2022年单调性与最大值教学设计.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载附件： 教学设计方案模板教学设计方案课题名称：单调性与最大（小）值姓名：高一数学工作单位：人教 A 版学科年级：教材版本：一、教学内容分析在争论函数的性质时,单调性和最值是一个重要内容. 实际上,在中学学习函数时,已经重点争论了一些函数的增减性,只是当时的争论较为粗略,未明确给出有关函数增 减性的定义,对于函数增减性的判定也主要依据观看图像得出,而本小节内容,正是初 中有关内容的深化和提高；给出函数在某个区间上是增函数或减函数的定义,明确指出 函数的增减性是相对于某个区间来说的,仍说明判定函数的增减性既有从图像上进行观 察的较

2、为粗略的方法,又有依据定义进行证明的较为严格的方法、最好依据图像观看得出猜想,用推理证明猜想的正确性, 这样就将以上两种方法统一起来了. 由于函数图像是发觉函数性质的直观载体,因此,在本节教学时可以充分使用信息 技术创设教学情境,以利于同学作函数图像,有更多的时间用于摸索、探究函数的单调 性、最值等性质 . 仍要特殊重视让同学经受这些概念的形成过程,以便加深对单调性和最 值的懂得 . 二、教学目标 1. 函数单调性的争论经受了从直观到抽象,以图识数的过程,在这个过程中,让学 生通过自主探究活动,体验数学概念的形成过程的真谛,学会运用函数图像懂得和争论 函数的性质 . 2. 懂得并把握函数的单调

3、性及其几何意义,把握用定义证明函数单调性的步骤,会 求函数的单调区间,提高应用学问解决问题的才能 . 3. 通过实例,使同学体会、懂得到函数的最大（小）值及其几何意义,能够借助函 数图像的直观性得出函数的最值,培育以形识数的解题意识 . 4. 能够用函数的性质解决日常生活中的简洁的实际问题,使同学感受到学习函数单 调性的必要性与重要性,增强同学学习函数的紧迫感,激发同学学习的积极性 . 三、学习者特点分析 1. 教学有利因素名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载同学在中学阶段,通过学习一次函数、二次函

4、数和反比例函数,已经对函数的单调 性有了“ 形” 的直观熟悉,明白用“ 随的增大而增大（减小）” 描述函数图象的上升（下 降）的趋势亳州一中试验班的同学基础较好,数学思维活跃,具备肯定的观看、辨析、抽象概括和归纳类比等学习才能2教学不利因素 本节课的最大障碍是如何用数学符号刻画一种运动变化的现象,从直观到抽象、从 有限到无限是个很大的跨度而高一同学的思维正处在从体会型向理论型跨过的阶段,规律思维水平不高,抽象概括才能不强另外,他们的代数推理论证才能特别薄弱这 些都简洁产生思维障碍四、教学过程（一）研探新知：（1）增函数、减函数、单调性、单调区间等概念：依据fx3x2、fx x2 x当0 的图象

5、进行争论：f2x的大小关系怎样？x 1x 2时,f1x与随 x 的增大,函数值怎样变化？. 一次函数、二次函数和反比例函数,在什么区间函数有怎样的增大或减小的性 质？定义增函数： 设函数yf x 的定义域为 I ,假如对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量x 1, x 2,当x 1x 2时,都有fx 1fx2,那么就说fx在区间 D 上是增函数（ increasing function）探讨：仿照增函数的定义说出减函数的定义；区间局部性、取值任意性定义：假如函数f x 在某个区间 D 上是增函数或减函数, 就说fx在这一区间上具有（严格的）单调性,区间D 叫fx的单调区间；争论：

6、图像如何表示单调增、单调减？全部函数是不是都具有单调性？单调性与单调区间有什么关系？fx x2 x0 的单调区间怎样？4,4上的fx,依据图像说出单调区间及单调性；练习（口答）：如图,定义在2 增函数、减函数的证明：名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载出示例 1：指出函数 f x 3 x 2、f x 1 的单调区间及单调性,并给出证明；x（由图像指出单调性示例 f x 3 x 2 的证明格式练习完成；）出示例 2：物理学中的玻意耳定律 p k（ k 为正常数）,告知我们对于肯定量的V气体,当其体积

