2022年双曲线与方程知识点总结例题习题精讲.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 课程星级：知能梳理一、双曲线的定义1 、 第 一 定 义 ： 到 两 个 定 点 F 1与 F2 的 距 离 之 差 的 绝 对 值 等 于 定 长 （ |F1F2|） 的 点 的 轨 迹（PF 1 PF 2 2 a F 1 F 2（ a 为常数）；这两个定点叫双曲线的焦点；要留意两点：（1）距离之差的肯定值；（2）2a|F 1F 2|；当|MF 1|MF 2|=2a 时,曲线仅表示焦点 F2所对应的一支；当|MF 1|MF 2|=2a 时,曲线仅表示焦点 F 1所对应的一支；当 2a=|F 1F 2|时,轨迹是始终线上以F1、F2为端点向外的

2、两条射线；当 2a |F 1F 2|时,动点轨迹不存在；2、其次定义： 动点到肯定点 F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数 ee1时,这个动点的轨迹是双曲线；这定点叫做双曲线的焦点,定直线l 叫做双曲线的准线；二、双曲线的标准方程（b2c2a2,其中 |F1F |=2c）名师归纳总结 焦点在 x 轴上：x2y21（a0,b 0）第 1 页,共 16 页a2b2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 焦点在 y 轴上：y2x21（a0,b 0）22ab（1）假如2 x 项的系数是正数, 就焦点在 x 轴上；假如2 y 项的系数是正数, 就焦点在 y

3、轴上； a 不肯定大于 b；ax2kby2k1（2）与双曲线x2y21共焦点的双曲线系方程是a2b222（3）双曲线方程也可设为：x2y21mn0mn需要更多的高考数学复习资料请在淘 .宝 .上.搜.索.宝.贝.：高考数学复习资料学问点与方法技巧总结例题精讲 具体解答 或者搜 .店 .铺.：龙奇迹学习资料网三、点与双曲线的位置关系,直线与双曲线的位置关系1、点与双曲线点P x 0,y0在双曲线x2y21 a0,b0的内部-x2y2100a2b2a2b2点P x 0,y0在双曲线x2y21 a0,b0的外部x2y210022a2b2ab点P x 0,y0在双曲线x2y21 a0,b0上2 x 0

4、y2=10a2b2a2b22、直线与双曲线代数法：名师归纳总结 设直线l:ykxm ,双曲线x2y21a0 ,b0 联立解得第 2 页,共 16 页a2b2b2a2k2x22a2mkxa2m2a2b20（1）m0时,bkb,直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；aakb,kb a,或 k 不存在时,直线与双曲线没有交点；a（2）m0时,b2a2k20,kb,直线与双曲线渐近线平行,直线与双曲线相交于一点；k 存在时,如a如b22 a k20, 22 a mk24b22 a k22 2a m2 a b242 a b2m2b22 a k20时,m22 b2 a k20,直线与双曲线相交于两

5、点；0 时,m22 b2 a k20,直线与双曲线相离,没有交点；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 0时2 mb22 a k20,k22 ma2b2直线与双曲线有一个交点；k 不存在,ama 时,直线与双曲线没有交点；ma 或ma 直线与双曲线相交于两点；3、过定点的直线与双曲线的位置关系：2 2设直线 l : y kx m 过定点 P x 0 , y 0 ,双曲线 x2 y2 1 a 0 , b 0 a b（1）当点 P x 0 , y 0 在双曲线内部时：b bk,直线与双曲线两支各有一个交点；a ak b,直线与双曲线渐近线平行,直线与双曲线相交

6、于一点；ak b或 k b 或 k 不存在时直线与双曲线的一支有两个交点；a a（2）当点 P x 0 , y 0 在双曲线上时：2k b或 k b x2 0,直线与双曲线只交于点 P x 0 , y 0 ；a a y 0b bk 直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；a a2 2k b x2 0（y 0 0）或 bk b x2 0（y 0 0）或 k b或 k 不存在,直线与双曲线在一支上有a y 0 a a y 0 a两个交点；名师归纳总结 当y00时,kb或 k 不存在,直线与双曲线只交于点P x0,y 0；第 3 页,共 16 页akb或kb时直线与双曲线的一支有两个交点；（3

