数学分析研究性知识材料学习进修报告(二次函数).doc

-/ 班级：高二（6）班 课题组长：余杭银 课题成员：王钰莹、王金玉、王钰桦、叶尧栋、 徐李忺、朱佳威、顾棋锋 指导老师：王少波 研究性学习课题开题报告 201 4 年 5 月 30 日 班 级 高二（6）班 研究课程 数学 课题名称 二次函数图象特点的应用 小组成员 王钰莹、王金玉、王钰桦、叶尧栋、徐李忺、朱佳威、顾棋锋 组 长 余杭银 指导教师 王少波 选择本课题 的主要原因 随着新课程标准如火如荼的实施，其核心理念“为了我们每一个学生的发展”越来越受到人们的关注与重视。课程改革已成为转变学习方式的一场革命，学习已成为人的主体性、能动性、独立性、创造性不断生成、张扬、发展和提升的过程。在这一背景下，我们成立了“二次函数图像的特点和应用”的课题研究小组。 开展本课题研 究的目的与意义 (1)顺应当前教育发展的需要。在如今交流工具网络化和全球经济一体化的推动下，知识更新的速度越来越快，教育面临着前所未有的挑战。按照素质教育要求，教师的职责不仅仅是传道授业解惑了，单单让我们学生从书本上获取知识是很难面向未来的。人要在一生中不断学习，才能适应社会的快速发展，所以学校教育不但要教给我们学生各方面的知识，更重要的是，激发我们学生自主探究的积极性，培养我们学习的能力，为今后持续不断的发展打下坚定的基础。我们学生一旦学会了学习的方法与能力，知识的获取将是无限的。 (2）促进我们学生发展的需要。教育的核心应着眼于我们学生的全面发展，应立足于我们学生本位教育。教学改革的真实意义：“即是使每个人发展自己的才能和创造潜力。”因此，坚持以我们学生为本的改革方向，坚持教育培养的应该是有主体性的人，只有这样的人才能主动、积极地参与社会活动，并为社会进步作出贡献。教育过程中通过启发、引导受教育者内存的教育需求，创设和谐、宽松、民主的教育环境，有目的、有计划地组织、规范各种教育活动，从而把我们培养成为自主地、能动地、创造性地进行认识和实践活动的社会主体。这就必须让我们从小在“探究”的教育活动中锻炼自己，养成良好的学习品质，获得终身发展的知识和能力。 (3)具体到专题上，二次函数在数学上占有重要地位，在初中和高中都有涉及到，且初中还作为重点学习，而且在生活二次函数应用广泛，如杂技表演，在物理上也相当重要，如速度等，组织我们学生个人研究，小组讨论，探讨，进而形成结论有利于我们学生形成正确的知识体系，体会研究的快乐，激发我们学生的的兴趣。 活 动 计 划 1）任务分工： 任 务 负 责 人 开题报告的提出 余杭银、徐李忺 资料的查阅 王钰莹、叶尧栋 资料的整理 王金玉、朱佳威 结题报告 王钰桦、顾棋锋 报告整理 余杭银 2） 研究方法： 查阅文献、上网搜索、访问调查等 3） 活动步骤： ①选题；②写开题报告；③调查&收集资料；④写结题报告；⑤整理报告 4） 活动所需条件： 图书资料：数学课本、文献资料等 实验室（设备）：计算机等 其他：计算机上网、调查 5） 计划访问专家： 校内1位：王少波 校外0位 1. 二次函数的基本定义 一般地，把形如y=ax^2+bx+c（其中a，b，c是常数，a≠0，bc可以为0）的函数叫做二次函数（quadratic function），其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。x为自变量，y为因变量。等号右边自变量的最高次数是2。二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。顶点坐标[-b/2a,(4ac-b^2)/4a]交点式为y=a(X-x1)(X-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线] 注意：“变量”不同于“自变量”，不能说“二次函数是指自变量的最高次数为二次的多项式函数”。“未知数”只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），“变量”可在实数范围内任意取值。在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者的差别.如同函数不等于函数的关系。 2.二次函数图象的特点及应用 二次函数在数学上占有重要地位，在初中和高中都有涉及到，且初中还作为重点学习。在生活中，二次函数应用广泛，如杂技表演，在物理上业相当重要，如加速度。此次，我们参加二次函数的研究课题，有利于我们对二次函数的进一步认识，有利于我们解释生活现象，有利于我们的自主探究能力。 二次函数图象的特点 一般地，自变量X和因变量Y之间存在如下关系：y=ax2+bx+c（a,b,c为常数。且a≠0） 则称Y为X的二次函数。 ①二次函数的三中表达形式： （1）一般式： y=ax2+bx+c（其中a,b,c为常数，且a≠0）； （2）顶点式[抛物线的顶点P(h，k)]： y=a（x-h）2+k（其中a,h.k为常数，且a≠0）； （3）交点式： y=a(x-x1)(x-x2)（其中a≠0且A(x1，0)和B(x2，0) 为二次函数图像与x轴的交点坐标。） ②三中表达形式的关系 以上3种形式可进行如下进行转化： （1）一般式和顶点式的关系 对于二次函数y=ax^2+bx+c，其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)，即h=-b/2a=(x1+x2)/2k=(4ac-b^2)/4a （2）一般式和交点式的关系 x1,x2=[-b√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)] 抛物线的性质 1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。 特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0） 2. 抛物线有一个顶点P，坐标为P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ=b^2-4ac=0时，P在x轴上。 3. 二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。 4. 