7、V 增大时,压强 p 如何变化？试用单调性定义证明 . （同学口答演练证明）小结：比较函数值的大小问题,运用比较法而变成判别代数式的符号；判定单调性的步骤：设x 1, x 2给定区间,且x 1x2； 运算fx 1fx2至最简判定差的符号下结论；3 函数最大（小）值： 指出以下函数图象的最高点或最低点,能表达函数值有什么特点？f 2x3,f 2x3x1,2；f x x22x1,f x x22x1x 2,2fx的定义域为 I ,假如存在实数 M 满意：对于任意的xI, 定义最大值：设函数y都有fxM；存在x0I,使得fx0M. 那么,称M 是函数yfx的最大值（Maximum Value） 探讨：

8、仿照最大值定义,给出最小值（Minimum Value）的定义 一些什么方法可以求最大（小）值？（配方法、图象法、单调法） 试举例说明方法 . 设计意图：通过以上问题的探讨,使同学逐步体会证明的一般方法；（二）类型题探究题型一 求函数的单调区间例 1 求函数yxx22|x| 3的单调区间 . x 0 y2 x2 x3由定义法结论【思维导图】去肯定yx22| 3x0yx22x3或图象法值符号【解答关键】去掉肯定值号,化为分段函数,并画出函数的图象,借助图象可以直观地判定出函数的单调区间 . 名师归纳总结 y2 x2 |x| 3x22x3,x0,第 3 页,共 13 页2,x0x2x3- - -

9、- - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 其图象如右图所示：学习必备1欢迎下载xyO1由函数的图象可知,函数yx22|x| 3的单调增区间是 . , 1, 0,1 ；单调减区间是 1,0 , 1,【技巧感悟】 此题中所给出的函数式中含有肯定值,可以采纳零点分段法去肯定值,将函数转化为分段函数,再画出函数的图象,通过函数的图象观看函数的单调性 . 【误区警示】该函数的单调递增区间是由两个区间组成,留意不能写成以下形式：, 10,1 , , 1 或0,1【思想方法】数形结合始终是争论函数性质及其应用的重要思想,可以利用函数图象确定函数的单调区间,具体做法是：先化简函数式,然后

10、画出图象,最终依据函数的定义域与图象的位置、 状态确定函数的单调区间 义法以及利用已知函数的单调性进行判定 . . 另外,争论函数的单调性的方法仍有定g x 【活学活用】 1. （1） 广东执信中学09-10 高一上学期期末 函数f x |x 和x2x 的递增区间依次是（）A,0 , ,1 B ,0 , 1,C0, , ,1 D1, ,1,2 写出函数y|x22 x3|的单调区间 . 1（ 1）C 解析如图y f x x O名师归纳总结 2 解析：先作出函数y2 x2x3的图象,由于第 4 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢

11、迎下载肯定值的作用,把 x 轴下方的图象沿 x 轴对折到 x 轴的上方,所得函数的图像如右图所示：yyg x 上单调递增 . 得出结论xO121O3x由函数的图象可知,函数在, 1、 1,3 上是减函数,在 1,1、3, 上是增函数题型二判定并证明函数的单调性例 2 证明：函数f x x4x0在区间0, 2上单调递减,在2,x 【思维导图】0x 1x 22代入作差f x 1f x 2化简任取f 判定【解答关键】用定义法证明函数的单调性,主要是四个步骤,证明的关键是进行变形,尽量变成几个最简洁因式的乘积的形式 . 证明：任取 x x 2 0,2 且 x 1 x ,于是,4 4 4 4 x 1 x