7、）当点aabkb直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）aaP x0,y0在双曲线外部时：当P0,0时,bkb,直线与双曲线两支各有一个交点；当点aakb或kb或 k 不存在,直线与双曲线没有交点；aam0时,k2 mb2时,过点P x 0,y 0的直线与双曲线相切2 a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - kb时,直线与双曲线只交于一点；a需要更多的高考数学复习资料请在淘 .宝 .上.搜.索.宝.贝.：高考数学复习资料学问点与方法技巧总结例题精讲 具体解答 或者搜 .店 .铺.：龙奇迹学习资料网四、双曲线与渐近线的关系1、如双曲线方程为x22y21

8、a0,b0渐近线方程：x2y2x200yb axa22 ba22 ba bx2、如双曲线方程为y2x21（a0,b0）渐近线方程：y2y22a2ba2b3、如渐近线方程为y2, 0 ；0,焦点在 x 轴上,bxxy0双曲线可设为x2y2y2aabab24、如双曲线与x2yx2（1有公共渐近线,就双曲线的方程可设为a2b2a2b20 ,焦点在 y 轴上）五、双曲线与切线方程1、双曲线2 x2y221 a0,bb0上一点P x 0,y0处的切线方程是x xy y1；y y1；a2b2a2b22、过双曲线x ayy1 a0,0,00外一点P x 0,y0所引两条切线的切点弦方程是x x22b2 ab

9、23、双曲线2 x21 ab与直线AxByC0相切的条件是2 A a22 B b22 c ；a2b2需要更多的高考数学复习资料请在淘 .宝 .上.搜.索.宝.贝.：高考数学复习资料学问点与方法技巧总结例题精讲 具体解答 或者搜 .店 .铺.：龙奇迹学习资料网六、双曲线的性质名师归纳总结 双曲线标准方程（焦点在x 轴）标准方程（焦点在y 轴）第 4 页,共 16 页x2y21 ay2x21 a0 ,b0 0 ,b0a2b2a2b2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 第肯定义：平面内与两个定点F ,F 的距离的差的肯定值是常数（小于F F 2）的点的轨迹叫双

10、曲线；这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫焦距；定义MMF 1MF22a2aF 1 F2yyxxe1时,Py yxF2xF 1F2其次定义：平面内与一个定点Pe ,当F 1F 和一条定直线 l 的距离的比是常数动点的轨迹是双曲线；定点F 叫做双曲线的焦点,定直线叫做双曲线的准线,常数范畴e （e1）叫做双曲线的离心率；PyyxxPyPF2x xF 1F2PF 1xa , yRya , xR对称轴x 轴 , y 轴；实轴长为 2a,虚轴长为 2b对称中心原点O 0,0F 10,cF 20, F 1c ,0F 2 ,0焦点坐标名师归纳总结 顶点坐标焦点在实轴上,ca2b2；焦距：F F 22

11、 c第 5 页,共 16 页（a ,0） a ,0 0, a , 0, a 离心率ece1,c2a22 b , e 越大就双曲线开口的开阔度越大axa2ya2准线方程cc准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离：2 a2顶点到准线的距离c顶点1A （A ）到准线1l （2l）的距离为aa2c顶点1A （A ）到准线2l （1l ）的距离为a2a焦点到准线的距离c焦点F （F ）到准线1l （2l）的距离为ca2b2cc- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 焦点F （F ）到准线2l（1l ）的距离为a2cc渐近线方程ybx2虚 实xby虚 实0）aa

12、共渐近线的双曲线系x2y2k（k0）y2x2k（k方程a2b2a2b2y2双曲线x a1与直线 ykxb 的位置关系：2b2x2y21直线和双曲线的位置利用a2b2转化为一元二次方程用判别式确定；ykxb二次方程二次项系数为零直线与渐近线平行；相交弦 AB 的弦长AB1k2 x 1x 224 x x21k2|a|,通径：ABy2y 1y yx x1或利用导数过双曲线上一点的切x0xy 0y1或利用导数a22 b线a2b2七、弦长公式x 1,x 分别为 A、B 的横坐标,1、如直线 ykxb 与圆锥曲线相交于两点A 、B,且就ABx 1x 22y 1y 22,ABk21x 1x 2k21x 1x

