2022年向量知识点及习题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 1 向量：既有大小,又有方向的量有向线段的三要素：起点、方向、长度单位向量：长度等于 1个单位的向量数量：只有大小,没有方向的量零向量：长度为 0 的向量平行向量（共线向量） ：方向相同或相反的 非零 向量零向量与任一向量平行相等向量：长度相等且 方向相同 的向量2、向量加法运算：三角形法就的特点：首尾相连平行四边形法就的特点：共起点三角形不等式：abababCbC运算性质：交换律：abba ；结合律：abcabc；a00aa C坐标运算：设ax y 1,bx 2,y 2,就abx 1x 2,y 1y 2a3、向量减法运算：三角形法就的特点：共

2、起点,连终点,方向指向被减向量坐标运算：设ax y 1 1,bx 2,y 2,就abx 1x 2,y 1y 2设、两点的坐标分别为x y 1,x 2,y 2,就x 1x y 2 1y 2ab4、向量数乘运算：实数与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作a aa ；当0 时,a 的方向与 a 的方向相同；当0 时,a 的方向与 a 的方向相反；当0 时,a0运算律：aa ；aaa ；abab坐标运算：设ax y ,就ax yx ,y 5、向量共线定理：向量a a0与 b 共线,当且仅当有唯独一个实数,使 ba 设ax 1,y 1,bx 2,y 2,其中b0,就当且仅当x y 1 2x

3、 y 2 10时,向量 a、b b0共线6、平面对量基本定理：假如1e 、e是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内e作的任意向量 a ,有且只有一对实数1、2,使a1e 12e（ 不共线 的向量1e 、为这一平面内全部向量的一组基底）名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 7、分点坐标公式：设点是线段12上的一点,1、2的坐标分别是x y 1,x 2,y 2,当12时,点的坐标是x 1x 2,y 1y 2（当1 时,就为中点公式；）118 平面对量的数量积： a b a b cos a 0, b 0,0 180零

4、向量与任一向量的数量积为 0 性质：设 a 和 b 都是非零向量, 就 a b a b 0当 a 与 b 同向时, a b a b ；2 2当 a 与 b 反向时, a b a b ；a a a a 或 a a a a b a b 运算律： a b b a ； a b a b a b； a b c a c b c坐标运算：设两个非零向量 a x 1 , y 1,b x 2 , y 2,就 a b x x 1 2 y y1 22 2 2 2 2如 a x y,就 a x y ,或 a x y设 a x 1 , y 1,b x 2 , y 2,就a b x x 2 y y 2 0设 a 、 b 都

5、 是 非 零 向 量 ,a x y 1,b x 2 , y 2,是 a 与 b 的 夹 角 , 就c o s a ba b x 1 2 x xy 21 2x y y2 2 2y 2 21.以下各量中不是向量的是（）A浮力 B风速 C位移 D密度2以下命题正确选项（）A向量 AB 与 BA 是两平行向量B如 a、b 都是单位向量 ,就 a=bC如 AB = DC ,就 A、B、C、D 四点构成平行四边形D两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3在 ABC 中, D、E、F 分别 BC、CA 、AB 的中点,点M 是 ABC 的重心,就名师归纳总结 MAMBMC等于|aabD4 ME（）第 2

6、 页,共 8 页A OB4 MDC4 MF|（）4已知向量a与b反向,以下等式中成立的是A |a|b|ab|B|abC|a|b|ab|D|a|b|b|（）5在 ABC 中,AB=AC,D、E 分别是 AB、AC 的中点 ,就- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A AB 与 AC 共线 B DE 与 CB 共线C AD 与 AE 相等D AD 与 BD 相等 6已知向量e1、e2不共线 ,实数 x、y 满意 3x-4ye1+2x-3ye2=6e1+3e2,就 x-y 的值等于 A3 B 3 C0 D2 7. 设 P（3,6）,Q（5,2）,R 的纵坐标为9