12、 2 x x 2 4f x 1 f x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x x 2 . 由于 x x 2 0,2 且 x 1 x ,所以 x 1 x 2 0,0 x x 2 4, x 1 x 2 x x 2 40就 x x 2 4 0,x x 2 0,故 x x 2,即 f x 1 f x 2 0,故 f x 1 f x 2 ,由减函数定义,得 f x 在区间 0, 2 单调递减 . 同理可证：f x 在区间 2, 上单调递增 . a【学问归纳】 函数 f x xx a 0在区间0, a 上是减函数, 在 a , 上是增函数 .这一结论在求此类函数的值域或最

13、值时特别便利,但解答题需要先证明结论后才能用 . 【技巧感悟】在“ 作差变形” 的过程中,为了确定符号,一般是分解出含有 x 1 x 的因式,再将剩下的因式通过因式分解、通分、配方、有理化等方法,化为几个因式的积、名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载商,或化为几个非负实数的和的形式,然后判定符号 . 【误区警示】用定义证明函数的单调性时要留意具体写出解题步骤,假如省略必要的步骤,将会导致错误 . 另外,有的同学没有化简完全,就开头判定符号,这也是简洁出错的. “ 题要一步一步地解” ,在数学证明题中

14、显得尤为重要 . 【活学活用】 2. （2022 湖北黄冈中学高一测试）以下函数中,在 , 上为减函数的是（）A. y 1 x 2B. y x 22 x C. y 1x D. yx x12D 解析：留意到函数 y 1 x 2是一个以0 1, 为顶点的开口向下的抛物线,y x 2 2 x2 x 1 1 是一个以 1,1 为顶点,开口向上的抛物线,它们在 , 上都不是单调减1函数,而 yx 的图象是显现在其次和第四象限的两支曲线,在 , 上单调递增,所以正确选项是 D题型三单调性的应用2 a1 x2在区间,4 上是减函数,求实数a 的取值范畴 . 例 3 已知函数f x 2 x【思维导图】函数解析

15、式配方图象的对称轴判定对称轴与所给区间的关系【解答关键】先将函数解析式配方,然后找出图象的对称轴,再考虑对称轴与所给区间的位置关系,利用数形结合求解 . 2 2 2【规范解答】f x x 2 a 1 x 2 x a 1 a 1 2,故此二次函数的对称轴为 x 1 a ,所以函数的单调递减区间为 ,1 a ,又由于 f x 在 ,4 上是减函数,所以对称轴 x 1 a 必需在直线 x 4 的右侧或与其重合 . 故1 a 4,解得 a 3 . 【技巧感悟】函数 f x 在 , a b 是为单调递增 递减 函数与函数 f x 的单调递增 递减 区间为 , a b 有着本质差异 . 可懂得如下：1 函

16、数 f x 在 , a b 是为单调递增 递减 函数,说明除此区间之外,f x 在其它区间上也可能单调递增 递减 函数 . 2 函数f x 的单调递增 递减 区间为 , a b ,说明函数f x 除此区间外,在其它区间上不再有单调递增 递减 区间 . 名师归纳总结 【活学活用】 3.1 如函数f x 2 4 xmx5m在 2,上是增函数,在, 2 上是减函数,就实数m的值为；第 6 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （ 2 ） 如 函 数f x 4 x2mx学习必备欢迎下载 上 是 增 函 数 , 就 实 数 m 的 取 值 范 围5m

17、 在 2,为 . 3. 解析：（ 1）由二次函数的图象可知,该二次函数的对称轴是x2,即m2,即8m16 上是增函数,就需（2）由题意可知,二次函数的对称轴是xm,如f x 在 2,8满意m2,即m168 三）小结：注：老师依据本班同学情形及其课堂教学敏捷支配；目标检测一、挑选题1如函数ykxb 是 R 上的减函数,那么 x 1x ,应有f x 1f x 2,Ak0 Bk0 Ck0 D无法确定1 B 解析：由于函数ykxb 是 R 上的减函数,所以对任意即k x 1x 20,又x 1x 20,所以k02以下函数中,在区间0, 2 上为增函数的是 名师归纳总结 - - - - - - -Ay3x