13、 224x x 2如y 1,y 分别为 A、B 的纵坐标,就AB11y 1y 211y 1y224y y2；k2k2A、B 两点,就弦长|AB|2b22、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于a3、如弦 AB 所在直线方程设为xkyb ,就 AB 1k2y 1y 2；4、特殊地,焦点弦的弦长的运算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用其次定义求解 八、焦半径公式名师归纳总结 双曲线x2y 0y21（a0, b0）上有一动点M x 0,y0a第 6 页,共 16 页a2b2当M x0,在左支上时|MF1|ex 0a ,|MF2|ex 0当M x0,y 0在右支上时|MF1|ex 0a

14、 ,|MF2|ex 0a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 注：焦半径公式是关于0x 的一次函数,具有单调性,当M x 0,y0在左支端点时|MF 1|ca ,|MF2|ca ,当M x0,y 0在左支端点时|MF1|ca ,|MF2|ca九、等轴双曲线x2y21（a0,b0）当 ab时称双曲线为等轴双曲线0；a2b21； ab ；2；离心率e2；3；两渐近线相互垂直,分别为y=x ；4；等轴双曲线的方程x2y2,5； 等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项；十、共轭双曲线以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的

15、共轭双曲线,通常称它们互为共轭双曲线；共轭双曲线有共同的渐近线；共轭双曲线的四个焦点共圆；它们的离心率的倒数的平方和等于 1；需要更多的高考数学复习资料请在淘 .宝 .上.搜.索.宝.贝.：高考数学复习资料学问点与方法技巧总结例题精讲 具体解答 或者搜 .店 .铺.：龙奇迹学习资料网精讲精练名师归纳总结 【例】如下列图, F 为双曲线C:x2y21的左焦点,双曲线C 上的点iP 与P 7ii,123,关于 y 轴对916称,就P 1FP 2FP 3FP 4FP 5FP 6F的值是（）第 7 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A 9 B1

16、6 C18 D27 解：P 1FP 6FP 2FP 5FP 3FP 4F6,选 C 【例】设 P 为双曲线x2y21上的一点 F1、F2是该双曲线的两个焦点,如|PF1|：|PF2|=3：2,就 PF1F212的面积为（）B12 C123D24 A 63解：a,1b12,c13, 由|PF 1|:|PF2|3:2又|PF 1|PF 2|2 a,2由、解得|PF 1|6 |,PF 2|4 .|PF12 |PF2|252|,F1F22 |52,PF 1F 2为直角三角形,SPF 1F 21|PF1|PF2|16412.应选 B；22【例】某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北

17、两个观测点同时听到了一声巨响,正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置 .假定当时声音传播的速度为340m/ s : 相关各点均在同一平面上 思路：时间差即为距离差,到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的解：如图,以接报中心为原点O,正东、正北方向为x 轴、 y 轴正向,建立直角坐标系. y P O C B x A 设 A 、B、C 分别是西、东、北观测点,就A（ 1020,0）,B（1020,0）,C（ 0,1020）设 P（x,y）为巨响为生点,由A 、C 同时听到巨响声,得|PA|=|PC|,故 P 在 AC 的

18、垂直平分线PO 上,PO 的方程为 y= x,因 B 点比 A 点晚 4s 听到爆炸声,故|PB| |PA|=340 4=1360 名师归纳总结 由双曲线定义知P 点在以 A、 B 为焦点的双曲线x2y21上,依题意得a=680, c=1020,第 8 页,共 16 页a2b2b2c2a210202680253402故双曲线方程为2 x25y22168034068010用 y=x 代入上式,得x6805, |PB|PA|, x6805,y6805, 即P6805,6805,故PO答：巨响发生在接报中心的西偏北450 距中心68010m处.- - - - - - -精选学习资料 - - - -

19、- - - - - 【 例】已知双曲线x2y21的离心率e233,过Aa,0,B0 ,b的直线到原点的距离是3.求双曲222ab线的方程；解：（ 1）c233,原点到直线AB：xy1的距离d2abab320,aaba2b2c2b1 a3. 故所求双曲线方程为x2y21.x10,就此双曲线的方程为3【例】已知双曲线的渐近线方程是yx,焦点在坐标轴上且焦距是2y21,2510解：设双曲线方程为x24y2,当0时,化为251044204当0 时,化为y2x21,251020 ,44综上,双曲线方程为x2y21或y2x21F 的直线 l 与 E 相交于 A,B 两点,且 AB 的中205520【例】已