7、,且 P、Q、R 三点共线,就R 点的横坐标为 A9 B6 C9 D 6 8. 已知 a3, b2 3 ,ab =3,就 a与b的夹角是 A150B120C60D 309.以下命题中,不正确选项 A a =2 aB ab = a b C（ ab ） c= acbcD a与 b 共线a b = a b10以下命题正确的个数是 ABBA0 0AB0P ABACBC（ ab）c = a（bc）A1 B2 C3 D4 11已知 P1（2,3）,P2（1,4）,且P P2 PP 2,点 P 在线段 P1P2 的延长线上,就点的坐标为 A（4 ,35 ）3B（4 ,35 ）3C（4,5）D（4,5）12已

8、知 a3, b4 ,且（ a +k b）（ ak b）,就 k 等于 A4B3C3D43455二、填空题名师归纳总结 13已知点 A 1,5和向量 a =2,3, 如 AB =3 a ,就点 B 的坐标为. . 第 3 页,共 8 页14如OA31e ,OB3e,且 P、Q 是 AB 的两个三等分点, 就 OP,OQ15如向量 a =（2,x）与 b =（x, 8）共线且方向相反,就x= . 16已知 e为一单位向量,a 与 e之间的夹角是120O,而 a 在 e方向上的投影为2,就- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - a . 一、挑选题1如三点A 2,3

9、,B3, ,C4, b 共线,就有（）a2 b0Aa3,b5Bab10C2 ab3D）2设02,已知两个向量OP 1cos,sin,OP 22sin,2cos,就向量P 1P 2长度的最大值是（A.2B.3C.32D.233以下命题正确选项（）A单位向量都相等B如 a 与 b 是共线向量, b 与 c 是共线向量,就a 与 c是共线向量（）C|ab|ab|,就a b0D如a 与b 是单位向量,就a 0b 014已知a b均为单位向量,它们的夹角为0 60 ,那么a3 b（）A7B10C13D 45已知向量 a, b 满意a1,b4,且a b2, 就 a与 b 的夹角为A6B4C3D26如平面对

10、量 b 与向量a2 1,平行,且|b|25,就 b A4,2B4,2 C6 ,3 D4 ,2 或4 ,2二、填空题名师归纳总结 1如|a| 1,|b| 2,cab ,且 ca ,就向量 a 与 b 的夹角为第 4 页,共 8 页2已知向量a1,2,b 2,3,c4,1,如用a和b表示c,就c=_；3如a1,b2,a与b的夹角为60 ,如3a5b mab ,就 m的值为4如菱形ABCD 的边长为 2 ,就ABCBCD_；5如a=2 ,3 ,b=4,7,就a在b上的投影为 _；6已知向量acos ,sin,向量b 3, 1,就 2ab 的最大值是- - - - - - -精选学习资料 - - -

11、- - - - - - 7如A1,2,B2,3,C 2,5,试判定就ABC 的外形 _8如a2,2,就与 a 垂直的单位向量的坐标为_；_；9如向量 |a| 1,|b|2,|ab| 2,就 |ab|；a b5,就向量 b10平面对量a,b中,已知a4, 3,b1,且1以下说法错误选项（）A零向量与任一非零向量平行 C.平行向量方向相同B.零向量与单位向量的模不相等 D.平行向量肯定是共线向量名师归纳总结 2以下四式不能化简为AD 的是（）第 5 页,共 8 页A （ABCD）BC；B（ADMB）（BCCM）；CMBADBM；DOCOACD；3已知 a =（3,4）, b =（ 5,12）, a

12、 与 b 就夹角的余弦为（）A 63B65C13D136554 已知 a、b 均为单位向量 ,它们的夹角为60,那么 |a+ 3b| =（）A7B10C13D4 5已知 ABCDEF 是正六边形,且AB a , AE b ,就 BC （）（A）1 2ab（B）1 2ba（C）a 1 2b（D）1 2ab6设 a , b 为不共线向量,AB a +2 b , BC 4 a b , CD 5 a 3 b , 就以下关系式中正确选项（）（A） AD BC（B） AD 2 BC（C） AD BC （ D） AD 2 BC7设1e 与e 是不共线的非零向量,且k1e e 与1e ke 共线,就 k 的值