18、 Byx21 Cy1y|x|x D2D 解析：画出图象可得,在区间0, 2 上,y3x ,y2 x1,y1x 都是递减函数3. 河南宝丰一高 2022-2022 月考 定义在R上的函数f x 对任意两个不相等实数a b ,总有f a f b 0成立,就必有（）abA函数f x 是先增加后削减 B函数f x 是先削减后增加Cf x 在 R 上是增函数 Df x 在 R 上是减函数3 C 解 析 ： 由 于f a f b 0, 所 以ab0,f a f b 0得 当ab 时 ,ab第 7 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载2,3f a f b ；同理

19、当 ab时,f a f b . 故f x 在 R 上是增函数4 河南新乡2022-2022 学年高一上学期期末 已知二次函数f x x22 ax1在区间2,3 上单调函数,就实数a 的取值范畴为（）Aa2 或a3B2a3Ca3 或a2D3a24 A 解析：f x 的对称轴 xa,如在区间2,3 上是增函数,就a2；如在区间上是减函数,就a35. 已知函数f x 4x2mx5在区间 2, 上是增函数,就f1的取值范畴是 Af125 Bf125 Cf125 Df1255A 解析：数形结合与f x 的对称轴m2,就m16,得m16,8f14m59m25yy10xyx2y2 xxO二、填空题6. 定

20、义 在1,4上 的 函 数f x 为 减 函 数 , 求 满 足 不 等 式f1 2 f4a 0的a的 集合 . 6.a| 1a0解析：通过函数单调性的可逆转化为自变量的关系112a414a4 ,12a4a即名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3a0学习必备欢迎下载23a0 ,1a0.1a三、解答题7已知函数 y f x 的定义域为 R ,且对任意的正数 d ,都有 f x d f x ,求满意f 1 a f 2 a 1 的a的取值范畴7解析：d 0 时,f x d f x ,函数 y f x 是减函数,2由 f 1

21、 a f 2 a 1 得：1 a 2 a 1,解得 a3,2 , a的取值范畴是 3 2 1f x x8判定函数 x x 0, 的单调性,并用单调性的定义证明你的结论2 1f x8证明：函数 x x 0, 是增函数 . 证明如下：设 0 x 1 x ,就f x 1 f x 2 x 1 2x 2 2 1 1 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 1x 2 x 1 x x 2 x x 2,1x 1 x 2 0由于 0 x 1 x ,所以 x 1 x 2 0,x x 2, 就 f x 1 f x 2 0,2 1即 f x 1 f x 2 ,故函数 f x x

22、x x 0, 是增函数高考才能演练名师归纳总结 - - - - - - -9（ 2022 福建理）以下函数f x 中,满意“ 对任意1x,2x（0,）,当1x f x 2的是 Af x =1f x =x2 1 Cf x 4x1 Df x 1x Bx9 A 解析：依题意可得函数应在x0,上单调递减,故由选项可得A 正确 . 第 9 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载高考才能演练2 210. 作出函数 f （x）= x 2 x 1 + x 2 x 1 的图象,并指出函数 f （x）的单调区间 . 10. 由于所给的函数是两个被开方数和的形式,而被开

23、方数恰能写成完全平方的形式,因此可先去掉根号,转化成分段函数的形式,再作图写出单调区间 . 原函数可化为2x,x 1,f （x）=x22x1+x22x1=|x+1|+|x1|= 2, 1x1,2x,x1. 作出函数的图象：所以函数的递减区间是（,1,函数的递增区间是1,+） . 名师归纳总结 11. 已知点 pt,y在函数fxxx1x1 的图象上,且有t2c2at4 c20 c0 .（1）求证：| ac|4；1.第 10 页,共 13 页（2）求证：在（ 1,+）上fx单调递增；（3）求证：f|a|f|c|1.11. （1）tR ,t,1c2a 216 c2c4a216 c20,c0 ,c2a

