2022年医科高等数学知识点.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 1.极限存在条件x lim x 0 f x A f x 0 f x 0 A2. 法就 1夹逼法就 如在同一极限过程中 ,三个函数 f 1x 、f 2x 及 f x 有如下关系 : f x 1 f x f x 2 且 lim f x 1 lim f x 2 A 就 lim f x A3. 法就 2单调有界法就 单调有界数列肯定有极限4.无穷小定理 lim f x A lim f x A 0 以-A 为无穷小,就以 A 为极限；性质 1 有限个无穷小的代数和或乘积仍是无穷小性质 2 有界变量或常数与无穷小的乘积是无穷小 .性质 3 在同一过程中 ,

2、无穷大的倒数为无穷小 ;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大 . 5.高阶同低阶无穷小,假设 , 是同一变化过程中的两 个无穷小 , 且 0 . 1 假如 lim 0 , 就说 是比 较高阶的无穷小 , 记作 o 2 假如 lim , 就说 是比 较低阶的无穷小 , 或者说是比 较高阶的无穷小 ; 3 假如 lim C C 0 , 就说 与 是同阶的无穷小 ; C=1 时,为等价无穷小； 4 假如 lim k C C 0 , k 0 , 就说 是 的 k 阶的无穷小名师归纳总结 6. 如limfx A ,limgx B,就有Bxxn第 1 页,共 16 页 1limfx gx limfx limgx

3、 A2 limfx .gxlimfx.gx A.B3limfx limfx AB0 gx limgx Bclimf推论如limfx存在,而c 为常数,就limcfx 如limfx存在,而n 为正整数,就limfxnlimf例题x lim x 2 x 21x lim x 2 x 21lim x 2lim x 2x1111lim x 2x2137. 所以当a00,b 00 ,m 和n为非负整数时有- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - lim xa 0m xa 1xm1a ma 0, 当nm ,b 00 , 当nm ,b 0xnb 1xn1b n,当nm ,8.

4、例题求lim xxx22x lim xxx22x lim xxx222x x22xx2xlim xx2xxlim x12=1 2221x29.两个重要的极限lim x 0sinx1lim xxsin1=1 lim t 0sin tt1e6xx例题求lim x 0sinmxlim x 0sinmxlim x 0msinmxnxsinnxsinnxnmxsinnxmlim x 0sinmxlim x 0nxmnmxsinnxn求lim xxsin1令t1,就当x时,t0 . 所以lim xxsin1xxxlim x11xelim x 0 1x1e12x 2 6xx例题求lim x 123xlim

5、x 123xlim x12x 2 23x lim xxxx 1xx2x2 1x2121例题 2 求lim xx1xlim xx1xlim x 1x2 1xlim x 1x1x1xe . 2 1e2解法 2 lim x 11xlim x111x1e2 ex 1x 1xlim x 1xe1xx10.函数在一点 连续 的充分必要条件是名师归纳总结 1fx在点 x 0处有定义;2 lim x x 0fx 存在; 3 lim x x 0fxfx 0.第 2 页,共 16 页11. 函数fx 在x 0处连续是函数fx 在x 0处既左连续又右连续.- - - - - - -精选学习资料 - - - - -

6、- - - - 12.满意以下三个条件之一的点x 为函数fx的间断点 . 1fx在点 x 0没有定义;2 lim x x 0fx 不存在;3lim x x 0fx 存在,但lim x x 0fx fx 0.跳动间断点假如fx 在点x 0 处左,右极限都存在,fx 的跳动间但lim x x 0fxlim x x 0fx ,就称点x 0 为函数断点.可去间断点假如fx 在点x 0 处的极限存在,x在闭区间a,b但lim x x 0fxAfx 0,或fx 在点x 0处无定义,就称点x 0 为函数fx 的可去间断点.跳动间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点为左右极限都存在其次类间断点左右极限至

7、少有一个是不存在的其次类间断点中包括无穷间断点（有一段的极限为正或负无穷）震荡间断点（lim x 0sin1）x13.例题求lim x 0ln1x .原式lim x 0ln1x 1lne =1 xx14.（最值定理）如函数yfx闭区间a ,b 上连续,就yf上必有最大值和最小值（有界性定理）如函数 y f x 闭区间 a , b 上连续,就其在闭区间上必有界（介值定理）如函数 y f x 闭区间 a , b 上连续,就对介于 f a 和 f b 之间的任何数 C,至少存在一个 a , b ,使得 f c 根的存在定理 两侧异号 至少有一根； 15.函数在一点可导的充分必要条件为：f x 0 f

8、 x 0 16.可导的函数肯定是连续的 连续不肯定可导17.导数名师归纳总结 C0.常数的导数是零.xnnxn1.2sinxcosxxcosx sinx第 3 页,共 16 页logax x1alnx1cotx csc2 x .tansec 2 x .lnxsecx secxtanxcscxcscxcotx .axaxlna1x e x e11x2.arccosx11x12;arcsin x.arctanxx- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - cotx 112.反函数的导数等于直接函数导数的倒数x名师归纳总结 1ux vxux vx ;第 4 页,共 1