20、知双曲线E 的中心为原点,F3,0是 E 的焦点,过点为 N 12, 15,就 E 的方程2 2解：设双曲线的标准方程为 xa 2y b 21a0, b0,由题意知 c3,a 2b 29,2 2x 1 y 1a 2b 21,设 Ax1, y1,Bx2,y2,就有：2 2xa 2 2y b 221,两式作差得：y1y2x1x2ba 22 x1x2y1y212b15a 22 4b5a 22,150又 AB 的斜率是1231,所以将 4b25a2 代入 a2b29 得 a24,b2 5. 2 2所以双曲线的标准方程是 x 4y 51. 需要更多的高考数学复习资料名师归纳总结 请在淘 .宝 .上.搜.

21、索.宝.贝.：高考数学复习资料学问点与方法技巧总结例题精讲 具体解答 第 9 页,共 16 页或者搜 .店 .铺.：龙奇迹学习资料网【例】已知双曲线C 与双曲线x2y2=1 有公共焦点,且过点（32 , 2）.求双曲线 C 的方程164解：法一：设双曲线方程为x2y2=1.由题意易求c=25 . a2b2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 又双曲线过点（32 ,2）,3a224=1. 又 a2+b2=（25 ）2, a2=12,b 2=8. 2b2故所求双曲线的方程为2x2y2=1. 2 ,2）代入得 k=4,所以双曲线方程为x2y2128法二：设双曲线

22、方程为x 16k4y2k1,将点（ 31281. 【例】已知双曲线的渐近线方程是yx,焦点在坐标轴上且焦距是10,就此双曲线的方程为2解：设双曲线方程为x24y2,51020,当0 时,化为x2y21,244当0时,化为y2y21,251020,44综上,双曲线方程为x2y21或y2x21205520C 的右焦点为 2,0,右顶点为 3,0【例】已知中心在原点的双曲线1求双曲线 C 的方程；2如直线： ykxmk 0,m 0与双曲线 C 交于不同的两点M、N,且线段 MN 的垂直平分线过点A0,1,求实数 m 的取值范畴解析：1设双曲线方程为x2y2,221a0,b0ab由已知得 a3,c2.

23、 又 a 2b 2c 2,得 b2 1. 2 故双曲线 C 的方程为x 3y2 1. ykxm2联立2 x 3y21整理得 1 3k2x26kmx3m 230. 直线与双曲线有两个不同的交点,1 3k2 012m 2 13k 20可得 m23k2 1 且 k 21 3设 Mx1,y1,Nx2,y2,MN 的中点为 Bx0,y0名师归纳总结 就 x1x26km 13k 2,x0x1x2 23km 1 3k2,y0kx0mm2. 24m1 第 10 页,共 16 页13k由题意, ABMN , kABm 13k211 kk 0,m 0整理得 3k3km 2 13k- - - - - - -精选学习

24、资料 - - - - - - - - - 将代入,得m2 4m0, m0 或 m4. 又 3k 24m 10k 0,即 m1 4. m 的取值范畴是1 4,0 4, a 的值；如不【例】已知直线yax1与双曲线3x2y21交于 A、 B 点；（1）求 a 的取值范畴； （ 2）如以 A B 为直径的圆过坐标原点,求实数a 的值；（3）是否存在这样的实数a ,使 A 、 B 两点关于直线y1x对称？如存在,恳求出2存在,说明理由；名师归纳总结 解：（ 1）由y2ax211消去 y ,得3a2x22ax20（1）133 xy依题意3a20即6a6且a3（2）0（2）设Ax 1y1,Bx2y2,就x

25、 1x 2x2332 a23ax 122 4 a 以 AB 为直径的圆过原点OAOBx 1x2y1y20但y1y2a2x 1x2ax 1x 21由（ 3）（4）,x1x232a2,x 1x2322aaa21 322a32 a210解得a1且满意（ 2）aa（3）假设存在实数a ,使 A 、B 关于y1x对称,就直线yax1 与y1x垂直22a11,即a2直线 l 的方程为y2x12将a2代入（ 3）得x 1x24 AB 中点的横坐标为2 纵坐标为y22但 AB中点,23 不在直线y1x上,即不存在实数a ,使 A、B 关于直线y1x对称；222, 0 的【例】已知双曲线C 的中心是原点, 右焦