24、216 ,|ac|.4（2）由fx 1x11,设1x 1x 2,就fx2fx 11x2111x 111x 2x 1x 21 x 11x 1x2,x 1x2,0x 110 ,x 21,0fx 2fx 1,0即fx2fx 1x0时,fx单调递增 . （3）fx在x1时单调递增,|c|4|0,a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ff|c|.f|4|4|=学习必备|欢迎下载|a44=1. 即f|a|+f|c|1.4a4a|a|+4|+1|a|a|+f| |=a|1+|a44|a|4+a|+|+a|+|+五、教学策略挑选与信息技术融合的设计老师活动预设同学活动设

25、计意图问题1：依据fx3x2、同学简洁回答前面一个问提出问题,引发fxx2 x0 的 图 象进 行讨论： 随 x 的增大,函数值怎样变题,但在回答后面一个问题时同学的熟悉冲突, 说化 ？当x 1x 2时 ,f1x与会发觉问题,从而引起认知冲明函数单调性的必fx2的大小关系怎样？突；要性问题 2：一次函数、 二次函数和反回答疑题回忆已有学问比例函数,在什么区间函数有怎样的增大或减小的性质？问题3： 定义增函数：设函数回答疑题老师归纳,帮忙yfx的定义域为 I ,假如对于定义域 I 内的某个区间D 内的任同学在懂得的基础意两个自变量x 1, x 2,当x 1x2时,上把握概念都 有fx 1fx 2

26、, 那 么 就 说fx在 区 间 D 上 是 增 函 数（increasing function）问题 4：探讨：仿照增函数的定义提出问题,引发说出减函数的定义；区间局部回答,争论沟通,补充同学的熟悉冲突, 说性、取值任意性明函数单调性的必要性名师归纳总结 问题 5：争论：图像如何表示单调回答,争论沟通,补充提出问题,引发第 11 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 增、单调减？学习必备欢迎下载同学的熟悉冲突, 说全部函数是不是都具有单调明函数单调性的必性？单调性与单调区间有什么关 要性系？yx 2 的单调区间怎样？问题 6：增函数、减函

27、数的证明：出示例1：指出函数fx1 3x2、fx x 的单调区间及单调性,并给出证明；出示例 2：物理学中的玻意耳定律pk由图像指出单调性示例小结：比较函数fx 3x2 的证明格式值的大小问题, 运用V （k 为正常数）,告诉我们对于肯定量的气体,当其练习完成；比较法而变成判别体积 V增大时,压强 p 如何变化？同学口答演练证明代数式的符号；试用单调性定义证明 . 判定单调性的步骤：设x1、x2给定区间,且 x1x2； 计算 fx1 fx2 至最简判定差的符号下结论；问题 7：函数最大（小）值： 指出以下函数图象的最高点通过以上问题的探名师归纳总结 或最低点,能表达函数值有什讨,使同学逐步体会

28、么特点？,f 2x3做题的一般方法；f 2x3第 12 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - x1,2；f x 2 x2x1学习必备欢迎下载,f x x22x1x 2,2f x 的定义最大值：设函数y定义域为 I ,假如存在实数 M 满足：对于任意的 x I,都有f x M；存在 x0 I,使得f x 0 M . 那么,称 M 是函数y f x 的最大值（ Maximum Value ） 探讨：仿照最大值定义,给出最小值（Minimum Value ）的定义 一些什么方法可以求最大（小）值？（配方法、图象法、单调法） 试举例说明方法 . 六、教学评判设计本课题以“ 提问题” 的形式,使得同学给予想象力,增强同学学习的爱好,供应学习新知的源动力；在这个学习过程中,同学布满疑问和奇怪进入了本课题的探究；可见,恰当的“ 导入” 为制造性学习迈出了第一步,也是同学思维品质提升的源泉,加强对学生创新思维品质的培育,从而促进同学创新才能的形成与进展；新知不是凭空而降,新知来源于旧知,只有把已有的学问充分把握的情形下,才有可能发觉新的学问和内容,这也是制造的源泉；七、教学课件名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 13 页