13、是（）（A） 1 （B） 1 （C）1（ D） 任意不为零的实数8在四边形ABCD中, AB DC ,且 AC BD 0,就四边形ABCD是（）（A） 矩形（B） 菱形（C） 直角梯形（D） 等腰梯形9已知 M （ 2, 7）、N（10, 2）,点 P 是线段 MN 上的点,且PN 2 PM ,就 P 点的坐标为（）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （A）（ 14,16）（B） （ 22, 11）（C） （6,1） （D） （2,4）10已知 a （ 1,2）, b （ 2,3）,且 k a + b 与 a k b 垂直,就 k（）（A）12（B）21

14、（C）23（D）32（11、如平面对量a1, x 和b2x3,x相互平行,其中xR . 就abA. 2 或 0；B. 2 5 ；C. 2 或 2 5 ；D. 2 或10 . 12、下面给出的关系式中正确的个数是（）0 a0abbaa2a2ab ca bcababA 0 B 1 C 2 D 3 13如AB ,3 4 ,点的坐标为（,）,就点的坐标为14已知a3, 4,b2,3,就 2|a| 3a b15、已知向量a,3 b2,1 ,且ab,就 a的坐标是 _；16、 ABC中, A1,2,B3,1,重心 G3,2 ,就 C点坐标为 _；17假如向量与 b 的夹角为 ,那么我们称 b 为向量与 b

15、 的“ 向量积” , b是一个向量,它的长度| b|=| |b|sin ,假如 | |=4, |b|=3, b=-2 ,就 | b|=_ ；18、（14 分 设平面三点 A（1,0）,B（0, 1）,C（2,5）（1）试求向量 2 AB AC的模；（2）试求向量 AB 与AC的夹角；（3）试求与BC垂直的单位向量的坐标19（12 分） 已知向量= , 求向量 b,使|b|=2| | ,并且与 b 的夹角为；20. （13 分已知平面对量a3,1 ,b1,3.如存在不同时为零的实数k 和 t,使22名师归纳总结 xa t23b ,ykatb ,且xy .第 6 页,共 8 页（1）试求函数关系式

16、k=f（t）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）求使 f（t）0 的 t 的取值范畴 . 21（13 分如图,=6,1, ,且；1求 x 与 y 间的关系；2如,求 x 与 y 的值及四边形 ABCD 的面积；22（13 分已知向量 a、b 是两个非零向量,当 a+tbtR的模取最小值时,（1）求 t 的值名师归纳总结 （2）已知 a、b 共线同向时,求证b 与 a+tb 垂直 第 7 页,共 8 页1化简 ACBDCDAB得（）A ABB DAC BCD 02 在 ABC 中,a2b2c2bc,就 A 等于（）A 60B120C 30D 1503

17、向量 a,b 满意 |a| 1,|b|2,ab2ab,就向量 a 与 b 的夹角为 A45B60C 90D1205、如下列图,已知AB2BC,OAa, OBb, OCc,就以下等式中成立的是 A c3b1aB c2 ba22C c2 abD c3a1b226. 如A ,36 ,B ,52 ,C,6 2 三点共线,就y（） , A 13 B13C9 D97 已知a b均为单位向量,它们的夹角为0 60 ,那么a3 b（）A7B10C13D 4- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 9已知非零向量AB 与AC 满意 AB |AB |+ACBC=0 且ABAC=1 2 , 就 ABC 为 |AC |AB |AC |名师归纳总结 A. 等腰直角三角形8B.直角三角形1C.等腰非等边三角形D.等边三角形第 8 页,共 8 页A3BC.D494- - - - - - -