一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。 5. 常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于（0，c） 6. 抛物线与x轴交点个数 Δ=b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。Δ=b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。Δ=b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x=-b√b^2－4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a） 当a>0时，函数在x=-b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b^2/4a；在{x|x<-b/2a}上是减函数，在{x|x>-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不变 当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为 y=ax^2+c(a≠0) 7. 定义域：R值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b^2)/4a，正无穷）；②[t，正无穷） 8. 奇偶性：偶函数 9. 周期性：无 二次函数图像的应用 二次函数可谓应用广泛。在具有代表性的信息时代技术领域，计算机鼠标的每一举动，都会变为一系列的二次函数命令，于是荧幕上的箭头，才得摆动。信息的传递，传递和存储也少不了二次函数。在日常生活中。许多常见事物中都有二次函数的身影。如桥梁建设，篮球出手时的抛物线等。 典型题目如： （一）、图像与性质问题：已知函数f（x）=x2-6x+8并且函数的最小值是f（a），则实数a的取值范围是？解得a的取值范围是（1,3]. 利用图象可以直观的解决和图象有关的问题。 （二）、最值问题：已知函数分f（x）=x2+3x-5，x∈[t，t+1]，若f（x）的最小值为h（t），写出h（t）的表达式。解的函数的表达式为h（t）=t2+5t-1…… 运用函数与方程的思想方法。 （三）、实根问题：设二次 函数f（x）=x2+ax+a，方程f（x）-x=0的两根x1和x2，满足0＜x1＜x2＜1，求a的取值范围。解得0＜a＜3-2√（2）. 用数型结合的思想来做的。 （四）、综合应用问题：已知二次函数f（x）=ax2+bx+c和 一次函数g（x）=-bx，其中a，b，c满足a＞b＞c，a+b+c=o（a，b，c∈R且a≠0），求线段AB在x轴上的影射A1B1之长的取值范围。解得A1B1的取值范围是（√3,2√3）. 二次函数和一次函数的共同问题。 生活实际运用如： （一）、某果园有100棵橙子树，每一棵平均结600个橙子。现在准备多种一些橙子树以提高质量，但若多种树，那么树之间的距离和每一棵树所受的阳光就会减少。据经验分析，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。假设果园增种x棵橙子树，果园橙子总产量为y个。 （1）请写出y与x之间的关系式； （2）增种多少棵橙子树，可使果园的橘子总产量最高？最大值为多少？ 解：（1）由题意得：y=（600-5x）（100+x）=-5x2+100x+6000。（2）由y=-5x2+100x+6000得当x=-b/2a=10时，Ymax=（4ac-b2）/2a=60500 所以增种10棵橙子树时，橙子的总产量最高，为50600个。 （二）、利用二次函数解决图形面积极值的问题。 已知矩形的周长为6，设矩形的一边长为x，它的面积为y，写出它们的关系式，并求出当x为何值时，矩形的面积最大，并求出最大值。 解：关系式为y=-x2+3x（0＜x＜3）Y=-（x-3/2）2+9/4，又因为0＜x＜3 所以当x=3/2时，矩形的面积最大，为9/4。 （三、拱桥问题。 有一座抛物线型拱桥，在正常水位时，水面AB宽为20米，如果水位上升3米时，水面CD宽为10米,求抛物线的的关系式；现有一辆卡车需通过，汽车以每小时40千米 的速度从距此桥280千米的地方开来，忽然接到通知，前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25米的速度上涨，卡车按原来的速度行驶，是否能安全通过此桥，请说明理由；如不能，卡车的速度应达到多少？ 解：由题意可知，抛物线的关系式为y=-（1/25）x2；计算可知卡车不能安全通过，若要安全通过i，速度应超过60千米/时。 …… 二次函数在生活上具有非常广泛的应用，地位很高，所以我们要认真学习该部分知识。 3.二次函数图象在古代建筑中的应用 赵州桥是一座空腹式的圆弧形石拱桥，是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥。赵州桥是入选世界纪录协会世界最早的敞肩石拱桥，创造了世界之最。河北民间将赵州桥与沧州铁狮子、定州开元寺塔、正定隆兴寺菩萨像并称为“华北四宝”。桥长50.82米，跨径37.02米，券高7.23米，两端宽9.6米,桥的设计完全合乎科学原理，施工技术更是巧妙绝伦。唐朝的张嘉贞说它“制造奇特，人不知其所以为”。 根据相关数据，计算得出，赵州桥满足了y=（-28/1369）x2+（28/37）x，这就是二次函数图像的实际应用。 研究性学习课题结题报告（成果报告） 课题名称 二次函数图象特点的应用 完成时间 2014年5月30日 课 题 评 价 小 组 自 评 通过以上的研究和探讨，我们解决了有关二次函数的性质和应用问题，我们发现二次函数的图象在解决各种问题中具有不可替代的作用。从而学会熟练应用二次函数图象解决问题是我们必须掌握的能力。 开展研究性学习是我们学生学习的一种重要方式，也是教师引导我们学生拓展知识视野，加深知识理解的极好教学方式，采取研究性学习这种有效的教学活动，能够拓展我们的知识视野，培养我们应用数学的能力，提高我们应用数学的意识。 教 师评 价 记录员 余杭银、王钰莹、王金玉、王钰桦