26、点为 F3 0, ,一条渐近线m: x+2y0,设过点 A 3直线 l 的方向向量v e1, ；第 11 页,共 16 页（1）求双曲线 C 的方程；（2）如过原点的直线a/l ,且 a 与 l 的距离为6 ,求 K 的值；（3）证明：当k2时,在双曲线 C 的右支上不存在点 Q,使之到直线 l 的距离为6 . 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：（ 1）设双曲线 C 的方程为x22y20需要更多的高考数学复习资料请在淘 .宝 .上.搜.索.宝.贝.：高考数学复习资料 学问点与方法技巧总结 例题精讲 具体解答 或者搜 .店 .铺.：龙奇迹学习资料网

27、23,解得 2 ,双曲线C的方程为 xy 212 2（2）直线 l kx y 3 2 k 0,直线 a kx y 0由题意,得 | 3 2 |1 k 2 6,解得 k2 2（3）证明 方法一 设过原点且平行于 l 的直线 b kx y 0就直线 l 与 b 的距离 d 3 2 |1 k k2 |, 当 k2 2时,d 6 又双曲线 C 的渐近线为 x 2 y 0双曲线 C 的右支在直线 b 的右下方,双曲线 C 右支上的任意点到直线 l 的距离大于 6 ；故在双曲线 C 的右支上不存在点 Q ,使之到直线 l 的距离为 6方法二 假设双曲线 C 右支上存在点 Q x 0 , y 0 到直线 l

28、 的距离为 6 ,就 | kx 01 y 0k 3 22 k6 12 2x 0 2 y 0 2 2由（ 1）得 y 0 kx 0 3 2 k 6 1 k 2设 t 3 2 k 6 1 k 2,2当 k2 2时,t 3 2 k 6 1 k 20；t 3 2 k 6 1 k 263 k 22 k1 1k 2 02 2 2将 y 0 kx 0 t 代入（ 2）得 1 2 k x 0 4 ktx 0 2 t 1 0k 2 , t 0,1 2 k 20, 4 kt 0, 2 t 21 0 方程 * 不存在正根,即假设不成立,2故在双曲线 C 的右支上不存在点 Q ,使之到直线 l 的距离为 6需要更多的

29、高考数学复习资料请在淘 .宝 .上.搜.索.宝.贝.：高考数学复习资料学问点与方法技巧总结例题精讲 具体解答 A、B. 或者搜 .店 .铺.：龙奇迹学习资料网【例】设双曲线2 C：x a 2y21a0与直线 l：x y1 相交于两个不同的点1求双曲线 C 的离心率 e 的取值范畴；名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2设直线 l 与 y 轴的交点为 P,且 PA 5 12PB ,求 a 的值解：2 1将 y1x 代入双曲线x a 2y21 中得 1 a2x 22a2x2a 20 所以1a2 02 0, 解得 0a2

30、,且 a 1,又双曲线的离心率4a48a21ae1a21 a 21,0a2且 a 1,e6 2且 e2. a2设 Ax1,y1,Bx2,y2,P0,1PA 5 12PB , x1,y11 5 12x2, y2 1由此得 x1 5 12x2 由于 x1,x2 都是方程的两根,且 1a 2 0,17 12x22a1a 22,5 12x 2 2a1a 22. 消去 x2,得1 a 2a 22289 60, a 2289 169, a17 13. 由 a0,得 a17 13. 【例】已知倾斜角为 45 的直线 l 过点 A 1 , 2 和点 B , B 在第一象限,| AB | 3 2 . 1 求点 B 的坐标；名师归纳总结 - - - - - - -2如直线 l 与双曲线C:x2y21a0 相交于 E 、F 两点,且线段 EF 的中点坐标为4,1 ,求 a 的值；a23对于平面上任一点P ,当点 Q 在线段 AB上运动时,称| PQ 的最小值为 P 与线段 AB距离 . 已知点 P 在x 轴上运动,写出点Pt,0到线段 AB 的距离 h关于 t 的函数关系式 . 解： 1 直线 AB 方程为yx3,设点Bx,y,由yxx3y2 218及x0,y0得x4,y1,12点 B 的坐标为4,1（2）由xyx3得11 x26 x100,设E