9、6 页2 u xv x ux vx u x vx ;3u x ux v x u x vxv x 0 v xv2x 1u 1u2unu 1u 2un2CuCu3 u 1u2unu 1 u2unu1 u2unu 1 u2un因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.锁链法就 yfuvx隐函数求导法就两边对 X 求导例题 已知函数 y 是由椭圆方程x2y21所确定的求 ya2b2方程两边分别关于x 求导 ,由复合函数求导法就和四就运算法就有2x2 yy0解得a22 byb2x例题 2 eyxyeeyyyxyyeyyx2ay对数求导法先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的

10、求导方法求出导数. 例题y3x1 x2 lny1lnx1lnx2 lnx3 lnx4 x3 x4 31y1x11x12x13x14y3y13x1 x2 x11x12x13x143x3 x4 高阶导数ysinxynsinxn2cosx ncos xn218. 函数,fx 在点x 0 可微的充要条件是函数fx 在点x 0处可导且Afx 0.即可导可微.Afx0.19.基本初等函数的微分公式darctanx 112dxdarccotx 11dxx2 x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - dC0dxx1 dx名师归纳总结 dsinx cosxdxdcosx si

11、nxdx第 5 页,共 16 页dtanx sec 2xdxdcotxcsc 2xdxdsecx secxtanxdxdcscx cscxcotxdxdaxaxlnadxdx ex edxdlogaxx1adxdlnx1dxlnxdarcsinx11x2dxdarccosx11x2dx20.函数和、差、积、商的微分法就duv dudvdCuCduduvvduudvduvduv2udvv例题设y1 e3xcosx ,求dy.dycosxd1 e3x1 e3xdcosx1 e3x31 e3xcosxsinxdycosx1 3 e3xdx1 e3xsinxdx1 e3x3cosxsinxdx微分形式

12、不变性微分形式始终为dyfxdx21.Lagrange 中值定理假如函数fx在闭区间a,b上连续 ,在开区间a,b上可导 ,就在a,b内至少存在一点,使下面等式成立fb fafba推论假如对于任意xa ,b,有f x,0就fxc 为常数假如对于任意xa,b,有fxgx,就fxgxc 为常数例题 证明arcsinxarccos x2设fxarcsinxarccosxfx11x211x20fx C又f0arcsin0arccos0022即C2arcsinxarccos x222. 0型及型未定式解法:洛必达法就0假如函数fx 与gx 满意以下三个条件00 ,导数都存在且gx0,- - - - -

13、- -精选学习资料 - - - - - - - - - limfx存在或者无穷大gx就当xx0或 x就有limfxlimfxx lime1lnxgxgx0,0 01,0 型未定式解法01或001.110000000000ln01110取对数0ln10.例题求x limxxx limxxxlnx lim1lnxx limlnxx lim10x limx 1elim x1lnxxxx0 e1xx1洛必达法就不是万能的求lim xexex.洛必达不能求解xxeelim xexexlim x1e2x1两边同乘以ex xx2x.（驻点为可导但是导数值ee1e23.可导函数的的极值点必定是驻点,但函数的驻

14、点不肯定是极值点为 0 的点）函数的不行导点,也可能是函数的极值点. 判定是否为极值点要运算驻点两侧倒数的符号是否不同求驻点处的二阶导数 如二阶导数为正值 就为微小值 负值 就为极大值 为零就不能判定24.二阶导数为正值就为凹的 负值就为凸的 分界点为拐点 在拐点处二阶导数为零或二阶导数不存在函数作图求定义域f函数的奇偶性和周期性求一阶和二阶导数争论极值点和拐点渐近线列表x dxfx gx dxfx dxgx dx25. kfx dxk基本积分公式名师归纳总结 1exdxx1C1 ;2 xdxlnxC3 axdxxaxC第 6 页,共 16 页1xlna4 x dxexC 5 cos xdxs

15、inC 6 sinxdxcosC72 secxtanxC 8 2 cscxcotxCx11dxarctanx9 CarccotC2 x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1011x2dxarcsinxCarccos xC26. 第 一 类 换 元 法 凑 微 分 法 设fu具有原函数Fu,ux可导就 有fx x dxf udu ux Fx CxCsecxdxlnsecxtanxCcscxdxlncscxcot凑微分的集中常见形式名师归纳总结 1.fxn1xndxfxn1dxn12 .fxdx2fxdxarctanx第 7 页,共 16 页n1x3.fln

