苏卷） 设 k=1, 2,3,4,5,就的绽开式中的系数不行能是（）A. 10B. 40C. 50D. 80 分

15、析：立足于二项绽开式的通项公式： 当 k=1 时, r=4,的系数为；的系数为当 k=2 时, r=3 ,的系数为；当 k=3 时, r=2 ,的系数为；当 k=4 时, r=1 , 综上可知应选C；点评：关于二项绽开式中某一项的问题,一般要利用二项绽开式的通项公式；3.（2005 浙江卷） 在的绽开式中,的项的系数为（）名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - A. 74B. 121C. 74D. 121 分析：考虑求和转化,原式又的绽开式中系数为,应选 D；项的系数之比为-5,就 n 等于（）的绽开式中系数为 原绽开

16、式中项的系数为4.（2005 重庆） 如绽开式中含项的系数与含A. 4B. 6C. 8D. 10 分析：设第r+1 项是含的项,又 这一项的系数为的项,就,且再设第 s+1 项是含 这一项的系数为,且 由、得,故又由、得化简得的系数是（）于是由、解得n=6 ,r=4 ,应选 B；128,就绽开式中5.（2005 山东卷） 假如的绽开式中各项系数之和为名师归纳总结 A. 7B. 7C. 21D. 21 第 13 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 分析：设,就 由已知得,解得 n=7 令 得 r=6. ,故所求系数为,应选 C；的值是（）6

17、.（2004 福建卷） 如的绽开式的第3 项为 288,就A. 2B. 1C. D. 分析：由题设,应选 A ；（二）填空题1.（2005 福建卷）绽开式中的常数项是（用数字作答）分析：当 得 r=2. 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - ,即所求常数项为240；系数为 -80,就 a=；2.（2004 重庆卷） 如在绽开式中解： 当 r=3 时有 由题设得 a=-2,即应填 -2；3.（2005 湖北卷）的绽开式中整理后的常数项为；解法一（运用两个计数原理）,绽开后的常数项分为三类：（ 1）5 个式子均取,就有；,就有；,一个取,三个取（ 2）5 个式子中一个取,两个取,一个取,就有（ 3）5 个式子中两个取 它们的和为,即为所求常数项；解法二（变形,转化为二项式问题）,当 x0 时,当 5-r=0 ,即 r=5. 就所求常数项为4.（2004 天津卷） 如,名师归纳总结 就=；（用数字作答）第 15 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：设就, 原式,应填 2004；名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 16 页