16、xdxflnxdlnx4 .f1dxf1 d1、x 2xxxx5 .fsinx cos xdxfsinx d sinx 6 .fx ex edxfx ex de7 .ftanx 2 secxdxftanx dtanx8 .farctanxdxfarctan x d1x227.其次类换元积分法fx dxf t t dt（根式代换）2dt例题 求x13xdx .令x6tdx6 t5dtx13xdxt36 t5t 1 11C6 t22dt61t22dt6t2121 dt6dt6112dt6tarctant1tt1tt66xarctan6xC三角代换的形式 1a2x2xasin t;2 a2x2xat

17、ant;3x22 axasect.倒数代换x1也为常用的形式u28.分部积分法udvuvv du使用时应留意的问题（1）v要简单求得；（2）vdu 要比udv 简单积出.例题xarctanxdx .令uarctanx,xdxdx2dv2xarctanxdxx2arctanxx2darctanx x2arctanxx2112dx2222x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2 x arctan2x11112dxx2arctanx1xarctanx C2x22例题 2 lnxdx .uxdx2 udulnxdxk2lnudu2 ulnu,du 待定xx2ul

18、nu1 C2xlnx1 CkxA 21xA kA 1,A 2,A k29.有理函数的积分待定系数法A 1a 分母中如有因式xk,就分解后为xa aa的常数名师归纳总结 分母中有x2pxq k分解后为xM1xN1kxM2xN2k1dxMkxNk第 8 页,共 16 页2pxq2pxqx2pxq其中p24q0M , iNi待定的常数例题2 x2xx2dx .13分母实数范畴内不能因式分解就用凑分法6x22x2dx 132x64 dx13dx26x13dx4x6 xx26xx26x133 222xdx. lnx26x13 2arctanx23C30.定积分bfxdxlim 0infix ia1b c

19、fdx相关性质bkfxdxkbfxdxk 为常数aabfxgxdxbfxdxbgxdxbfxdxcfx aaaaaa ,b上fxgx bfx dxbgxdxaaxaxb设 M 及 m 分别是函数fx在区间a,b上的最大值及最小值,就mba bfxdxMbaa定积分中值定理bfx dxfbaab a积分上限函数Gxxftdtxa ,b 有Gx xftdtfaa- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例题y1 tx 3 21dt求导数先化为积分上限函数yx32t1dt3t13t名师归纳总结 视为yut1tdtux3的复合函数dydydudut1dtx3t2dt第

20、 9 页,共 16 页123dxdudxdu123t3x2 1x3x 3ae2x例题 2 x3et2dtx3et2dtaet2dtx3et2dtx 2et2dtx 2x2x 2aaex4x2ex63 x2xex 43x2ex 6微积分基本定理bfx dxFx bFb Fa aa定积分的换元法bfx dxftt dta例题1xx213dx设x21tx0t;1x1t20所以有1xx21 3dx11x21 3dx21 12t3dt1t42150011162288不换新变量就不要转变积分上下限1xx21 3dx11x213dx2112 x14115000288例题 2 1x21x2dx .设xsint

21、,dxcostdt0x0t;0x1t21x2 1x2dx022 sint1sin2tcos tdt02sin2tcos2tdt12sin22 tdt102 1cos4 t dt1t1sin4 t2 0040884定积分的分部积分法budvuvbbvduaaa例题1xexdx .1x xedx1x xdex xe11x edxex e1ee1 1000000elnxdxxlnxeex1dxexe11111x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 31.用定积分求面积 和 旋转体的体积旋转体的体积Vbfx2dxby2dx（绕 x 轴形成的）dx收敛aaVdy 2

22、dydx2dx绕 y 轴形成的 cc例题yx2x0y1绕 y 轴形成的体积4用公式bx2dyV1x2dy1 04y dy2y212a0032.无穷区间的广义积分afxdxb limbfxdxa极限存在就为广义积分存在或收敛极限不存在就为广义积分不存在或发散相应的有形式bfxdxa limbfxdxbfxdxa limbfxdxaa牛顿公式afx dxlim bFb Fa Fxafx dxFx 0Fx 0bfx dxFblim aFa Fxb例题 3 1dx2.1dx01dx201dx2（原函数为正切函数）x2 xxx无界函数的广义积分bfxdxlim 0bfx dxaabfxdxcfxdxbf

23、x dxlim 1 0c1fx dxlim 2 0b2fx dxaacac10,20 如lim x cfx只有当上式右端两个极限都存在时就称bfx a否就为发散；名师归纳总结 例题 求1dx2.x lim 111x2x1是无穷间断点02第 10 页,共 16 页01x1dx2lim 01dx2lim 0arcsinx10lim 0arcsin 101x01x运算1dx ？2 . xAxByCzD0圆柱面x2y2R2133.平面的一般方程zx2y2a0 ,b0 椭圆抛物面zx2y2双曲抛物面22ab- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 圆锥面z2x2y2（二元函数的图像通常为一张曲面）34.二元函数的相关定义及性质同一元函数相近35.偏导数同全微分fxx 0,y 0lim x 0fx 0x ,y 0yxfx 0,y 0xfyx0,y0lim y0fx 0,y0y